視頻標簽：部編版高中新教材

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：部編版高中新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）人教版必修第一冊5.1.2弧度制 第二課時_池州

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部編版高中新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）人教版必修第一冊5.1.2弧度制 第二課時_池州

5.1.2 弧度制
教學設計
1.課時教學內(nèi)容
   5.1.2 弧度制
2.課時教學目標
（1）能理解弧度的意義；能掌握角度與弧度的換算；了解角的集合與實數(shù)集之間的一一對應關系；掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。
（2）在教學過程中通過設置問題情境，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和探究問題的能力，提升數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)；領悟概念學習的一般方法和路徑。
（3）通過自行車鏈條的傳動和扳手的轉(zhuǎn)動，親身感受數(shù)學與生活的聯(lián)系；通過合作探究，經(jīng)歷推理獲得圓心角與弧長、半徑之間的關系的過程，感受弧度制的實質(zhì)是用弧長與半徑的比值來度量角的大小，體會數(shù)學的統(tǒng)一美和簡潔美。
（4）認識角度制與弧度制都是度量角的方法，二者是辯證統(tǒng)一的；總結(jié)概念學習的一般規(guī)律，實現(xiàn)知識的內(nèi)化、吸收和遷移。3.教學重點與難點
教學重點:弧度制的定義;弧度制與角度制的換算。
教學難點：理解弧度制的定義。
4.教學過程設計
4.1創(chuàng)設情境，抽象問題
     教師：圖中的測量用具大家都認識吧？
     眾學生：長尺、卷尺、游標卡尺、螺旋測微器，都是測量長度用具
     教師：對，我們還知道隨著精度要求的不同，選用不同工具，獲得不同度量單位制，并且不同長度單位之間可以換算，如：1m=10dm=100cm=1000mm，那么，在角度的度量里，除了已經(jīng)知道的角度制，是否存在著其他的度量制呢？這就是我們今天研究的課題：角的度量制。
設計意圖：通過回顧義務教育階段所學的長度測量和不同長度單位換算的類比引出不同的單位制度量角的問題。
教師：請騎過自行車的同學舉手！
大家都騎過自行車，請你觀察過自行車前后齒輪的轉(zhuǎn)動（多媒體播放動圖），它們是通過鏈條傳動的，鏈條移動某一確定的長度時,大齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角和小齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角，哪個大？哪個�。繛槭裁矗�
學生1：大齒輪轉(zhuǎn)過的圓心角小，因為角速度慢。
教師：很好！從圖中看，因為大齒輪的半徑大，小齒輪的半徑小， 所以在鏈條移動某一確定的長度時，大齒輪轉(zhuǎn)過的角度小，小齒輪轉(zhuǎn)過的角度大。這說明圓心角、半徑、弧長之間存在一定的關系.
教師:再如，用扳手轉(zhuǎn)動螺帽的過程中,在扳手任取兩點，隨著扳手的轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)形成圓弧，，你能發(fā)現(xiàn)圖中幾何量（半徑、弧長、圓心角）之間，具有哪些相等關系和不等關系？
學生2：半徑不同，弧長也不相等，但轉(zhuǎn)過的角度相同.
教師：很好！這再次說明圓心角、半徑、弧長之間存在著關系，是怎樣的關系呢？
設計意圖：對學生來說，弧度制是一種新的度量角的單位制。在教學中，有教師釆用規(guī)定說，學生對其數(shù)學含義和價值不理解，心理不愿接受，學習缺少動力。本設計從學生熟知的兩個生活情境入手，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，可以提高學習興趣。從齒輪轉(zhuǎn)動的例子,學生感知到同樣的弧長在不同半徑 的圓中所對的圓心角不相等；從扳手轉(zhuǎn)動螺帽的例子，學生感知到扳手長度改變，相應的弧長也改變，隱含著“弧長與半徑的比值為定值”，兩個例子都為理解弧度制做好了鋪墊。
 
4.2問題引領，逐步探究
問題1：如圖，在圓中，設,圓弧的長為, 則之間有怎樣的關系？
學生3：由弧長公式可知
問題2：這個公式反映了孤長與圓心角、半徑之間的關系。那么圓心角的大小與哪些量有關？
學生4：角的大小與這四個量有關。其中和180是常數(shù)，和是變量。
問題3：你能用式子表示圓心角與這些量的關系嗎？
學生4：
問題5：如果圓心角變化，比值是否發(fā)生變化？
眾學生：發(fā)生變化
問題5：現(xiàn)把圓心角固定，如果圓的半徑變大，弧長也會變大，比值是否發(fā)生改變？為什么？
眾學生；不變，因為圓心角固定，也就是角度不變， 所以比值不變。
 
教師:很好！我們用“幾何畫板”驗證。改變圓心角的大小時，比值隨之改變；固定圓心角時,改變點P的位置，弧長和半徑都變化，但比值不變。
教師：因此，我們得到結(jié)論：圓心角所對的弧長與半徑的比值，只與的大小有關；比值隨著的確定而唯一確定。
設計意圖：通過問題引導，學生回憶了在角度制下的弧長與圓心角、半徑之間的關系，分析了三個量之間的關聯(lián)，變形得到了圓心角與弧長、半徑的聯(lián)系， 發(fā)現(xiàn)了圓心角與比值（弧長與半徑的比值）之間存在著的正比例關系，完成了理論推導。利用“幾何畫板” 軟件,動態(tài)演示了圓心角的大小與這個比值之間的直觀變化情況。因此,獲得了圓心角與比值之間的對應關系，從而為接下來弧度制的定義提供了合理性。
 
4.3借力史實，建構概念
教師:在圓心角與比值的對應關系下，這就啟發(fā)我們可以用什么來度量圓心角的大小呢？
眾學生：用弧長與半徑的比值來度量圓心角的大小。
教師：很好！既然可以用的值來度量角，那么你覺1弧度角可以怎樣簡單合理的規(guī)定呢？
學生5：當時，，這時的圓弧所對的圓心角可以規(guī)定為1弧度的角。
教師:很好！大數(shù)學家歐拉也是這么想的！ 早在1748年，數(shù)學家歐拉就直接用的值來度量角的大小，并稱之為弧度制。
我們規(guī)定：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫作1弧度（radian）的角，弧度單位用符號rad 表示，讀作弧度。
教師：我們知道了1弧度角的定義，那1弧度角有多大呢？請同學們嘗試著畫出來。
用“幾何畫板”作圖，并體會1弧度角與角的大小關系。當時，圓心角分別為。（演示不同方向的旋轉(zhuǎn)，得到圓心角為）從而將圓中獲取的，推廣到所有角滿足的。
教師：大數(shù)學家歐拉在研究弧度制時，選取的圓是半徑為1的圓，叫單位圓。這樣做的優(yōu)點是什么？
    在單位圓中，當弧長為時，圓心角也為。在弧度制下，角與弧長的度量統(tǒng)一起來，這樣定義角也非常自然，同時也簡化了與角有關的公式。
設計意圖：通過前期的鋪墊，學生自主構建了1弧度角的概念，通過與60°角的大小比較，學生能直觀地感知1弧度角的大小，也為弧度制與角度制的換算做好準備。在此過程中，穿插引入弧度制的有關歷史,讓學生像數(shù)學家一樣地思考和解決問題。取半徑為單位長度,使角與弧長的度量統(tǒng)一起來，學生能體會到數(shù)學的簡潔美、統(tǒng)一美。同時也為學生能用單位圓作為工具去研究任意角的三角函數(shù)、誘導公式以及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)奠定基礎。
4.4激活聯(lián)系，完善認知
教師:角度制、弧度制都是角的度量制，同一個角 既可以用角度來度量，也可以用弧度來度量，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系，那兩者之間有著怎樣的關系呢？
學生6：我想到利用單位圓尋找，如一個圓周角，在角度制下它是360°,在弧度制下它是rad,所以360°=rad。
教師:很好！這位同學把圓周角分別用角度和弧度來度量，從而解決了換算問題。如果兩邊同時除以2,可以得到平角的兩種度量：180°=rad。那么，1°的角是多少弧度的角？ 1弧度的角又是多少度的角？
     學生7：由180°= rad兩邊同時除以180,可得 1° =rad；若兩邊同時除以,可得 1 rad=
     教師：以后我們只要抓住180°=rad這個關系進行角度與弧度的換算。同時弧度的單位rad通常略去不寫。

 
 
 
教師:角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)與之對應，每一個實數(shù)也都有唯一的角和它對應。
設計意圖：同一個量用不同的單位度量，兩個單位制之間必定存在聯(lián)系。角度制與弧度制也是如此, 至此學生能體會角的兩個度量系統(tǒng)的相容性,掌握兩種度量的直接互換。表格中所填數(shù)值的對應性，就像設置在數(shù)軸上一樣，便于學生直觀感受到弧度制下角的集合與實數(shù)集R之間的對應關系。
4.5表達優(yōu)化，類比識記
教師：弧度制的優(yōu)點還能體現(xiàn)在其他地方.如，你能對比初中所學的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優(yōu)點嗎？
學生板演1：角度制下：弧長，面積。
學生板演2：由得弧長公式，而面積，得到面積公式.
教師:很好！我們看到，采用弧度制，扇形的弧長和面積公式都簡潔了，這正是引入弧度制的原因之一。
教師：扇形面積公式和學過的哪個面積公式類似？
眾學生：和三角形的面積公式類似。
教師（追問）：這是偶然的嗎？它們之間是否有著內(nèi)在聯(lián)系呢？（作為課后思考題）
設計意圖：弧度制的優(yōu)越性不僅在于用實數(shù)表示角，還表現(xiàn)在一些公式因為孤度制的引入得到形式上的簡化。學生親身經(jīng)歷簡化過程，更容易理解扇形的幾個量之間的關系，也能體會弧度制給解決問題帶來的方便,這也是引入弧度制的原因。再由扇形的面積公式啟發(fā)學生聯(lián)想到三角形的面積公式，并留白讓學生課后思考兩者之間的關系（通過極限分割思想來聯(lián)系兩者）了解這些,讓學生對弧度的認識上升到一個新的高度。
4.6課堂小結(jié)，凝練升華
小結(jié)1:本節(jié)課我們是按照怎樣的研究路徑來學習弧度制的？
學生15：我們先感受生活中的實例，分析角度制下的弧長公式，再給出1弧度角的定義以及在弧度制下角的代數(shù)表示，弧度制和角度制之間的換算關系，最后簡化了弧長和扇形的面積公式。即研究途徑為：背景--定義--表示--運算--性質(zhì).
小結(jié)2：談談角度制和弧度制的區(qū)別與聯(lián)系。
眾學生：角度制與孤度制的區(qū)別是度量單位不同（單位分別是角度和弧度），進位制不同（角度是六十進位和十進位，弧度是十進位），弧長公式不同（在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式都變得簡潔了）； 他們的聯(lián)系是兩種度量角的單位制都與圓的半徑大小無關，他們之間的換算關系是180°=rad。
教師:大家總結(jié)得很好！其實角的度量制還有很多，比如軍事上的密位制，有興趣的同學課后可以査找相關資料。并布置課后作業(yè)：課本176頁第4,5,6題
設計意圖：反思總結(jié)，形成知識體系。將角度制與弧度制進行對比，找到區(qū)別和聯(lián)系，為今后理解和正確使用弧度制帶來方便�；仡櫿�節(jié)課的學習過程，即經(jīng)歷了一個概念學習的科學探究過程，這對學生以后的概念學習會起到積極的作用。并通過作業(yè)習題鞏固概念，使學生知識技能、綜合能力得到提升。
 
5. 目標檢測設計
題1：
 
 
 
 
（設計意圖：幫助學生熟悉掌握角度制與弧度制之間的相互轉(zhuǎn)化）
題2：對比初中所學的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優(yōu)點嗎？
（設計意圖：除要求學生熟練掌握角度制與弧度制的換算、提升學生邏輯推理素養(yǎng)外，還展示出弧度制下的弧長公式、扇形面積公式的形式簡潔美，讓學生感受弧度制帶來的便利）
題3：扇形面積公式和學過的三角形的面積公式類似，這是偶然的嗎？它們之間是否有著內(nèi)在聯(lián)系呢？
（設計意圖：作為課后思考題留給學生交流討論兩者之間的關系（通過極限分割思想來聯(lián)系兩者），了解這些能讓學生對弧度的認識上升到一個新的高度）
 
 

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