視頻標(biāo)簽：兩個變量,線性相關(guān)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修3第二章統(tǒng)計《2.3.2兩個變量的線性相關(guān)》廣西省級優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教A版必修3第二章統(tǒng)計《2.3.2兩個變量的線性相關(guān)》廣西省級優(yōu)課

2.3.2兩個變量的線性相關(guān)教案 
  
課題 
§2.3.2兩個變量的線性相關(guān) 
課型 
新課 
 教學(xué)目標(biāo) （1）利用散點圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過程，利用電子表格求出回歸直線的方程并對實際問題進行分析和預(yù)測，通過實例加強對回歸直線方程含義的理解。      （2）
通過自主探究體會數(shù)形結(jié)合、類比、及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法。      （3）通過動手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力，引出利用計算機等現(xiàn)代化教學(xué)工具的必要性。 
教學(xué)重難點 1． 教學(xué)重點：用最小二乘法求回歸方程。 
2． 教學(xué)難點：如何用數(shù)學(xué)語言來刻畫“從整體上看，各點到此直線的距離最小”。 
教學(xué)過程 
教學(xué)內(nèi)容 
 
 
一、 自主學(xué)習(xí) 閱讀教材P85—P91，請思考下列問題： 
（1）變量之間的相關(guān)關(guān)系（2）散點圖 （3）回歸直線 （4）回歸方程 
      二、 問題探究       
知識探究（一）知識探究：【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：
    其中各年齡
對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).思考1：觀察散點圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？思考2：在上面的散點圖中，這些點分布有什么特點？. 問題提出 
1 觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本數(shù)據(jù)的散點圖，這兩個相關(guān)變量成正相關(guān).我們需要進一步考慮的問題是，當(dāng)人的年齡增加時，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論上作些研究. 知識探究（二）：回歸直線  
思考1：一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點圖中樣本點的中心如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？  
   
  
思考2：在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？ 
 50494541392723年齡28.226.327.525.921.217.89.5脂肪61605857565453年齡34.6
35.2
33.5
30.8
31.4
30.2
29.6
脂肪
2025303540455055606551015202530
35
40
脂肪含量
0(,)xy
                    
             
                    
                            這些點大致分布在一條直線附近.    
合作探究，作出回歸直線 
方案一：采用測量的方法，在散點圖中先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，然后移動直線，到達一個使距離的和最小的位置，測量出此時的斜率和截距，就可以得到回歸方程了。 
方案二：在散點圖中選擇這樣的兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。同樣測量出此時的斜率和截距，就可以得到回歸方程了。 
方案三：在散點圖中多取幾組點，確定出幾條直線的方程，再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距。 同學(xué)們通過動手實踐去發(fā)現(xiàn)這些方法是否可行。 
老師通過幾何畫板驗證這些方法雖然有一定的道理但可靠性并不強。  
知識探究（三）：回歸方程  
在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進行估計.   
思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？  整體上最接近  
思考2：對于求回歸直線方程，你有哪些想法？ 
思考3：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為abxy
可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？ 
.
)(||2abxyyyyyiiiiii


其中，或可以用  
 
思考4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適？  
    
思考5：根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng) 
 
 
 20253035404550556065
51015
20
25303540
脂肪含量
0)
,(11yx)
,(22yx)
,(iiyxi
iyyy
x
21
ˆ()n
iiiQyy
2221122()()()nnybxaybxaybxa11222
1
1
()(),()
nn
iiiiiinni
i
iixxyyxynxy
baybxxxx
nx


                    
             
                    
                             
  
時，總體偏差                 為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法.回歸方程中，a，b的幾何意義分別是什么？ 思考6：利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為                  ，由此我們可以根據(jù)一個人個年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值.若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？ 20.9% 
         三、 課堂檢測 
練習(xí)1.已知下列變量，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的有   ①      ，是相關(guān)關(guān)系的有     ②③    .①已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個函數(shù)的判別式△=b2－4ac;②光照時間和果樹畝產(chǎn)量；③每畝施用肥料量和糧食產(chǎn)量.練習(xí)2. 今有一組試驗數(shù)據(jù)如下表所示：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是(  C    )  
 
 
A. y=log2x             B. y=2x      C. y=(x2－1)/2         D. y=2x－2 
練習(xí) 3.F表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗Y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù) 
x 
    3     4     5     6     y     2.5 
    3 
    4 
    4.5 
 
    (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； 
    (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，崩最小二乘法求出Y關(guān)于x的線性回歸方程Y=bx+a； 
    (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性 
同歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?   (參考數(shù)值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5)  解：（1）如圖（2）由對照數(shù)據(jù)，計算得：  
4
1
66.5ii
iXY   
4
222221
345686
i
iX
   4.5X   
266.544.53.566.563ˆ0.78644.58681
b
   
ˆˆ3.50.74.50.35a
YbX  所求的回歸方程為  0.70.35yx 
 (3)   100x,   1000.70.3570.35y噸, 
      預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低
9070.3519.65(噸) 
 
     四、 小結(jié)評價 
1. 求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行： 第一步，計算平均數(shù)；，yx      第二步，求和
；
，n
ii
nii
ix
yx1
21
     第三步，計算;)()
)((1
2
21
1
2
1
xbyax
nx
yxny
xxx
yyxx
bn
ii
n
ii
in
ii
n
iii


， 
第四步，寫出回歸方程  .abxy
 
2. 回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近.對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性.  
3. 對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的.因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程.  
 
  五、作業(yè) 
 
1. 課本習(xí)題2.3A組 第3題； 2. 練習(xí)冊2.3.2 

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