視頻標(biāo)簽：傾斜角與斜率

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二3.1.1傾斜角與斜率～湖北省優(yōu)課

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二3.1.1傾斜角與斜率～湖北省優(yōu)課

直線的傾斜角與斜率 
                                                        第一課時(shí) 
教學(xué)目標(biāo) 
1.知識(shí)與技能目標(biāo) 
(1)正確理解直線傾斜角和斜率的概念。 (2)理解直線傾斜角的唯一性。 (3)理解直線斜率的存在性。 
(4)體驗(yàn)用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程。 2.過程與方法 
  引導(dǎo)學(xué)生將直線的位置問題(幾何問題)轉(zhuǎn)化為傾斜角問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為傾斜角的正切值即斜率問題(代數(shù)問題)進(jìn)行解決,使學(xué)生不斷體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀 
(1)通過引入直線傾斜角的概念,揭示學(xué)習(xí)直線傾斜角與斜率的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力。 
(2)通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo),幫助學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想的重要性,培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神。 
學(xué)情分析  
    “直線的傾斜角與斜率”是人教版數(shù)學(xué)必修2第三章第一節(jié)的內(nèi)容,是高中解析幾何內(nèi)容的開始。直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一,是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示,是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)以坐標(biāo)法(解析法)的方式來研究直線及其幾何性質(zhì)(如直線位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線距離等)的基礎(chǔ)。通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生初步了解直角坐標(biāo)平面內(nèi)幾何要素代數(shù)化的過程,初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。直線的斜率是后繼內(nèi)容展開的主線,無論是建立直線的方程,還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系,以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系,直線的斜率都發(fā)揮著重要作用。 
重點(diǎn)難點(diǎn)  
教學(xué)重點(diǎn):1.初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想               2.直線傾斜角和斜率的概念 教學(xué)難點(diǎn):斜率公式的推導(dǎo) 
教學(xué)過程  
3.1 第一學(xué)時(shí)  3.1.1教學(xué)活動(dòng)  
 
活動(dòng)1【導(dǎo)入】  
  今天我們開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支——解析幾何。在上一章幾何問題的研究中,我們主要依據(jù)幾何圖形中點(diǎn)、線、面的關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)。現(xiàn)在,我們要采用另外一種方法——坐標(biāo)法,就是以坐標(biāo)為橋梁,把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形。我舉個(gè)通俗的例子,同學(xué)們?nèi)绻�我問�?你們家住哪兒,你可以帶領(lǐng)我去,嗯,這是最原始的辦法;你可以畫張圖告訴我,那類似幾何方法,當(dāng)然,一般你們是告訴我住址,其實(shí)住址就是一個(gè)位置坐標(biāo)。這就是幾何問題代數(shù)化最簡(jiǎn)單的生活實(shí)例。 
 
                    
             
                    
                               為了使同學(xué)們更好的理解解析幾何這門課,我們一起來分享解析幾何的開山鼻祖 ——笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的小故事。 
   笛卡爾一生生活顛沛,命運(yùn)波折。但他一生酷愛研究,涉獵甚廣。諸如物理學(xué)、天文學(xué)、機(jī)械學(xué)、醫(yī)學(xué)都有深入的研究,數(shù)學(xué)研究對(duì)世界文明的貢獻(xiàn)最大。 
    20歲時(shí),他已大學(xué)畢業(yè),做了一名戰(zhàn)士。就是在軍旅生涯中,一次偶然機(jī)會(huì),他解決了數(shù)學(xué)教授別克曼的一道難題,成了別克曼的朋友,從此與數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣。他進(jìn)入數(shù)學(xué)王國不久就意識(shí)到傳統(tǒng)幾何也就是我們所說的歐氏幾何過分依賴圖形和形式演繹的缺陷,同時(shí)代數(shù)過分受法則和公式的限制而缺乏活力。不過,想歸想,這時(shí)的他,畢竟不是一名職業(yè)科學(xué)家,只是一名法軍中的小戰(zhàn)士。過了三年,也就是1619年,曾經(jīng)的法國小戰(zhàn)士,23的笛卡爾又出現(xiàn)在了美麗的多瑙河畔的一座德國的軍營里。此時(shí),他正躺在病床上,不知是生病了,還是受傷了。總之,他此時(shí)此刻不用打戰(zhàn)了,可以安心的思考他的問題。笛卡爾本身就不是一個(gè)想當(dāng)將軍的好士兵,想的肯定不是打戰(zhàn)的事,他在想什么呢?他仰望著病房的天花板,一只機(jī)靈的小蜘蛛從墻角慢慢地爬了過來,口絲結(jié)網(wǎng)忙個(gè)不停,從東爬到西,從南爬到北,正在結(jié)網(wǎng)。小小的蜘蛛結(jié)一張網(wǎng),該走多少路啊!仁慈而偉大的笛卡爾突發(fā)奇想,想算一算蜘蛛走過的路程。他首先把蜘蛛看成一個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)離墻角多遠(yuǎn)?離墻的兩邊有多遠(yuǎn)?他思考著,計(jì)算著,病中的他睡著了„„夢(mèng)中他繼續(xù)在數(shù)學(xué)的廣闊天地中馳騁,好像悟出了什么,又看到了什么,大夢(mèng)醒來的笛卡爾茅塞頓開,一種新的思想初露端倪:在互相垂直的兩條直線下,一個(gè)點(diǎn)可以用到這兩條直線的距離,也就是兩個(gè)數(shù)來表示,這個(gè)點(diǎn)的位置就被確定了。用數(shù)形結(jié)合的方式將代數(shù)與幾何的橋梁聯(lián)系起來了。這就是解析幾何學(xué)誕生的曙光,沿著這條思路前進(jìn),在眾多數(shù)學(xué)家的努力下數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)折,建立了解析幾何學(xué)。    這個(gè)故事聽起來,傳奇、浪漫。有點(diǎn)像牛頓的蘋果,阿基米德的浴盆,有點(diǎn)后人附會(huì)杜撰的意味,但他給了我們的啟示是深遠(yuǎn)的。執(zhí)著、熱情是取得成就的重要性格因素。只有熱情地對(duì)待自己的事業(yè),執(zhí)著地思考,我們才能把來自外部世界的些許感受深華為事業(yè)突破的靈感。這個(gè)故事讓我們明白了要確定一個(gè)點(diǎn)的位置和研究它的運(yùn)動(dòng),最好的辦法是建立一個(gè)坐標(biāo)系,用坐標(biāo)來確定點(diǎn)的位置,用點(diǎn)的坐標(biāo)的變化來刻畫點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。科學(xué)研究需要奔放的激情,更需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和知識(shí)的點(diǎn)滴積累。好了,書歸正傳,我們以嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度做笛卡爾的跨世紀(jì)粉絲開始解析幾何的學(xué)習(xí)。 
 
活動(dòng)2【講授】直線的傾斜角和斜率  
問題1.經(jīng)過原點(diǎn)的直線有多少條？彼此間的位置關(guān)系？ 
答：經(jīng)過原點(diǎn)的直線有無數(shù)條，他們都相交于一點(diǎn)（原點(diǎn)）。 
問題2.與x軸正方向所成的角為30°的直線有多少條？彼此間的位置關(guān)系？ 答：與x軸正方向所成的角為30°的直線有無數(shù)條，它們相互平行。 
觀察：在直角坐標(biāo)系中,直線與x軸都有一個(gè)相對(duì)傾斜度,數(shù)學(xué)中怎樣用一個(gè)幾何量 來反映一條直線與x軸的相對(duì)傾斜程度呢?
問題3. 想一想哪個(gè)角適合刻畫直線相對(duì)于x軸的相對(duì)程度？         
引入傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí), 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．．．
。 注：規(guī)定 : 當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為  . 練習(xí)1：下列四個(gè)圖形中哪個(gè)表示直線的傾斜角(      )   
     
        
 
練習(xí)2：判斷下列說法的對(duì)錯(cuò) 
1、所有的直線都有唯一確定的傾斜角與它對(duì)應(yīng)。 2、每一個(gè)傾斜角都對(duì)應(yīng)于唯一的一條直線。  
問題4:根據(jù)傾斜角的定義,傾斜角的范圍是什么? 
議一議：如果一條直線繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則它的傾斜角有什么變化？    
ly
x
直線傾斜角α的范圍為：  
問題5：日常生活中還有沒有表示傾斜程度的量? 
引入坡度概念：升高量與前進(jìn)量之比，從而發(fā)現(xiàn)坡度越大，樓梯越陡。 
直線的斜率的定義：類比坡度，引進(jìn)一個(gè)刻畫直線傾斜程度的量：一條直線的傾斜角 (≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα 注：傾斜角是 90 °的直線沒有斜率。 
 
練習(xí)3.已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率. 
0
000135)4(,120)3(,45)2(,30)1( 
問題6：直線的傾斜角和斜率有怎樣的變化關(guān)系? （直線斜率與傾斜角的關(guān)系利用正切函數(shù)圖象解決） 
o0，k=0 
,900ook>0，并且隨的增大而增大 
o90，k不存在 
,18090ook〈0，并且隨的增大而增大 
 
練習(xí)4.如圖，直線的斜率分別為321,,kkk，則（        ）  321.kkkA      213.kkkB 
123.kkkC         231.kkkD 
   
練習(xí)5.判斷正誤： 
①直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tan （    ）      ②任一條直線都有傾斜角，所以任一條直線都有斜率.  （    ）  
③直線的傾斜角越大,則直線的斜率越大。     （     ） ④兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等 （     ）
⑤平行于x軸的直線的傾斜角是 π或0  （     ）  
練習(xí)6.  如圖，直線21,ll的傾斜角0130， 直線21ll，求21,ll的斜率。      練習(xí)7. 
k    63
若直線的傾斜角為，，則斜率的取值范圍是___________
 
練習(xí)8. 
 
3164
、若直線的傾斜角為，，求斜率k的取值范圍。
 
 
小結(jié)： 
刻畫直線傾斜程度的量：傾斜角,斜率   
作業(yè)： 
2133



、若直線的傾斜角為，
，求斜率k的取值范圍。3能力題：若直線的斜率k-1，，求傾斜角取值范圍。
 
課后探究： 
   已知直線的兩點(diǎn)，如何求斜率？

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