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視頻課題：高中數學人教A版《數系的擴充和復數的概念》鄭州實驗

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高中數學人教A版《數系的擴充和復數的概念》鄭州市實驗高級中學

《數域的擴充和復數的引入》教學設計 

一、教學目標 知識與技能： 
1． 了解數系發展原因，數集的擴展過程； 2．理解復數的有關概念以及符號表示； 過程與方法： 
經歷了數系的擴充過程，體驗了復數引入的必要，探究了復數相等的概念，領悟了類比的思想方法． 情感態度與價值觀： 
在問題情境中了解數系的擴充過程，體會實際需求；在數系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數與現實世界的聯系． 二、教學重難點： 
重點：對引入復數的必要性的認識，理解復數的基本概念 難點：虛數單位的引入以及復數概念的生成. 三、教學過程 （一）數系擴充 1.情景激趣 
數字的由來：人類在社會發展中，逐步學會了以對應的方法來計算事物的個數，如“屈指”計數，“結繩”計數，“堆石子”計數等。經過長期的實踐，把表示事物的個數：“一個”、“二個”、“三個”，„„；或把表示事物的次序：“第一”、“第二”、“第三”，„„抽象出來的數1，2，3，4，„„，叫
                    
             
                    
                            做自然數。 
問題：你了解"數"的發展史嗎?請你回顧從小學到現在數是如何一步一步發展到今天的實數集合的。數的發展從自然數集到整數集，再到有理數集，最后發展到實數集，那么數集擴充到實數集之后,是不是所有的方程都有解了呢? 我們可以用下面一組方程來形象的說明數系的發展變化過程： （1）在自然數集中求方程 𝑥+1＝0的解？ （2）在整數集中求方程 2𝑥+1＝0的解？ （3）在有理數集中求方程 𝑥2−2＝0的解？ （4）在實數集中求方程 𝑥2+1＝0的解？   
思考：在實數域內方程012x無解，那么擴充數域以后，有解嗎？ 【設計意圖】以數字由來作為情境，結合從小學到現在的數學知識背景，既可以使學生了解數學的發展史，又能讓學生全身心投入課堂，從而激發學生的學習熱情。感悟知識的發生、發展過程。 （二）新知建構 
知識建構一：虛數單位及規定 
我們引入一個新數i,叫做虛數單位,并規定:21i. 知識建構二：復數的有關概念 
1.復數的定義:形如(,)abiabR的數,我們稱之為復數. 
2.復數的代數形式:復數通常用字母z表示,即(,)zabiabR.其中a稱為復數z的實部,b稱為復數z的虛部. 練習：說出下列復數的實部和虛部: 
,
0iiii,3,2,3
1
2,22 
                    
             
                    
                            閱讀：復數系是怎樣建立的？ 
【設計意圖】通過習題和閱讀材料深化概念，鞏固復數的代數形式。 知識建構三：復數的分類 



0,0非純虛數0,0純虛數0虛數0,0實數0非0,0,00實數,,復數bababbababRbabiaz    
思考：復數集C和實數集R之間是什么關系？  
練一練： 
1.說明下列數中，那些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，并指出復數的實部與虛部. 2.判斷： 
（1）若𝑎=0,則𝑧=𝑎+𝑏𝑖 (𝑎 ∈ 𝑅、𝑏 ∈ 𝑅)為純虛數. （2）若𝒛=𝒂+𝒃𝒊 (𝒂 ∈ 𝑹、𝒃 ∈ 𝑹)為純虛數,則𝒂=𝟎. 
結論：故𝑎=0是𝑧=𝑎+𝑏𝑖 (𝑎 ∈ 𝑅、𝑏 ∈ 𝑅)為純虛數的必要不充分條件. 
【設計意圖】鞏固復數的分類，熟練掌握實部、虛部對于復數的影響，深化對復數的認識。 
知識建構四：復數相等的概念 
復數集 
實數集 
虛數集 
純虛數集 
CR    
 
                    
             
                    
                            如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等，即(,,,)ab
abicdiabcdRcd

 說一說： 
（1）若𝟐−𝟑𝒊=𝒂−𝟑𝒊,求實數𝒂的值； （2）若𝟖+𝟓𝒊=𝟖+𝒃𝒊,求實數𝒃的值； （3）若𝟒+𝒃𝒊=𝒂−𝟐𝒊，求實數𝒂,𝒃的值 
【設計意圖】通過習題以口答的方式深化復數相等的概念，為后面培養轉化思想做準備。 （三）學以致用 
例1 下列命題中，正確命題的個數是____ （1）若𝑥,𝑦∈𝐶則𝑥+𝑦𝑖=1+𝑖的充要條件是𝑥=𝑦=1； （2）若𝑎,𝑏∈𝑅且𝑎>𝑏，則𝑎+i>𝑏+𝑖； （3）若𝑥^2+𝑦^2=0，則𝑥=𝑦=0； （4）若𝑎∈𝑅，則（a+1）i為純虛數. 
【設計意圖】引導學生由所學知識解決問題，提高分析問題能力，激發其學習欲望。 
例2：實數𝑚取什么值時，復數𝑧=𝑚+1+ 𝑚−1 𝑖 是（1）實數？  （2）虛數？ （3）純虛數？ 
例3：求適合方程2𝑥2−5𝑥+3+ 𝑦2+𝑦−6 𝑖=0的𝑥與𝑦（𝑥,𝑦∈𝑅）的值 【設計意圖】培養學生將復數相等問題轉化為求方程組解的問題的能力，進一步深化學生轉化的數學思想。 
 
                    
             
                    
                            （四）探索發現 
探究復數的虛數單位𝑖的性質：i𝑛可以取哪些值？答：
𝑖𝑛= 
𝑖,  𝑛=4𝑘+1−1,  𝑛=4𝑘+2
−𝑖,  𝑛=4𝑘+31,  𝑛=4𝑘
 
性質1：𝑖𝑛具有周期性. 
性質2：𝑖𝑛+𝑖𝑛+1+𝑖𝑛+2+𝑖𝑛+3=0 例4：計算𝒊+𝒊𝟐+𝒊𝟑+⋯+𝒊𝟐𝟎𝟏𝟕的值. 
【設計意圖】進一步深化學生對于虛數單位的理解，培養學生靈活運用虛數單位進行計算的能力。 （五）知識梳理 
【設計意圖】通過課堂小結，深化對知識理解，建立知識結構和體系；培養學生學后反思的習慣和歸納總結能力 （六）布置作業 
必做：1、《成才之路》P189-P190       2、預習《復數的幾何意義》 
選做：若方程𝑥2+ 𝑚+2𝑖 𝑥+ 2+𝑚𝑖 =0至少有一個實數根，求𝑚的值.  板書設計： 
數系的擴充與復數的引入 
一．虛數的引入： 二．復數的概念： 三．復數的分類 四．復數相等  
教師輔助區   
學生演板區 
 
                    
             
                    
                           

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