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視頻標簽：鐘表上的角度計算
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學七年級上冊第四章習題訓練《鐘表上的角度計算》湖北省 - 宜昌
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鐘表上的角度計算
一、教學內容 1、 內容
鐘表上的角度計算
2、 內容分析
角的計算是本章重要的基礎知識，也是后續學習圖形與幾何必備的基礎知識。鐘表上的角度計算問題是本章中一個難點問題，學生經常出錯，甚至不少學生并不清楚解決這類問題的一般思路方法。本節內容可將這類問題細化，對給定時刻求夾角和給定夾角求時刻兩類基本問題作進一步的分析，歸納一般方法，突破時鐘問題的難點，鞏固提升學生對于角的和差分析能力和計算能力。
二、教學目標
知識與技能：從角的角度重新認識鐘表，弄清解決給定時刻求夾角和給定夾角求時長兩類問題的一般方法，加強角的計算的靈活性。
數學思考：經歷獨立思考與合作交流的過程，體會類比轉化、數形結合的思想。 解決問題：會靈活選擇適合的方法解決兩類問題，對于角度計算問題處理起來更加熟練靈活。
情感與態度：認識幾何圖形與客觀世界的聯系，在探究、應用的過程中體會學習幾何的快樂。
三、教學重難點
本課教學重點是從角的角度重新認識鐘表，明確給定時刻求夾角的一般方法。本課教學難點是引導學生通過類比追及問題，逐步解決給定夾角求時長的問題。
四、教具準備
教學環境為有一體機的多媒體教室，教師需給每組學生準備兩個表盤，表盤1為手工制作，時針分針可任意撥動位置，表盤2為普通不裝電池的時鐘，旋動旋鈕，時針分針按比例轉動。
五、教學過程設計
1. 激趣設疑，導入課題
教師：《名偵探柯南》是很多同學喜歡的一部動漫，今天聰明的柯南又來到了案發現場。
問題1 偵探柯南又來到了一處案發現場，死者手里拿著一張紙，畫著一個沒有任何刻度的表盤，時針和分針的夾角大約是90°，這應該是死者最后畫出的案發時間。據現場觀察，案發時間大約在5點到6點之間。你能推算出具體案發時間嗎？
【師生活動】教師引導學生理解，要解決這個問題，需要弄清鐘表上的角度計算問題，引入本課課題。
2. 重識鐘表，試求夾角
問題2 從最簡單的夾角問題開始研究，你知道這些時刻，時針分針的夾角嗎？
【師生活動】教師結合學生回答，引導學生發現，要快速解決這一問題，需要先弄清楚鐘面上每一大格、每一小格所對應的度數。
活動1 自主學習，完成導學案上“靜態認識”內容。
（1）從靜態角度認識鐘面： ①表盤一周對應 °的角
②表盤被分成了 大格， 小格， 一大格對應 °，一小格對應 °。 （2）學以致用：
①4:00時針與分針夾角為 °；②11：00時針與分針夾角為 °。 【師生活動】教師結合學生學習結果，引導學生進行方法歸納：求某一時刻時針分針的夾角，可以確定時針分針之間的格數后，計算對應的角度。
變式1 5:30時針與分針夾了幾大格？夾角為多少度？
【師生活動】學生發現，時針一小時轉一大格，半小時轉半大格，所以可以快速求出夾角為15°。教師追問，時針一小時轉一大格，那么一小時轉多少度？一分鐘呢？分針呢？
活動2 獨立思考，完成導學案上“動態認識”內容，完成后小組內互相討論得出的結果。
（1）從動態的角度認識鐘面：
①時針一小時轉 大格，一小時轉 °，一分鐘轉 °。 ②分針一小時轉 大格，一小時轉 °，一分鐘轉 °。 ③時針每分鐘比分針多轉動 °。 （2）學以致用：
①15分鐘，時針轉動了 °，分針轉動了 °。 ②45分鐘，時針轉動了 °，分針轉動了 °。
【師生活動】教師觀察各小組的討論情況，適時點撥，并引導學生歸納：一段時間內時針或分針轉動角度=轉動速度×轉動時間。教師追問，了解了一段時間內時針分針轉動角度的算法，那么該如何去求某一時刻它們的夾角呢？
問題3 下面兩個時刻時針分針夾角為多少？ 【師生活動】教師引導學生從和差兩個方面去 思考，求得第一個時刻的夾角為82.5°，再引
導學生類比第一個問題，解決第二個問題。從學生計算方法的特點中，師生共同歸納出“湊整法”求夾角的方法。
3. 給定時刻求夾角
【問題4】把一段時間，改為起止時刻，可以求時針分針轉過的角度嗎？
①從12：00到12：20，時針轉動了 °，分針轉動了 °。 ②從12：00到1：20，時針轉動了 °，分針轉動了 °。 這兩個量能否幫助我們求時針分針的夾角？是不是直接相減就行？
活動3 撥一撥，說一說
活動要求：
①以小組為單位，把表盤1的時針分針撥至0:00（12:00）；
②選定一個時間，把表盤1的時針分針順時針撥動，撥至這個時間，完成下列填空，想一想其中的規律：
我們選定的時間是 從0:00開始，時針至少需順時針撥動的度數是（填算式） °，分針至少需順時針撥動的度數是（填
算式） °，此時時針與分針的夾角為（填算式） °。 【方法歸納】
如果時間為a時b分（0≤a≤12,0≤b<60）,則從0:00開始，時針至少需順時針撥動 °，分針至少需順時針撥動 °，此時時針與分針的夾角為 °。【師生活動】教師關注小組討論情況，適時點撥。小組討論得出結果后，給大家展示，共同歸納給定時刻求夾角的又一解法——公式法，并對三種方法進行梳理。
【問題5】選擇你喜歡的方法，求下面三個時刻時針分針的夾角： ① 2:00時，時針與分針的夾角為 ° ② 2:05時，時針與分針的夾角為 ° ③ 2:10時，時針與分針的夾角為 °
【師生活動】教師引導學生發現，不同時刻應選擇最適合的方法去計算，才能更快算出結果。結合學生得出的答案，60°，32.5°，5°，教師繼續引導學生發現，從兩點開始，時針與分針的夾角在逐步變小，所以接下來可能變為0 。
4. 給定夾角求時長
活動4 轉一轉，想一想
從2:00開始，時針分針什么時候第一次重合？ 活動要求：
①以小組為單位，把表盤2時間轉至2:00；
②順時針慢慢轉動旋鈕，觀察什么時候時針與分針第一次重合，你能求出這個時長嗎？
【師生活動】小組討論得出結果后，給大家展示。常用的有兩種解法，方程方法或者算術方法，教師可引導學生將此類問題類比學過的追及問題，所以，時長=角度差÷每分鐘轉過的角度差。因此，解決這類問題的關鍵，是找到追及的角度差。 變式2 從2:00開始，多久之后時針與分針第一次成90°夾角？
解決問題1 偵探柯南又來到了一處案發現場，死者手里拿著一張紙，畫著一個沒有任何刻
度的表盤，時針和分針的夾角大約是90°，這應該是死者最后畫出的案發時間。據現場觀察，案發時間大約在5點到6點之間。你能推算出具體案發時間嗎？（柯南有發現了一條關鍵線索：死者是在五點半被發現的。）
【師生活動】教師引導學生類比重合問題，借助表盤2，轉一轉，在小組內討論，找到追及的角度差，采用不同的方法逐步解決這一問題。教師引導學生思考，如果將附加的線索變為“有人在五點半見過死者”或者去掉這條關鍵線索，結果又會是多少？啟發學生課下繼續思考。
5. 知識梳理，歸納小結
回顧本節課的學習，結合板書，想一想你有哪些收獲 （1）我學會了哪些知識？ （2）我了解了哪些思想方法？
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