視頻標簽：切線的判定和性質

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視頻課題：人教版九年級上冊24.2《切線的判定和性質》天津市新華中學

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人教版九年級上冊24.2《切線的判定和性質》天津市新華中學

24.2.2 直線和圓的位置關系（第2課時）
（又名：切線的判定與性質）
一、內容和內容解析
1. 內容
    切線的判定定理與性質定理。
2. 內容解析
    在學習了直線與圓的三種位置關系之后，我們將重點研究直線和圓相切的情況。這節(jié)內容是切線的圖形特征和數(shù)量特征的進一步延續(xù)，是數(shù)學課程標準中“圖形與幾何”的重要組成部分。判斷直線和圓相切的方法有三種：第一種是根據(jù)圓和直線的交點個數(shù)判斷（和圓只有一個公共點的直線是圓的切線）；第二種是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小判斷（和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線）；第三種就是根據(jù)切線的判定定理判斷，即經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。此時，應注意定理中的兩個條件“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩者缺一不可。其實，切線的判定定理是從第二種方法直接得來的，只不過是為了便于應用，才改寫成這樣的形式。
切線的性質定理是判定定理的逆定理。對于切線的性質定理，可以從“二個點”和“一個垂直關系”這三者之間的關系去發(fā)現(xiàn)。二個點——圓心（點）和切點，一個垂直——過切點的半徑與切線互相垂直。如果一條直線滿足這三個條件中的任意兩個，那么它必定滿足第三個條件。于是便可以得到性質（1）切線垂直于過切點的半徑；（2）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；（3）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：切線的判定定理與性質定理。
二、目標和目標解析
    1. 目標
   （1）探索切線與過切點的半徑的關系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線。
   （2）理解并掌握切線的判定定理與性質定理，會利用判定定理與性質定理解決簡單問題。
    2.目標解析
達成目標（1）的標志是：學生能自主完成過圓上一點畫出這個圓的切線，進而理解“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”。反過來，也能認識到“圓的切線垂直于過切點的半徑”。
達成目標（2）的標志是：學生能夠分清判定定理和性質定理的題設和結論，并能解決簡單問題，明確運用定理時常用的添加輔助線的方法。
三、教學問題診斷分析
學生在學習完直線和圓的位置關系后，能夠說出如果d=ró直線和圓相切，但是如果直接得出切線的判定定理對多數(shù)學生而言是個挑戰(zhàn)，困難在于如何用簡練而準確的語言敘述判定定理，此時可以先從教材中的“思考”入手，逐步引導學生自己說出定理內容，教師適時給予補充和糾正，還可以讓學生自己動手畫圖，感受定理中兩個條件缺一不可。另外，判定定理和性質定理中的題設和結論較為隱蔽，教師也要適時做以引導。
在利用判定定理和性質定理解題時，常常需要添加輔助線，學生也常常對此感到困惑。因此，教師可以舉出實例，幫助學生總結證明一條直線是圓的切線有兩種輔助線的作法：（1）有公共點時，連半徑，證垂直；（2）無公共點時，作垂直，證半徑。在運用性質定理解題時，可以連半徑，得垂直。
基于以上分析，本節(jié)課的教學難點是：引導學生得出切線的判定定理，掌握添加輔助線的方法。
四、教學過程設計
1. 復習直線和圓的三種位置關系
問題1: 圖1、圖2、圖3中的直線l和⊙O是什么關系？如何判斷這三種位置關系？

師生活動：學生回顧上節(jié)課所學，教師提問：

1. 圖1、圖2、圖3中的直線l和⊙O是什么關系？（相離、相切、相交）
2. 如何判斷這三種位置關系？（可以從公共點的個數(shù)和圓心到直線的距離d和半徑r的關系兩個方面去判斷。）

設計意圖：復習舊知，為接下來學習切線的判定定理和性質定理做準備。
2. 探索切線的判定定理
問題2: 根據(jù)之前學過的知識，如何畫出圓的一條切線？
師生活動：學生動手操作，可能無從下手，教師要進行引導，可以添加一條半徑，降低難度。（學生回答：如果添加一條半徑，可以畫一條直線與這條半徑垂直。）
教師追問：如果只滿足“垂直于半徑”這一個條件可以嗎？（學生回答：還要過半徑外端。）
教師追問：如果只有“過半徑外端”呢？（學生回答：還要垂直于半徑。）
師生活動：如果只滿足“垂直于半徑”這個條件，演示圖1中的動畫。如果只滿足“過半徑外端”，演示圖2中的動畫。在這個過程中，可能有些同學畫的直線經(jīng)過半徑的外端但不一定與半徑垂直，或者雖然垂直半徑但不一定經(jīng)過半徑的外端。這些問題教師都需及時關注并給予指導糾正。
       
     圖1                    圖2
設計意圖：學生通過動手畫圖，感受直線變成切線，兩個條件缺一不可。
問題3: 由前面學習的兩個條件，你能不能總結出切線的判定定理？

 
 
 
 
 

師生活動：學生根據(jù)兩個條件，即“經(jīng)過半徑的外端”且“垂直于半徑”總結出切線的判定定理，即經(jīng)過半徑的外端并且垂直半徑的直線是圓的切線。
教師追問：判定定理中的題設和結論分別是什么？（學生回答：題設是一條直線經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑，結論是這條直線是圓的切線。）
教師追問：分清了題設和結論，能不能把判定定理用幾何語言表示出來？（學生回答：∵ OA是半徑，OA⊥l于A
∴ l是⊙O的切線）
設計意圖：通過一系列的問題串，使學生自主說出切線的判定定理。分清定理的題設和結論，寫出定理的幾何表示也是應用定理解決問題的關鍵。
問題4: 判斷直線與圓相切，你有多少種方法？
師生活動：學生回答，三種方法。分別是（1）與圓有唯一公共點的直線是圓的切線.（2）與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
    教師補充，需要和學生說明的是，判定定理是為了便于應用直線和圓相切的定義而改寫的一種形式。
設計意圖：聯(lián)系新知與舊知，總結概括出判斷直線與圓相切的三種方法，為解決實際問題提供思路。
3. 運用判定定理解決實際問題
例1:如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT＝45°，AT＝AB.求證：AT是
⊙O的切線.
 


 

師生活動：教師引導從求證出發(fā)，要想證明直線是圓的切線需要滿足兩個條件，題目已知過半徑外端，只需證明AT與半徑垂直即可。
設計意圖：通過例1，鞏固判定定理中的兩個重要條件。
例2:如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線。
 
變式: 如圖,OA=OB＝5，AB=8, ⊙O的直徑為6. 求證:直線AB是⊙O的切線.
師生活動：通過教師引導，學生獨立完成例2和變式，體會兩種證法的不同之處。幫助學生總結不同題目條件下所添加輔助線的不同方法。即“有公共點時，連半徑，證垂直”，“無公共點時，作垂直，證半徑”。
設計意圖：教師給出兩個相似的圖形，對比得出不同條件下添加輔助線的不同方法。再次強化判定定理中的兩個必要條件，缺一不可。
3. 探索切線的性質定理
問題5: 能不能寫出判定定理的逆命題？
師生活動：學生回答，如果一條直線是圓的切線，那么這條直線垂直于半徑。教師追問：垂直于任何一條半徑嗎？（學生回答：垂直于過切點的半徑。）
教師幫助總結性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。
教師追問：如何證明這個結論？
    教師引導學生發(fā)現(xiàn)要證明的情況只是垂直一種，如果不能從已知出發(fā)得到結論，可以考慮用反證法。如果學生不能順利說出證明過程，教師可以進行引導：假設OA與直線l不垂直，過點O作OM⊥l，根據(jù)垂線段最短的性質，又OM<OA，這說明圓心O到直線l的距離小于半徑OA，于是直線l就與圓相交，而這與直線l是⊙O的切線矛盾。因此，OA與直線l垂直。從而得到切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。
教師追問：定理的題設和結論是什么？（學生回答：題設是一條直線是圓的切線，結論是這條直線垂直于過切點的半徑）
設計意圖：利用反證法引導學生得出切線的性質定理，并體會反證法的作用，但對于這個證明只需讓學生知道即可，部分學有余力的同學可以要求口頭表述。
4. 運用定理解決實際問題
例3: 如圖，AB是⊙O的直徑，直線l₁，l₂是⊙O的切線，A、B是
切點，l₁，l₂有怎樣的位置關系？證明你的結論。


 


師生活動：教師引導，題目條件中有l₁，l₂是⊙O的切線，直接通過性質定理得出l₁⊥AB，l₂⊥AB。
教師追問：如何得出l₁，l₂的位置關系？（學生回答：l₁//l₂。）
教師追問：你的根據(jù)是什么？（學生回答：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行。）
設計意圖：通過例3，鞏固切線的性質定理。
例4：已知：△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D. 求證： AC 是⊙O 的切線．
 
 
 
師生活動：教師提問：

1. 證明切線有幾種方法？最易于操作的是哪種？（切線的判定定理）
2. 用切線的判定定理需要滿足幾個條件？（兩個）這兩個條件已知中有嗎？（沒有）

題目中既沒有半徑又沒有垂直，就需要由O點作AC的垂線段OE，證明OE是⊙O的半徑，這樣兩個條件均滿足，即可證明AC是⊙O的切線。

1. 充分挖掘已知條件，尤其是已知中的AB與⊙O相切，你能得到什么結論？（連接OD，OD是半徑且OD⊥AB）

要想證明OE是半徑，只需證明OE=OD即可。老師點撥后，學生先分組討論，然后獨立完成解題過程，在解題時遇到的困難教師給予指導。最后通過展臺，由一位學生展示解題過程。學生講解后，教師進行升華總結，得到兩條經(jīng)驗：如果直線與圓的公共點沒有確定，需要過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑。這樣的添輔助線的方法叫做“作垂直，證半徑”。如果已知直線是圓的切線，只要連接半徑，得出直線垂直于半徑即可，即“連半徑，得垂直”。
設計意圖：這道題結合了切線的性質定理和判定定理，是一道比較綜合的題目。并且通過運用性質定理解決問題，得到“連半徑，得垂直”的輔助線添加方法。
5. 小結
教師與學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：

1. 切線的判定定理和性質定理是什么？它們有怎樣的聯(lián)系？
2. 在應用性質定理解題時，需要反饋什么結論？在應用判定定理解題時，需要如何添加輔助線？

設計意圖：通過小結，使學生梳理本節(jié)課所學內容，掌握本節(jié)課的核心——切線的判定定理和性質定理，明確兩定理的題設和結論，并應用定理解決簡單問題。
6. 布置作業(yè)
教材102頁10、12題。
五、目標檢測設計
1.如圖，AB是⊙O直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于D，∠C=20^。，求∠CDA的度數(shù)
 
 
設計意圖：考查學生對切線性質定理的掌握。
2. 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分線交BC于D,以D為圓心,DB長為半徑作⊙D.試說明:AC是⊙D的切線.
 
 
 
 
 
設計意圖：考查學生對切線判定定理的掌握。

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