視頻簡介：
視頻標簽：直線的點斜式方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教版必修二《3.2.1直線的點斜式方程》山東省
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教版必修二《3.2.1直線的點斜式方程》山東省青島第十五中學
《3.2.1直線的點斜式方程》教學設計
山東省青島第十五中學 徐真
一、教學目標
1、知識與技能
（1）理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍；
（2）掌握由直線上一點和斜率求出直線的方程或由斜率和截距寫出直線的方程的方法
（3）能由直線的方程求斜率和截距。
2、過程與方法
在已知直角坐標系內確定一條直線的幾何要素——直線上的一點和直線的傾斜角的基礎上，通過師生探討，得出直線的點斜式方程；并對各種特殊形式進行研究，再由點斜式經過變形，導出斜截式，并對它們的應用進行簡單的研究。
3、情感態度與價值觀
通過讓學生體會直線的斜截式方程與一次函數的關系，進一步培養學生數形結合的思想，滲透數學中普遍存在相互聯系、相互轉化等觀點，使學生能用聯系的觀點看問題。
二、教學重點、難點：
（1）重點：直線的點斜式方程和斜截式方程。
（2）難點：直線的點斜式方程和斜截式方程的應用。
三、教學設想
教學過程 學生活動 教師活動 設計意圖
一、復習檢測 1. 直線l的傾斜角為135o，則斜率k＝______
2. 過A(2,5)與x軸垂直的直線的傾斜角為________,斜率________
3. 已知定點A(-1,3)，B(4,2)，C(x,0)，若AC⊥BC，則x＝_____
若AO∥BC，則x＝_______
（其中O為坐標原點） 課前復習 通過復習檢測總結復習：1.直線l的斜率與傾斜角α的關系：k＝tanα
2.經過兩點P1(x1,y1),
P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式：
3.不重合且斜率都存在的直線l1，l2平行的判定條件： 4.斜率都存在的直線l1，l2垂直的判定條件：
通過對知識點的總結，既讓學生對前面所學加以鞏固，又對本節知識做了鋪墊。
教學過程 學生活動 教師活動 設計意圖
二、講解新課 （一）點斜式方程：
【引入】：在直角坐標系內確定一條直線，應知道哪些條件？
推導：直線l經過定點Po(xo,yo),且斜率為k，設點P(x,y)是直線上不同于點Po的任意一點，則有 〔x≠xo〕
即 ……⑴
學生思考回答
黑板作圖
根據斜率公式，推導出方程（1） 培養學生自主探索的能力，并體會直線的方程，就是直線上任意一點的坐標 滿足的關系式，從而掌握根據條件求直線方程的方法。
由以上推導過程可知，過點Po(xo,yo)，斜率是k的直線l上的點，其坐標都滿足方程⑴；反過來，坐標滿足方程⑴的點都在過點Po(xo,yo),且斜率為k的直線l上，所以方程⑴就是過點Po(xo,yo),且斜率為k的直線l的方程。
說明：⑴這個方程是由直線上一定點和斜率確定的。 思考理解 1.過點 ，斜率是 的直線 上的點，其坐標都滿足方程（1）嗎？
2.坐標滿足方程（1）的點都在經過 ，斜率為 的直線 上嗎？
教師證明，并總結直線的點斜式方程的定義
……⑴是直線的點斜式方程，簡稱點斜式。
使學生了解方程為直線方程必須滿兩個條件。
例1：直線l經過點（-2，3），傾斜角為45 ，求直線l的方程，并畫出直線l
練習：1.寫出下列直線方程：
⑴過點A(3,-1)，斜率為 ，則直線方程是_________
⑵過點B(-4,-2)，傾斜角為120o，則直線方程是_________
學生練習 講解例1
說明：
⑵當直線l傾斜角為0o時，即k＝0時，直線l的方程為y－yo＝0或y＝yo
⑶當直線l傾斜角為90o時，即k不存在時，直線l的方程為x－xo＝0或x＝xo
使學生理解點斜式方程的適用范圍，掌握特殊直線方程。同時讓生養成通過具體題目總結常用結論的習慣。
教學過程 學生活動 教師活動 設計意圖
二、講解新課 ⑶過點C(- , )，傾斜角為0o，則直線方程是_________
⑷過點D(2,5)，傾斜角為90o，則直線方程是_________
2.已知直線的點斜式方程是y－2＝k(x-1)，那么這條直線恒過定點________
3.已知直線方程是 ，那么這條直線的斜率是_______,傾斜角為______
并總結特殊直線方程及點斜式方程的適用范圍
總結完后完成練習2，3
⑷點斜式方程不能表示傾斜角為90o的直線方程。
熟練點斜式方程的形式及各部分數值的幾何意義
(二)斜截式方程
【問題】已知直線l的斜率是k，且與y軸的交點是P(0,b)，則直線l的方程是_________
即y=kx+b……⑵
方程⑵叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式
說明：⑴b為直線l在y軸上的截距，b∈R。
⑵當k≠0時，斜截式方程就是一次函數的表示形式。
⑶斜截式直線方程不能表示傾斜角為900的直線方程。 學生獨立求出直線 的方程：
（2） 引導學生推導方程并總結說明。 引入斜截式方程，讓學生懂得斜截式方程源于點斜式方程，是點斜式方程的一種特殊情形。
例2.寫出下列直線的斜截式方程
⑴斜率為 ，在y軸上的截距是-2；
⑵斜率為-2，在y軸上的截距是0；
⑶傾斜角是60o，在y軸上的截距是3；
寫出答案
訂正答案 深入理解和掌握斜截式方程的特點
教學過程 學生活動 教師活動 設計意圖
二、講解新課 例3.已知直線
，
，試討論：⑴ 的條件是什么？
⑵ 的條件是什么？
總結：⑴
且 ；
⑵
練習：判斷下列各對直線是否平行或垂直
⑴
⑵
例4.已知直線l在y軸上的截距是-3，且與直線y＝ x平行，求直線l的方程。
[變式：] 已知直線l在y軸上的截距是-3，且與直線y＝ x垂直，求直線l的方程。
在此由學生得出結論
回答問題 教師引導學生分析：用斜率判斷兩條直線平行、垂直結論。思考（1） 時， 有何關系？（2） 時， 有何關系？ 掌握從直線方程的角度判斷兩條直線相互平行，或相互垂直；進一步理解斜截式方程中 的幾何意義。
對例3的反饋練習。
三、小結 學生填寫下表：
直線的方程 條件 方程的范圍 不適合直線
點斜式方程
斜截式方程
特殊情況 與x軸垂直的直線 方程：
與y軸垂直的直線 方程：
使學生對本節課所學的知識有一個整體性的認識，了解知識的來龍去脈。
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四、隨堂檢測 1. 判斷正誤：
①直線的點斜式方程 不能表示與坐標軸垂直的直線；
②直線y=kx+b與y軸的交于點P(0，b)，其中在y軸上的截距b＝ ；
2.寫出經過過點（2，1）且滿足下列條件的直線方程：⑴平行于x軸的直線方程為__________；⑵平行于y軸的直線方程為__________；⑶過原點的直線方程為____________
3.x軸所在直線的方程是__________；y軸所在直線的方程是__________
4.直線3x-y+6=0的斜率為k=______，在y軸上的截距為b=_______
5.經過點A(3,2)且平行于直線y＝4x－2的直線方程為_________
6.經過點B(3,0)且垂直于直線y＝2x－5的直線方程為_________ 練習 訂正答案 鞏固新知識。
五、思考 直線l：5kx－5y-k+3=0，當k變化時，直線恒過定點__________
課后思考 提高學生靈活運用知識的能力，養成善于分析思考的習慣。
六作業 1.直線3x+2y+6=0的斜率為k，在y軸上的截距為b，則k＝_____，b=_____
2. 在y軸上的截距為-6，且與y軸相交成角45 的直線的方程是
3. 將直線y=- (x-2)繞(2,0)順時針旋轉30 所得的直線方程是
4.已知A(-2,3),B(4,5)，求AB的垂直平分線所在直線的方程。
5.已知直線過點P(3,2)，傾斜角是直線y= 的傾斜角的兩倍，求直線的方程
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