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視頻標簽：角平分線的性質
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版八年級上冊第十二章第三節《角平分線的性質》廣東省優課
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人教版八年級上冊第十二章第三節《角平分線的性質》廣東省優課
12.3.2 角平分線的性質（2）教學設計
一、 內容和內容解析 1. 內容
角平分線的性質的逆定理，即角平分線的判定。 2. 內容解析
角平分線的性質的逆定理是在學生學習了角平分線性質的基礎上，進一步研究角平分線的判定方法。角平分線的性質的逆定理的研究過程為以后學習線段垂直平分線的性質的逆定理提供了思路和方法。
這是全等三角形知識的運用和延續。角平分線的性質的逆定理證明，運用了三角形全等的“HL”判定方法和全等三角形的性質。角的平分線的性質的逆定理提供了之前所學“三角形三條角平分線交于一點”的猜想的證明，同時還能得到這個交點到三角形三邊的距離相等的結論，是今后學習圓的內心的基礎。
基于以上法分析，確定本節課的教學重點：證明角平分線的性質的逆定理。 二、 目標和目標解析 1、 目標
（1） 證明角的平分線的性質
（2） 能用角的平分線的性質的逆定理解決簡單問題。 2、 目標解析 達成目標（1）的標志是：學生能在教師的引導下或與同學合作，經歷猜想、驗證的過程，并能運用三角形全等的“HL”的判定方法和全等三角形的性質證明角平分線的性質的逆定理。
達成目標（2）的標志是：能直接利用角平分線的性質的逆定理進行簡單的計算和相關的證明。
三、 教學問題診斷分析
在本課的學習中，學生在解決問題時，對應當使用角平分線的性質還是角 平分線的性質的逆定理常常感到很困難，其主要原因是沒有理解好這兩者之間的區別和聯系。教學時，教師在引入課題部分，通過類比設置疑問的方式引起學生對此問題的注意；在證明定理后，又引導學生從兩個定理的已知、結論、作用等方面進行對比、分析；在鞏固練習時，帶領學生從已知及求證的內容出發分析問題，對應當使用何種定理進行判斷，從而使學生能準確運用角平分線性質定理的逆定理解決問題。
基于以上分析，確定本節課的教學難點：運用角平分線的性質的逆定理解決問題。
四、 教學過程設計 1、 知識回顧
如圖，已知點P是∠AOB的平分線上的一點，PD⊥AO,PE⊥BO，垂足分別為D，E。則PD=______
師生活動：學生回答問題并說明理由，教師引導學生回顧角平分線的性質，并強調角平分線性質的已知和結論。
【設計意圖】：引導學生回憶原有知識，為同化新規則做好準備。 2、 新知探索
問題1：如圖，要在S 區建一個廣告牌P，使它到兩條高速公路的距離相 等,請你幫忙設計一下，這個廣告牌P大致建于何處？
師生活動：教師分析題目，將圖案轉化為幾何圖 形后，讓學生回答問題。
追問1：這位同學的回答你們認可嗎? 【設計意圖】：引起學生對角平分線性質定理的逆定理的注意，初步感受角平分線性質的逆定理與角
平分線的性質定理之間的區別和聯系，使學生對學習新規則產生一定的預期。
追問2：你準備如何驗證你的結論呢？
師生活動：學生回答，教師根據學生的回答作進一步分析。 【設計意圖】：利用多種方式讓學生驗證結論并建立幾何直觀。 問題2：請你用嚴格的邏輯證明證明你的猜想
師生活動：學生思考，板演證明過程，教師點評證明思路，并用幾何語言表述定理。
證明: 經過點P作射線OC
∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO
PD=PE
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴∠ POD＝∠POE
∴點P在∠AOB的平分線上
師生活動：學生上臺寫過程，教師關注學生的證明思路。 追問1:請你用文字語言概括剛才我們證明的結論 追問2:請你用符號語言表示剛才我們證明的結論 【設計意圖】：在學生經歷了猜想后，讓學生用邏輯證明的方式證明定理，讓學生經歷運用三角形全等的“HL”的判定方法和全等三角形的性質證明角平分線的性質的逆定理的過程。
追問1：如果點Q到OA的距離等于2cm，且Q到OB距離等于2cm，則Q在∠AOB的平分線上嗎？（是的）
追問2：如圖1，QE=QD，則OQ平分∠AOB嗎？（不一定）
追問3：如圖2，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，則OQ是∠AOB的平分線嗎？（不一定）
圖3 圖2 圖1
師生活動：學生回答，并說明理由，教師強化使用定理所需要的條件
【設計意圖】：利用正反例，明確新規則適用的條件，并用過不斷對照定理進行分析來強化學生所學到的新定理。
追問4：如圖3，點Q到∠AOB兩邊的距離相等，若∠AOB=50°，則 ∠AOP=_______.
師生活動：學生回答，并說明理由，教師歸納新定理的作用，說明這個定理是角平分線的判定定理，并說明因為這個結論是根據三角形全等證明出來的，所以我們不需要再次證明三角形全等，直接使用這一結論簡單又方便。
問題3：角平分線的判定與角的平分線的性質有什么區別和聯系？
師生活動：學生回答，教師從圖形、條件和結論等方面進行補充說明。
【設計意圖】：通過對比，加深學生對角平分線判定定理的理解，突破學生對兩個定理容易出現混淆的難點，為突破例題的難點做準備。
3、 例題示范
問題3：如圖，點P是△ABC的兩條角平分線BP，CP的交點，求證:點P在∠BAC的平分線上.
追問1：如何判斷點P在∠BAC的平分線上？根據是什么？
師生活動：教師通過學生的回答，引導學生發現直接證明兩個角相等行不通，用新學定理可以指導判斷點P在不在角平分線上的關鍵是考慮這個點到角兩邊的距離是否相等，進而引導學生發現需要作兩條輔助線。
追問2：這兩條垂線段的長度是否相等呢？
師生活動：教師引導學生分析后,學生口頭說解答過程,教師板書并點評 解：點P在∠BAC的平分線上，理由如下
過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵ BP是△ABC的角平分線，PD⊥AB，PE⊥BC ∴PD=PE 同理，PE=PF ∴PD=PF
∵ PD=PF，PD⊥AB，PE⊥BC ∴點P在∠BAC的平分線上
最后教師引導學生歸納小結，獲得解題經驗：（1）明確角平分線的性質和判定的幾何表述；（2）再次明確角平分線的性質和判定的區別和聯系；（3）在解決與角平分線相關的問題時，常常過點作角兩邊的垂線段作為輔助線。
追問3：這說明三角形的三條角平分線有什么關系？
師生活動：學生回答后教師點評。 【設計意圖】：給學生應用角平分線的性質及判定定理作出示范，幫助學生明確運用規則解決問題的程序與步驟，幫助學生獲取基本活動經驗。
4、 變式提高
變式1：如圖，要在S 區建一個廣告牌P，使它到兩條公路和一條鐵路的 距離都相等．這個廣告牌P 應建在何處？
師生活動：學生直接利用例題所得經驗回答，教師說明數學知識在生活中的應用廣泛
變式2：如圖，P點是△ABC的兩個外角平分線BM，CN的交點，求證：點P在∠BAC的平分線上．
師生活動：學生利用所學知識進行證明，學生口述證明過程，教師在黑板上作出輔助線并進行點評。
變式3：將問題1中“S區”去掉，廣告牌P到兩條公路和一條鐵路的距離相等．這個廣告牌P應建在何處？
師生互動：教師引導學生根據變式的解題經驗思考問題，如果時間不夠，則作為課后思考題。 【設計意圖】：通過反復的階梯式的訓練，不斷鞏固所學知識，提高運用所學知識解決問題的能力。
5、 歸納小結 （1）填空
（2）你有什么方法能證明兩個角相等？ 師生活動：教師引導學生歸納總結.
【設計意圖】：讓學生通過填空再次鞏固角平分線的判定定理，并辨析角平分線性質與判定的區別和聯系，學會歸納總結，梳理知識，提高認識. 6、 布置作業
《陽光學業評價》P48～49基礎訓練（2） 【設計意圖】：通過后續應用規則，促進所學規則的保持與遷移。
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