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視頻標簽：指數函數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版課標版必修一3.1.2指數函數-重慶
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教B版課標版必修一3.1.2 指數函數-重慶
教學目標
1.使學生掌握的概念,圖象和性質.
(1)能根據定義判斷形如什么樣的函數是,了解對底數的限制條件的合理性,明確的定義域. (2)能在基本性質的指導下,用列表描點法畫出的圖象,能從數形兩方面認識的性質. (3) 能利用的性質比較某些冪形數的大小,會利用的圖象畫出形如 的圖象.
2. 通過對的概念圖象性質的學習,培養學生觀察,分析歸納的能力,進一步體會數形結合的思想方法.
3.通過對的研究,讓學生認識到數學的應用價值,激發學生學習數學的興趣.使學生善于從現實生活中數學的發現問題,解決問題. 教學建議 教材分析
(1) 是在學生系統學習了函數概念,基本掌握了函數的性質的基礎上進行研究的,它是重要的基本初等函數之一,作為常見函數,它既是函數概念及性質的第一次應用,也是今后學習對數函數的基礎,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,所以應重點研究.
(2) 本節的教學重點是在理解定義的基礎上掌握的圖象和性質.難點是對底數 在 和 時,函數值變化情況的區分.
(3)是學生完全陌生的一類函數,對于這樣的函數應怎樣進行較為系統的理論研究是學生面臨的重要問題,所以從的研究過程中得到相應的結論固然重要,但更為重要的是要了解系統研究一類函數的方法,所以在教學中要特別讓學生去體會研究的方法,以便能將其遷移到其他函數的研究. 教法建議
(1)關于的定義按照課本上說法它是一種形式定義即解析式的特征必須是 的樣子,不能有一點差異,諸如 , 等都不是.
(2)對底數 的限制條件的理解與認識也是認識的重要內容.如果有可能盡量讓學生自己去研究對底數,指數都有什么限制要求,教師再給予補充或用具體例子加以說明,因為對這個條件的認識不僅關系到對的認識及性質的分類討論,還關系到后面學習對數函數中底數的認識,所以一定要真正了解它的由來.
關于圖象的繪制,雖然是用列表描點法,但在具體教學中應避免描點前的盲目列表計算,也應避免盲目的連點成線,要把表列在關鍵之處,要把點連在恰當之處,所以應在列表描點前先把函數的性質作一些簡單的討論,取得對要畫圖象的存在范圍,大致特征,變化趨勢的大概認識后,以此為指導再列表計算,描點得圖象.
教學設計示例
課題
教學目標
1.理解指數函數的概念和意義，會畫指數函數的圖像。 2.探索并理解指數函數的單調性和特殊點。 3.理解指數函數的圖像與性質，能運用指數函數的圖像和性質解決有關數學問題。
教學重點和難點
重點是理解指數函數的定義,掌握圖象和性質. 難點是認識底數對函數值影響的認識. 教學用具 投影儀 教學方法 啟發討論研究式 教學過程
一. 引入新課
我們前面學習了指數運算,在此基礎上,今天我們要來研究一類新的常見函數-------. 1.6.(板書)
這類函數之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題: 問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂 次后,得到的細胞分裂的個數 與 之間,構成一個函數關系,能寫出 與 之間的函數關系式嗎? 由學生回答: 與 之間的關系式,可以表示為 .
問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了 次后繩子剩余的長度為 米,試寫出 與 之間的函數關系. 由學生回答: .
在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數與我們前面研究的函數有所區別,從形式上冪的形式,且自變量 均在指數的位置上,那么就把形如這樣的函數稱為. 一. 的概念(板書)
1.定義:形如 的函數稱為.(板書) 教師在給出定義之后再對定義作幾點說明. 2.幾點說明 (板書)
(1) 關于對 的規定:
教師首先提出問題:為什么要規定底數大于0且不等于1呢?(若學生感到有困難,可將問題分解為若 會有什么問題?如 ,此時 , 等在實數范圍內相應的函數值不存在.
若 對于 都無意義,若 則 無論 取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發生,所以規定 且 . (2)關于的定義域 (板書)
教師引導學生回顧指數范圍,發現指數可以取有理數.此時教師可指出,其實當指數為無理數時, 也是一個確定的實數,對于無理指數冪,學過的有理指數冪的性質和運算法則它都適用,所以將指數范圍擴充為實數范圍,所以的定義域為 .擴充的另一個原因是因為使她它更具代表更有應用價值.
(3)關于是否是的判斷(板書)
剛才分別認識了中底數,指數的要求,下面我們從整體的角度來認識一下,根據定義我們知道什么樣的函數是,請看下面函數是否是. (1) , (2) , (3) (4) , (5) .
學生回答并說明理由,教師根據情況作點評,指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以寫成 ,也是指數圖象.
最后提醒學生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數的性質,此時研究的關鍵在于畫出它的圖象,再細致歸納性質. 3.歸納性質
作圖的用什么方法.用列表描點發現,教師準備明確性質,再由學生回答.
函數
1.定義域 : 2.值域:
3.奇偶性 :既不是奇函數也不是偶函數 4.截距:在 軸上沒有,在 軸上為1.
對于性質1和2可以兩條合在一起說,并追問起什么作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應會證明.對于單調性,我建議找一些特殊點.,先看一看,再下定論.對最后一條也是指導函數圖象畫圖的依據.(圖象位于 軸上方,且與 軸不相交.)
在此基礎上,教師可指導學生列表,描點了.取點時還要提醒學生由于不具備對稱性,故 的值應有正有負,且由于單調性不清,所取點的個數不能太少.
此處教師可利用計算機列表描點,給出十組數據,而學生自己列表描點,至少六組數據.連點成線時,一定提醒學生圖象的變化趨勢(當 越小,圖象越靠近 軸, 越大,圖象上升的越快),并連出光滑曲線.
二.圖象與性質(板書)
1.圖象的畫法:性質指導下的列表描點法. 2.草圖:
當畫完第一個圖象之后,可問學生是否需要再畫第二個?它是否具有代表性?(教師可提示底數的條件是 且 ,取值可分為兩段)讓學生明白需再畫第二個,不妨取 為例.
此時畫它的圖象的方法應讓學生來選擇,應讓學生意識到列表描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與 圖象之間關于 軸對稱,而此時 的圖象已經有了,具備了變換的條件.讓學生自己做對稱,教師借助計算機畫圖,在同一坐標系下得到 的圖象.
最后問學生是否需要再畫.(可能有兩種可能性,若學生認為無需再畫,則追問其原因并要求其說出性質,若認為還需畫,則教師可利用計算機再畫出如 的圖象一起比較,再找共性) 由于圖象是形的特征,所以先從幾何角度看它們有什么特征.教師可列一個表,如下:
以上內容學生說不齊的,教師可適當提出觀察角度讓學生去描述,然后再讓學生將幾何的特征,翻譯為函數的性質,即從代數角度的描述,將表中另一部分填滿.
填好后,讓學生仿照此例再列一個 的表,將相應的內容填好.為進一步整理性質,教師可提出從另一個角度來分類,整理函數的性質. 3.性質.
(1)無論 為何值, 都有定義域為 ,值域為 ,都過點 . (2) 時, 在定義域內為增函數, 時, 為減函數. (3) 時, ,
時, .
總結之后,特別提醒學生記住函數的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質. 三.簡單應用 (板書) 1.利用單調性比大小. (板書)
一類函數研究完它的概念,圖象和性質后,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.
例1. 比較下列各組數的大小 (1) 與 ; (2) 與 ;
(3) 與1 .(板書)
首先讓學生觀察兩個數的特點,有什么相同?由學生指出它們底數相同,指數不同.再追問根據這個特點,用什么方法來比較它們的大小呢?讓學生聯想,提出構造函數的方法,即把這兩個數看作某個函數的函數值,利用它的單調性比較大小.然后以第(1)題為例,給出解答過程. 解: 在 上是增函數,且 < .(板書)
教師最后再強調過程必須寫清三句話:
(1) 構造函數并指明函數的單調區間及相應的單調性.
(2) 自變量的大小比較.
(3) 函數值的大小比較.
后兩個題的過程略.要求學生仿照第(1)題敘述過程. 例2.比較下列各組數的大小 (1) 與 ; (2) 與
(3) 與 .(板書)
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