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視頻課題：高中數學人教A版《數系的擴充和復數的概念》浙江省常山
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高中數學人教A版《數系的擴充和復數的概念》浙江省常山縣第一中學
教學目標
在知識方面：了解數系擴充的過程，理解復數的基本概念，掌握復數相等的充要條件
在能力方面：通過對新概念的學習提高學生的認知能力，在復數相等充要條件的研究過程中提高學生類比思考的能力；
在情感方面：通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結，培養學生的探索精神，引導學生養成自主探究的學習習慣.
2學情分析
在學習本節之前，學生對數的概念已經擴充到實數，也已清楚各種數集之間的包含關系等內容，但知識是零碎、分散的，對數的生成發展的歷史和規律缺乏整體認識與理性思考，知識體系還未形成。另一方面學生對方程解的問題會默認為在實數集中進行，缺乏嚴謹的思維習慣。
3重點難點
教學重點：復數的概念
教學難點：虛數單位i的引進及復數的概念
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】 創設情境
首先我通過下面兩個問題來開啟本節課的大門
問題1 從小到大，我們認識了各種各樣的數。進入高中，我們學習了集合，你知道的數集有哪些？分別用什么記號表示？
問題2你能用包含關系將這些數集“串”起來嗎？
活動2【導入】建構理論
問題3 我們常說的運算，是指加、減、乘、除、乘方、開方等運算，思考一下，這些運算在各個數集中總能實施嗎？
追問：這些問題是怎么解決的呢？
設計意圖：讓學生思考數集擴充的原因，在此基礎之上，幫助學生重新建構數集的擴充過程，這是本節課的生長點．
問題4 那么在實數范圍內加、減、乘、除、乘方、開方這些運算總能實施了嗎？
由此，追問：
問題5 需要解決什么樣的問題呢？
設計意圖：教師引領學生采用類比的思想，將問題轉化為找一個數的平方為－1，從而讓“引入新數”水到渠成．
活動3【講授】概念形成
問題6 添加的新數僅僅是i嗎？
問題7 你還能寫出其他含有i的數嗎？
問題8 你能寫出一個形式，把剛才所寫出來的數都包含在內嗎？
設計意圖：學生通過問題6、7的鋪墊，引導學生由特殊到一般，抽象概括出復數的代數形式z=a+bi，幫助學生主動建構復數的代數形式．從而使教學目標1得以實現，攻克本節課的重點。
活動4【活動】概念的理解
例1 指出下列復數的實部和虛部
（1）4，（2）2-3i, (3)-6i,(4)5i+√2 (5)0,(6)2+√3
注意:復數的實部與虛部都是實數.
活動5【活動】復數的分類
問題9 實數集與擴充后的復數集是什么關系呢？
問題10 復數集、實數集、虛數集、純虛數集它們之間是什么關系呢？你能用圖表的形式畫出來嗎？
設計意圖：學生通過討論自然而然地想到要對復數進行分類，從而深化對復數概念的理解。通過問題10讓學生直觀地感受復數的分類，進一步深化復數的概念，實現本節設定的第二個目標。
例2 實數m分別取什么值時，復數z=m(m-1)+(m-1)i 是：
(1)實數？(2)虛數？(3)純虛數？
活動6【講授】復數相等概念的理解
問題11：兩個二項式相等的充要條件是什么？你能類比得出兩個復數相
等的充要條件嗎？
設計意圖：引導學生類比兩個二項式相等的條件，歸納出復數相等的充要條件，即實部與實部相等并且虛部與虛部相等。并在此時告訴學生兩個復數只能說相等或者不相等，除非它們都是實數時才可以比較大小。從而實現本節設定的第三個目標。
例3 已知（2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x,y的值.
活動7【活動】課堂小結
在完成了新知學習的環節之后，進入到課堂小結。回顧本節課的主要內容，由學生自己總結出本節課的主要知識和方法。并在多媒體上演示這些內容。以此達到提高學生歸納總結能力的教學目標。并拋出問題：實數能用數軸上的點來表示，所有的復數也能用數軸上的點來表示嗎？
活動8【作業】任務 后延
1、書面作業：課后P106習題第1、2、3題.
2、知識拓展作業：小組成員交流合作，寫一篇與數系擴充和發展有關的小論文；（投影）
展示數系的擴充過程，感受數系擴充的必要性.
這節課，我們共同感受了數的概念發展的過程，虛數的出現與很多新生事物一樣，剛開始并不為人所接受.對于“虛數”的研究，經歷了漫長的過程，最終人們發現復數在物理學，空氣動力學等很多領域的實際作用后，虛數才被大家所接受，正所謂實踐才是檢驗真理的唯一標準.
“數系發展到復數之后還能不能繼續擴充？隨著數學領域的不斷擴展，或許有一天數系會沖破復數集的約束，邁向更廣的數系空間.建議有興趣的同學課下了解章末閱讀材料中“四元數”的內容
活動9【活動】課后反思
通過本節課的學習：
（1）讓學生感受到數學的文化內涵
本節課教者從學生已有的知識基礎出發，再現歷史上數學家卡爾丹的問題，讓學生經歷與數學大師一起發現問題、思考問題、解決問題的過程，感受到數學家就在自己的身邊，小小的“i”硬是經過了兩個世紀的努力才被人接受；數學發現并不神秘，大師們通常是在別人習以為常的現象中發現新問題并窮追不舍；數學并不神秘，只要我們“更新觀念”，跳出原有的舊框框，一片更為廣闊的數學天地便盡收眼底.
（2）讓學生加深對數學思想方法的理解
學生在理解、把握數學知識中，不僅僅是記憶形式上的數學知識，更重要的是領會以數學知識為載體的數學思想方法等．通過對數的發展歷史的研究，可以把握數學知識、思想、方法的來龍去脈．從實數系到復數系，如何擴充的？擴充的原則是什么？教者通過設計問題串，引領學生追溯數的發展歷史，類比前幾次數系的擴充，讓學生在知識發生過程中進行“火熱的思考”，實現“再創造”，抽象概括出數系擴充的原則．
（3）幫助學生架起感性認識到理性認識的橋梁
從虛數的“生長”過程來看，即使是數學家的認識也是逐步深入的．這是數學家幾代人共同努力的產物：是一個從無到有、從疑惑到接受、從模糊到清晰、從片面到完善的過程．只有學生親身“經歷”這一歷史過程，才能體驗到數學家的創造過程；才能感知到數學家的認知過程；才能感悟到數學家的思維過程．只有學生親身“經歷”這一歷史過程，才能消除學生對虛數的疑惑：“虛數是什么？為什么要引入？怎么引入？引入后有什么用？”．只有學生親身“經歷”這一歷史過程，才能感受到虛數不是神秘莫測、絕對權威的，是一種創造．
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