視頻標簽：空間向量的,數量積運算

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：高中數學人教版高二選修2—1第三章空間向量的數量積運算-浙江省

教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教版高二選修2—1第三章空間向量的數量積運算-浙江省 - 寧波作業題詳細解答


教材內容解析
        本節課是人教A版選修2-1第三章3.1.3的內容。
        該內容旨在將平面向量的數量積運算推廣到空間,使學生會求空間向量數量積,并能利用空間向量的數量積度量空間兩條直線的夾角和空間線段的長度,進而利用它們來證明空間直線、平面位置關系的一些定理(三垂線定理及直線與平面垂直的定理),使學生初步體會空間向量在解決立體幾何問題中的應用,為將來應用空間向量解決立體幾何問題打下堅實基礎。
        基于以上分析,教學內容應在類比和轉化的方法引領下,強調空間向量數量積的概念和計算、幾何意義、運算律和應用。應用主要在求角和求距離方面(教材安排的兩道證明題目的在于利用空間向量證明線線垂直和證明線面垂直的判定定理,可將這類問題統歸為角度即直角的問題)。
       重點在空間向量的數量積運算和在空間幾何中的應用;
       難點在于空間向量在立體幾何中的應用;
       易錯點在于運算律的應用;
2教學目標設置
      從知識技能、過程方法和情感態度價值觀方面共設置六條教學目標
     (1)理解空間向量的數量積的意義及其運算律,會求空間向量的數量積;
     (2)掌握利用空間向量的運算解決直線與直線垂直、直線和平面垂直、兩點間距離或線段長度等相關問題;
     (3)掌握利用空間向量的運算解決空間幾何中的夾角問題
     (4)通過例題學習,簡單了解三垂線定理及其逆定理;
     (5)鞏固深化空間向量學習過程中的平面和空間的類比及空間向平面的轉化等學習和研究方法;
     (6)體會將空間幾何問題通過空間向量轉化為代數問題,進而通過代數運算解決幾何問題的方法,感受數學問題的內在聯系和寓數于行、數行
    相伴的數學美。
3學情分析
       學生有以下四方面的知識積累和儲備:(1)平面向量的相關內容;(2)空間向量的基本概念;(3)平面向量的加減和數乘運算向空間向量的推廣;(4)平面向量基本定理向空間向量的推廣。
       學生對空間向量內容已有兩個典型的認知:(1)平面向量與空間向量的類比學習(2)空間向量向平面向量的轉化學習。
       本節課的學習,強化學生運用轉化和類比思想學習空間向量中的能力,并掌握空間向量的數量積運算及其幾何意義、運算律和應用。
4教學策略分析
       課堂教學以學生為中心,突出合作學習,探究學習和自主學習。師生合作探究,共同回顧總結空間向量數量積的幾何意義;小組合作,討論運算律;教師引導啟發,促成學生掌握數量積的應用;總結提升,鞏固深化空間向量學習過程中的平面和空間的類比及空間向平面的轉化等學習和研究方法,并對空間向量數量積的幾何意義、運算律及空間向量數量積在空間幾何問題中的應用。​
 
5教學過程概述
該課堂共包括:課堂導入部分、探究幾何意義、探究運算律、探究應用、感悟高考、課堂總結等六部分組成
6教學過程
6.1第一學時
6.1.1課堂引入
​
        (1)回顧。向量是可以平移的,空間任意兩個向量都是共面的。空間向量經過平移,表示向量的有向線段共起點,轉化為平面向量問題。那么平面向量的研究方法就可推廣到空間向量中應用。
       (2)兩個向量知多少?
       調動學生積極思考課題,充分回顧與兩個向量有關的向量概念。(模、夾角、平行、垂直、數量積等)
       總結:我們引入空間向量的數量積運算以后,像很多數學運算一樣,我們要研究它的幾何意義、運算法則(運算律)和應用,下面我們研究它的幾何意義;
6.1.2教學活動
活動1【講授】探究空間向量數量積及其幾何意義
過程二:從空間向量到平面向量的轉化,從平面向量到空間向量的類比,探究學習空間向量數量積及其幾何意義;​
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活動2【講授】探究運算律
​
活動3【講授】探究空間向量數量積的應用
     過程四:空間向量數量積在空間幾何中的應用
​
​
 
 
活動4【講授】感悟高考
​過程五:感悟高考
​
活動5【講授】課堂總結
過程六:課堂總結
1.學到了什么?學習了空間向量數量積及其幾何意義、運算律和在空間幾何中的應用;
2.困惑在哪里?求數量積的時候往往需要利用向量的加法和減法進行轉化,這是運算的難點,要充分理解求數量積時,利用向量的加減法對其中向量進行轉化,從而便于運算;
3.研究方法有哪些?類比、轉化在本節中的突出應用;
活動6【作業】作業布置
過程七:作業布置

 
空間向量的數量積運算     作業詳細解答
1．對于向量a、b、c和實數λ，下列命題中的真命題是(   )
A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0
B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0
C．若a²＝b²，則a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，則b＝c
解析：選B.對于A，可舉反例：當a⊥b時，a·b＝0；
對于C，a²＝b²，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
對于D，a·b＝a·c可以移項整理推得a⊥(b－c)．
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|＝________.
【解析】|2a－3b|²＝(2a－3b)²＝4a²－12a·b＋9b²
＝4×|a|²＋9×|b|²－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】　
3．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，則使向量a＋λb與λa－2b的夾角為鈍角的實數λ的取值范圍是________．
【解析】由題意知
即⇒λ²＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
 
4.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于________．
解析：∵＝＋＋，
∴||²＝(＋＋)²＝²＋²＋²＋
2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos 60°
＝108＋2×6×6×＝144.
∴PC＝12.
答案：12
5．如圖3­1­23在正方體ABCD­A₁B₁C₁D₁中，O為AC與BD的交點，G為CC₁的中點．求證：A₁O⊥平面GBD.

圖3­1­23
【證明】設＝a，＝b，＝c.
則a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b²－a²)
＝(|b|²－|a|²)＝0.
∴⊥.
∴A₁O⊥BD.
同理可證⊥.
∴A₁O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A₁O⊄面BDG，
∴A₁O⊥面GBD.
6.如圖，已知正三棱柱ABC­A₁B₁C₁的各條棱長都相等，M是側棱CC₁的中點，則異面直線AB₁和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨設棱長為2，則＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.
答案：90°
 

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