視頻標(biāo)簽：正弦定理

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）《6.4.3.2正弦定理》教學(xué)實(shí)錄

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新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（省優(yōu)質(zhì)課）《6.4.3.2正弦定理》教學(xué)實(shí)錄

正弦定理

一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解正弦定理的多種證明方法，尤其是向量證明法；��
2.掌握正弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題；
3.通過對(duì)正弦定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。
難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。
 
三、教學(xué)過程：
（一）講授新課：
在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,                   
則                              
從而在直角三角形ABC中，                        
思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？
（由學(xué)生討論、分析）
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：
    再次思考：我們希望獲得△ABC中的邊a，b，c與它們所對(duì)角A，B，C的正弦之間的關(guān)系式.在向量運(yùn)算中，兩個(gè)向量的數(shù)量積與長(zhǎng)度、角度有關(guān)，這就啟示我們可以用向量的數(shù)量積來探究.
思考：向量的數(shù)量積運(yùn)算中出現(xiàn)了角的余弦，而我們需要的是角的正弦。如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？
由誘導(dǎo)公式可知，我們可以通過構(gòu)造角之間的互余關(guān)系，把邊與角的余弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦關(guān)系。
                      
          
          


   
    

                    
 
     
    類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，
以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生自己推導(dǎo)）
 
從上面的研探過程，可得以下定理
正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即
          
正弦定理給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對(duì)的角的正弦之間的一個(gè)定量關(guān)系.利用正弦定理，可以解決：
1.已知兩角和一邊，解三角形。
2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形。
（二）例題分析：
例1在△ABC中，已知A=15°，B=45°， 解這個(gè)三角形.
解：由三角形內(nèi)角和定理，得
    
由正弦定理，得
    
     =
     =

  =
例2在△ABC中，已知,解這個(gè)三角形.
解：由正弦定理，得

因?yàn)?
所以
于是

1. 當(dāng)時(shí)，

此時(shí)   
          =
          =

1. 當(dāng)時(shí)，

此時(shí)  
=
=

(三)課堂練習(xí)：
在△ABC中，已知b=10, A=60°,C=45°,求角B,a和c
（四）課后思考：
1.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他邊和角時(shí),三角形什么情況下有一解,二解,無解?
2.設(shè)三角形的外接圓的半徑為R,則
        
四、小結(jié)：
正弦定理： 
應(yīng)用:（1）已知兩角及任一邊，求其他兩邊和一角；
     （2）已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）。       
五、作業(yè)：
.
.
.

 

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