視頻標簽：傾斜角與斜率

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：高中數學人教A版必修二3.1.1傾斜角與斜率-合肥

教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修二3.1.1傾斜角與斜率-合肥市第一中學

教學目標
一.知識與技能
1.正確理解直線傾斜角和斜率的概念,
2.斜率公式的推導過程,掌握過兩點的直線的斜率公式.
二.過程與方法
    引導學生將直線的位置問題(幾何問題)轉化為傾斜角問題,進而轉化為傾斜角的正切值即斜率問題(代數問題)進行解決,使學生不斷體會“數形結合”的思想方法.
三.情感、態度與價值觀
    通過引入直線傾斜角的概念,揭示學習直線傾斜角與斜率的關系,培養學生觀察、探索能力,運用數學語言表達能力,數學交流與評價能力.通過斜率概念的建立和斜率公式的推導,幫助學生理解數形結合思想的重要性,培養學生樹立辯證統一的觀點,培養學生的嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.
2學情分析
作為教學對象的學生是學習主體,為了突出學生的主體的地位,教師須全面研究學生,理解學生。
①認識結構
經過半年多時間的學習,學生對數學概念及思維方法的認識水平有了較大提高.但不同層次的學生之間仍存在著較大的差距,尤其表現在對知識的探究、聯想、遷移能力上在新課中,運用了生活中的實例,多媒體動畫效果,引導學生思維的“上路”,讓學生主動參與探究過程;
②情感結構
 隨著年齡的增大,閱歷的豐富,高中學生自主意識的增強,有獨立思考問題、發現問題的能力在學生的探索活動中,主動通過設疑、質疑、提示等啟發示手段,幫助他們分析問題,激發學生的學習的興趣.
3重點難點
教學重點:直線傾斜角和斜率的概念以及過兩點的直線的斜率公式;
教學難點:斜率公式的推導.
 
4教學過程
4.1直線的傾斜角與斜率
4.1.1教學活動
活動1【講授】直線的傾斜角與斜率
情景引入:
    同學們,今天我們學習直線的傾斜角與斜率。明天是周六,我想帶小朋友去游樂場玩,小朋友非常喜歡滑滑梯,現在有三種滑梯,大家覺得哪一個更適合小朋友呢? 初中我們學習過,兩點確定一條直線,這些直線可以看做過一定點的一系列直線,過點P可以做多少條直線呢?過點P作無數條直線 ,  ,  ……他們的區別在哪里呢?
 
一 直線的傾斜角
定義:在平面直角坐標系中,當直線 與x軸相交時,我們取x軸作為基準,x軸正向與直線 向上方向之間所成的角 就叫做直線 的傾斜角。
師:請大家在草稿紙上畫直角坐標系以及直線,并判斷傾斜角在什么范圍內
生:銳角,直角,鈍角
規定:當直線l與x軸平行或重合時,α=0°
問:直線的傾斜角在什么范圍內呢?鏈接幾何畫板
生:  0°≤α<180°
師:在平面直角坐標系內每一條直線都有一個確定的傾斜角   
  傾斜程度相同的直線,傾斜角相等  傾斜程度不相同的直線,傾斜角不相等
  可用傾斜角表示平面直角坐標系內一條直線的傾斜程度
  日常生活中,還有沒有表示傾斜程度的量?比如說爬山,爬坡
生:坡度!
師:坡度指的是升高量與前進量的比,以大象滑梯和極限滑梯為例,升高量與前進量的比值不同,顯然直線的傾斜程度不一樣。
 
師:升高量與前進量之比實際上就是“傾斜角α的正切”
 
二 直線的斜率
我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率. 斜率通常用 表示,即:
 
 
 
師:同學們在高一階段已經學習了正切函數,現在請同學們在草稿紙上畫出正切函數圖像
    請一位同學在黑板上畫出圖像。鏈接幾何畫板并在黑板上畫出傾斜角范圍內的正切圖像。
注:傾斜角是90°的直線沒有斜率
 
師:傾斜角不是90°的直線都有斜率,傾斜角不同,直線的斜率也不同,因此,我們可以用斜率表示直線的傾斜程度。
1
不存在
 
師:判斷下列命題是否正確:
因為所有直線都有傾斜角,所以所有直線都有斜率.  (× )
‚直線的斜率為tanβ,則它的傾斜角為β.          (× )鏈接幾何畫板
 
師:直線的傾斜角與斜率的概念大家已經學習,我們知道,兩點可以確定一條直線,直線確定了,傾斜角就確定了,如何把兩點坐標與斜率之間建立聯系呢?
三 由直線上兩點的坐標計算直線的斜率
已知直線上兩點:  如何求斜率k?
1.當α為銳角時
 
2.當α為鈍角時   請兩位同學在黑板上板演,參考銳角范圍內的探究方法(不規定 在直線上的位置,兩位同學在黑板上所標點的位置不同,正好說明公式與點的位置無關)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
經過 兩點的直線的斜率公式:
 
 
 
 
問:當 時,上述公式還適用嗎?
當 當,分式的分母為0, 不存在,公式不適用。
此時直線 與 軸垂直,與直線的傾斜角為90°的直線沒有斜率一致,所以說數學是嚴密的。
 
當直線 與 軸平行或重合時,即 , =0
 
 
 
活動2【練習】直線的傾斜角與斜率
四、例題講解:
例1已知A(3,2), B(-4,1),C(0,-1),
 (1)求直線AB、BC、CA的斜率,  
 (2)判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角?
 
 
 
 
 
變式1:已知P(n,5),求直線AP的斜率
 
 
 
 
 
變式2:畫出經過C點且斜率分別為:-1, ,2的直線  ,  ,
 
 
活動3【活動】直線的傾斜角與斜率
思考
(1)已知直線 傾斜角α在(Π6  ,2Π3  ​) 范圍內,求直線l 斜率的取值范圍?
(2)若直線的斜率在 [-1,1]范圍內,求直線傾斜角的取值范圍?
活動4【作業】直線的傾斜角與斜率
作業:
      習題3.1 A組2,3題
補充:1已知直線 的傾斜角為α,sinα =45  ​ ,求此直線的斜率
 2 已知A(a,2),  B(3,-1),當AB傾斜角為鈍角時,求a的范圍

3.1.1 直線的傾斜角和斜率 
合肥一中數學組  姚微微 
教學目標： 
一．知識與技能 
1.正確理解直線傾斜角和斜率的概念, 2.理解直線傾斜角的唯一性, 3.理解直線斜率的存在性, 
4.斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式. 二．過程與方法 
    引導學生將直線的位置問題（幾何問題）轉化為傾斜角問題，進而轉化為傾斜角的正切值即斜率問題（代數問題）進行解決，使學生不斷體會“數形結合”的思想方法. 三．情感、態度與價值觀 
    通過引入直線傾斜角的概念，揭示學習直線傾斜角與斜率的關系，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生理解數形結合思想的重要性，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生的嚴謹的科學態度和求簡的數學精神. 
教學重點：直線傾斜角和斜率的概念以及過兩點的直線的斜率公式; 教學難點：斜率公式的推導; 
教學方式：啟發式教學、分小組討論式教學 教學手段：多媒體應用 課型：新授課 課時：1課時  
師：同學們，今天我們學習直線的傾斜角與斜率。 
師：明天是周六，我想帶小朋友去游樂場玩，小朋友非常喜歡滑滑梯，     現在有三種滑梯，大家覺得哪一個更適合小朋友呢？   生：第三個 師：為什么呢？                                       生：刺激！ 
師：為什么第三個比較刺激呢？                         生：因為它的滑梯比較長 師：還有呢？                                         生：滑梯的傾斜程度不一樣 師：非常好，傾斜程度不一樣，大家能否把滑梯抽象成為數學圖形？                  生：可以，直線 
師：通常情況下，我們把直線放在平面直角坐標系中來研究 
 
 
初中我們學習過，兩點確定一條直線， 
師：這些直線可以看做過一定點的一系列直線， 過點P可以做多少條直線呢？ 
過點P作無數條直線 1l， 2l ，3l ……他們的區別在哪里呢？ 生：傾斜程度不一樣 
師：怎樣描述直線的傾斜程度呢？能不能用角來描述？ 生：可以用直線與x軸形成的角來描述  
師：直線與x軸形成的四個角都可以表示傾斜程度，通常情況下用圖中所示的角來描述。 師：如何表示這個角呢？ 
生：直線在x軸上的部分與x軸之間所成的角， 師：大體意思明白，但不夠準確。 
一. 直線的傾斜角 
定義：在平面直角坐標系中，當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α就叫做直線l的傾斜角。 
師：請大家在草稿紙上畫直角坐標系以及直線，并判斷傾斜角在什么范圍內 生：銳角，直角，鈍角 
規定：當直線l與x軸平行或重合時，α=0° 
問：直線的傾斜角在什么范圍內呢？鏈接幾何畫板 生：  0°≤α<180° 
師：在平面直角坐標系內每一條直線都有一個確定的傾斜角    
  傾斜程度相同的直線，傾斜角相等  傾斜程度不相同的直線，傾斜角不相等   可用傾斜角表示平面直角坐標系內一條直線的傾斜程度 
  日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量？比如說爬山，爬坡 生：坡度！ 
師：坡度指的是升高量與前進量的比，以大象滑梯和極限滑梯為例，升高量與前進量的比值不同，顯然直線的傾斜程度不一樣。  
 
師：升高量與前進量之比實際上就是“傾斜角α的正切” 二. 直線的斜率 
我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率. 斜率通常用k表示，即：  
 
   師：同學們在高一階段已經學習了正切函數，現在請同學們在草稿紙上畫出正切函數圖像     請一位同學在黑板上畫出圖像。鏈接幾何畫板并在黑板上畫出傾斜角范圍內的正切圖像。 注：傾斜角是90°的直線沒有斜率  
師：傾斜角不是90°的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同，因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度。 
 
師：判斷下列命題是否正確： 
因為所有直線都有傾斜角，所以所有直線都有斜率.  (× ) 
直線的斜率為tanβ，則它的傾斜角為β.          （× ）鏈接幾何畫板  
師：直線的傾斜角與斜率的概念大家已經學習，我們知道，兩點可以確定一條直線，直線確定了，傾斜角就確定了，如何把兩點坐標與斜率之間建立聯系呢？ 
三. 由直線上兩點的坐標計算直線的斜率 
已知直線上兩點：)(),,(),,(2122211
1xxyxPyxP≠ 如何求斜率
k？ 
1.當α為銳角時 
 
 
α 
30 45 60 90 120 150 
k 
3
3 1 3 不存在 3- 3
3-
 x
xyyk1212--αtan==1
21||xxPP122||yyPP||||tan1
2PPPPk)90≠α(αtan=k 
                    
             
                    
                            2.當α為鈍角時   請兩位同學在黑板上板演，參考銳角范圍內的探究方法（不規定21,PP在直線上的位置，兩位同學在黑板上所標點的位置不同，正好說明公式與點的位置無關）           
經過)(),,(),,(2122211
1xxyxPyxP≠兩點的直線的斜率公式： 
    
問：當21xx=時，上述公式還適用嗎？ 
當21xx=當，分式的分母為0，k不存在，公式不適用。 此時直線l與x軸垂直，與直線的傾斜角為90°的直線沒有斜率一致，所以說數學是嚴密的。  
當直線l與x軸平行或重合時，即21yy=，k=0 
  
四、例題講解： 
例1已知A(3,2), B(-4,1),C(0,-1),  （1）求直線AB、BC、CA的斜率，   
 （2）判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角？    
  變式1：已知P（n,5),求直線AP的斜率    
變式2：畫出經過C點且斜率分別為：-1，3，2的直線 1l， 2l ，3l  
 
1
212--xxyyk=)
(21xx1Px
0
y
2P
 
                    
             
                    
                            思考 
（1）已知直線l傾斜角α在），（3
26范圍內，求直線l斜率的取值范圍？ （2）若直線的斜率在11-，范圍內，求直線傾斜角的取值范圍？  
五、小結： 
 
師：數缺形時少直覺，形少數時難入微 
師：還要記得提醒身邊的小朋友坐合適的滑滑梯哦！ 
 
六、作業: 
      習題3.1 A組2，3題 
補充:１已知直線l的傾斜角為α, 5
4
αsin=，求此直線的斜率 
 2 已知Ａ(a,2),  B(3,-1),當AB傾斜角為鈍角時，求a的范圍
 

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