視頻標簽：空間向量的數量,積運算

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視頻課題：高中數學人教版高二選修2—1第三章空間向量的數量積運算-吉林省優(yōu)課

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高中數學人教版高二選修2—1第三章空間向量的數量積運算-吉林省優(yōu)課

空間向量的數量積運算(理) 
【學習目標】 
1．掌握空間向量夾角的概念及表示方法 
2．掌握兩個向量的數量積的概念、性質和計算方法及運算規(guī)律． 【學法指導】 【重點難點】 
重點：掌握兩個向量的數量積的概念、性質和計算方法及運算規(guī)律． 難點：掌握兩個向量的數量積的主要用途 【學情分析】 
數量積是向量最重要的運算，利用數量積可以求向量的模、兩個向量的夾角；通過類比平面向量的數量積，學習空間兩向量的數量積．通過向量積的運用，培養(yǎng)數學應用意識. 自主學習內容 
回顧舊知： 
平面向量數量積的公式 二、基礎知識感知 
閱讀教材第90—62頁內容，然后回答問題  一、空間向量的夾角 
1．如圖，已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作OA→＝a，OB→
＝b，則∠AOB叫做向量a，b的________，記作________． 
2．
a，b＝b，a，a和b的夾角的范圍是________，其中當a，b＝0時，a
與b________；當a，b＝π時，a與b________. 
3．當a，b＝π
2
時，a與b________. 
4．若a∥b，則a，b＝________，若a⊥b，則a，b＝________. 二、空間向量的數量積 1．數量積的定義 
(1)已知a，b是兩個非零向量，則________叫做a，b的數量積，記作________，即a·b＝________. 
規(guī)定，零向量與任一向量的數量積為________，即0·a＝________. 
(2)a·b的幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的________的乘積． 2．數量積的運算律 
(1)(λa)·b＝________.     (2)交換律：a·b＝________.    (3)分配律：a·(b＋c)＝________. 
 
                    
             
                    
                            3．數量積的性質 
兩個向量數
[來源學科網Z,X,X,K]
 量積的性質 
若a，b是非零向量，則a⊥b⇒________[來源:Zxxk.Com]
 
若a與b同向，則a·b＝|a||b|； 
若反向，則a·b＝________. 特別地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a 
若θ為a，b的夾角，則cos θ＝________ |a·b|≤|a||b| 
2．空間向量數量積的性質及幾何意義 
(1)空間向量的數量積a·b可以為正，可以為負，也可以為零． (2)若向量a，b是非零向量．則a·b＝0⇔a⊥b. (3)特例與變形： 
①若a是單位向量，則a·b＝|b|cosa，b； 
②cos<a，b>＝a·b
|a||b|； 
③a·a＝|a|2. 
(4)幾何意義：a與b的數量積a·b等于a的長度|a|與|b|在a的方向上的投影|b|cosa·b
的乘積． 
3．空間向量數量積運算與運算律 
向量的數量積運算只適合交換律、加乘分配律及數乘結合律，不滿足： ①消去律，即由a·b＝b·c不能推出a＝c，即向量不能約分； 
②乘法結合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，這是因為(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，但c與a不一定共線． 
 
三、探究問題  
重點1 空間向量的數量積的運算 
 
[例1] 如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求值： （1）EF→·DC→；                    (2)AB→·CD→.      
 
                    
             
                    
                            小組討論問題預設： 
變式1   設向量a與b互相垂直，向量c與它們構成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________；(2a＋b－3c)2＝________. 課堂展示問題預設： 
重點2 利用空間向量的數量積求夾角 
 
[例2] (2014·山東高密高二檢測)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱BC和CC1的中點，求異面直線AC和MN所成的角． 
 
 
  
課堂訓練問題預設：      
變式2   如圖，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中點，試求向量A1C1→與DE→所成角的余弦值 
 整理內化： 
1、課堂小結           
2、本節(jié)課學習內容中的問題和疑難 

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