視頻標簽：橢圓,及其標準方程

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》四川省優課

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人教A版數學選修2-1第二章第二節《橢圓及其標準方程》四川省級優課

《橢圓及其標準方程》 
（普通高中課程標準實驗教科書人教A版選修2-1第二章第2節第一課時） 
一、教學內容解析 
 教材內容 
 本節內容是人教A版高中數學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》第2節，學習橢圓的定義，推導橢圓的標準方程． 
 教學重點 
橢圓的定義和標準方程． 
 地位作用 
 本節是整個解析幾何部分的重要基礎知識．首先在教材結構上，本節內容起到一個承上啟下的重要作用.其次對橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對應起來，體現了數形結合的重要思想． 
二、教學目標解析 
   1.掌握橢圓的定義，會推導橢圓的標準方程，會根據橢圓的標準方程求,,abc
及焦點，焦距. 
2.學生通過動手畫橢圓、分組討論形成橢圓的幾何條件、推導橢圓標準方程等過程，提高動手能力、合作學習能力和運用知識解決實際問題的能力.  
3.在形成知識提高能力的過程中，激發學生學習數學的興趣,感受探索的樂趣與成功的喜悅. 
三、教學問題診斷分析 
 學生學情分析 1.知識基礎 
在學習本節課前，學生已經學習了直線與圓的方程，對曲線和方程有了一些
 
                    
             
                    
                             2 
了解和運用的經驗.對用坐標法研究幾何問題也有了初步的認識，同時對探究點的軌跡問題已有一定的知識基礎和學習能力，這有利于學生實現從“舊知”向“新知”的遷移. 
2.活動經驗 
 學生通過前面的學習具有了一定的動手操作、自主探究、合作學習的經驗.  3.能力特點 
 由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個難點.并且學生之前未接觸過一個方程中含兩個根式相加的情況，故化簡根式方程也是個問題. 
 教學難點 
橢圓標準方程的推導. 
 突破難點的策略 
 我通過做微課視頻，讓學生在課前通過觀看視頻先學習兩根式相加的方程的化簡方法,為突破難點作鋪墊.  
四、教學策略分析 
 教材處理 
1．將本節內容分為兩課時 
 教材把橢圓的定義和標準方程，以及標準方程的初步應用合為一課時.本節課是新授課且所學內容是解析幾何的一種重要曲線，并且化簡該曲線方程是難點，為了使重點得到突出，難點得到突破，我把該節內容分為了兩個課時，本節課就只探究橢圓的定義和標準方程. 
2．保留課本探究，挖掘課后練習 
教學設計中保留了課本中“取一條定長的細繩，把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，你能說出移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件嗎？”的探究問題，學生通過畫橢圓，再從畫的過程中觀察曲線上的動點滿足的幾何條件，
 
                    
             
                    
                             
3 
使學生能更容易理解橢圓的定義. 
為了突破化簡難點，我還對教材49頁習題2.2A組1題進行了挖掘，將其改編并制作成一個微課，讓同學們在課前通過觀看微視頻，先學習含兩根式之和的方程的化簡方法，為突破難點作鋪墊.同時給學生留49頁習題2.2A組1題鞏固化簡方法.并且該題貫穿于整個課堂，最后在講授完新課后，再從代數意義和幾何意義兩種方法判斷該方程表示橢圓，使學生體會數形結合思想在判定橢圓時的應用. 
3．補充拓展延伸 
由于我班的學生是創新班的學生，數學基礎較扎實，接受新知的能力較強，思維敏捷．因此，針對本節課的難點（化簡兩根式相加的方程）在方法上進行拓展延伸．通過做課后微課視頻，給同學們分析、啟發、講解另外兩種化簡方程的方法，并以此作為誘導，啟發學生的開放性思維． 
 教學方法 
根據本節課的教學目標、教材內容以及學生的能力特點．若利用形象直觀的教具和生動的幾何畫板，則可以輔助學生抽象思維的進一步形成，所以教學上采用直觀演示實驗，然后對學生加以引導、啟發，讓學生經歷畫圖、觀察、討論、分析、演示相結合的教學過程，意在幫助學生通過自己動手實驗、分析歸納，從自己的實踐中獲取知識，并通過討論來加深對知識的理解． 
 學習方法 
新課改的精神在于以學生的發展為本，把學習的主動權還給學生，倡導積極主動，勇于探索的學習方法．因此，本節課主要采取動手實踐、自主探索與合作交流的學習方式，學生通過畫橢圓、討論橢圓形成的幾何條件以及幾何畫板的演示，建構起自己的知識結構，成為學習的主人． 
 教具準備 
教材、多媒體課件、實物投影儀、繩子、三角板等．充分利用現代信息技術，學生通過形象直觀的感覺，加深對知識的理性認識．五、教學過程 
教學內容與教師活動 
學生活動 
設計意圖與說明 
（一）創設情境 引入新課     欣賞生活中的圖片，并提出問題. 
問題1：圖片中有哪些幾何圖形？ 
 
問題2：怎樣能畫出這種曲線？   
    學生欣賞圖片，思考、
反饋，體會生活中的幾何圖形，并大膽說出自己的看法．  
 從生活中美麗的
圖片引入課題，讓學生找到一種有別于圓的封閉曲線，從直觀上感受新曲線的形狀，從而引起學生學習新曲線的興趣.  
（二）合作學習 探究新知 畫一畫 
    探究：根據教材38頁的探究活動嘗試畫出新曲線. 
問題3：在畫的過程中，提醒學生觀察哪些量是變化的？哪些量是不變的？ 
    學生操作：     (1)取一條細繩； 
    (2)把細繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點12FF、；     (3)用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在紙板上慢慢移動.  學生通過畫圖，上臺展示，能說出：鉛筆對應的點是變化的，繩子的長度和兩圖釘的距離是不變的. 
 體驗新曲線的形成過程，并對新曲線
形成感性認識. 說一說 
問題4：形成這種曲線要滿 足怎樣的幾何條件 
 學生通過體驗畫新曲線的過程，討論形成新曲線滿足的幾何條件： 
 學生通過體驗畫
新曲線的過程，觀察并討論形成新曲線的
 
                    
             
                    
                             
5 
 
   
（1）動點到兩定點的距離為常數； 
（2）兩定點距離是常數； 
（3）動點到兩定點的距離為常數且大于兩定點的距離． 
幾何條件，為理解橢圓定義打下基礎，讓學生真正成為知識的
發現者，探索者． 驗一驗 
 學生討論總結出形成新曲線的幾何條件，為了讓學生更加肯定自己的想法，現場用幾何畫板做驗證實驗：用幾何畫板畫新曲線． 
  
 觀察幾何畫板畫新曲線的過程，通過作圖推出形成這種曲線滿足的幾何條件： 
（1）動點到兩定點的距離為常數；  
（2）兩定點的距離是常數；（3）動點到兩定點的距離為常數且大于兩定點的距離． 幾何畫板的使用
讓靜止的圖形運動起來，使圖形變的更加
生動形象，且這是橢圓幾何條件的一種新
的呈現方式，可培養學生的綜合意識和創新意識. 譯一譯 
  問題5：能不能把橢圓的定義由文字語言翻譯成符號語言呢？    
 實際上，滿足這兩個幾
何條件的曲線就是橢圓，給出橢圓的定義：平面內到兩個定點12FF、的距離的和等于常數（大于|12FF|）的點的軌跡叫橢圓.這兩個定點
12FF、叫做橢圓的焦點，
兩焦點之間的距離叫做焦距． 學生經過小組討論，思考，抽同學回答： 平面內，動點M滿足： 1212MFMFFF常數（）
 通過幾何畫板的
演示,加深對橢圓定義的理解,并在理解的基礎上將其文字語言翻譯成符號語言, 讓學生熟練掌握橢圓定義的三種數學語言
（文字語言、符號語言、圖形語言）的表
示以及相互轉化． 練一練 
 問題6：橢圓的定義給我們提供了一種判斷曲線是否為橢    跟蹤訓練1： 
用定義判斷下列動點M
的軌跡是否為橢圓： 
   （1）到點1(2,0)F和點
 通過設置三個有梯度的小題加深對橢
圓定義的理解，同時
 
 
M 
2
F 
1F
                    
             
                    
                             
6 
圓的理論依據，同學們請利用定義判斷導學案中的跟蹤訓練1 
 學生根據橢圓的定義在做第1個題時，很順利，做第2個題時，會遇到認知沖突，學生可以判斷其軌跡不是橢圓，老師繼續追問： 
 問題7：動點M的軌跡不是橢圓，又是什么呢？ 
 剛才在畫橢圓時有沒有沒畫出橢圓的同學？ 
 預案一：有沒畫出橢圓，而畫出線段的同學． 
 預案二：沒有畫出線段的同學． 
2(2,0)F的距離之和為6的點的軌跡.（軌跡是橢圓） 
   （2）到點1(2,0)F和點2(2,0)F的距離之和為4的點
的軌跡.（軌跡是線段）.    （3）到點1(0,2)F和點
2(0,2)F的距離之和為3的點的軌跡.（軌跡不存在） 
 
 
 二、三兩個小題的設計是以問題驅動的方
式，引起學生的認知
沖突，訓練發散思維，自主地對橢圓的定義進行完善，同時引起學生對常數大于兩定
點的距離的限制條件
的重視． 
針對預案一：請畫出線段的同學上來演示怎么畫的，進而引導學生得出動點到兩定點的距離和為常數，當常數等于兩定點的距離時，軌跡是線段． 
 針對預案二：引導學生，如果在畫橢圓時繩長等于兩定點的距離，會畫出怎樣的曲線？ 
 結合1、2小題，學生再做第3個小題，應該可以得到：這種情況不存在． 
推一推 
    橢圓的標準方程 
 接下來推導橢圓的標準方
① 建系；② 設點； ③ 列式；④ 化簡； ⑤證明． 建系： 
 方案1、2、3是大多數學生可能會出現的建系方式，通過程，鍛煉學生的運算能力．  問題8：回顧求曲線方程的一般步驟？ 
 橢圓標準方程的推導是本節課的難點，要突破難點，我采用的方法是各個擊破難點： 
 ①建系：（思考：如何建立適當的平面直角坐標系？） 
 我們嘗試以焦點連線為x軸，線段12FF的中垂線為y軸建
立平面直角坐標系． 
 ②設點：  先設兩定點12FF、的坐標，根據線段12FF的對稱性，為了使
12FF、的坐標不出現分數，可以設線段12FF的長度為一個2倍量，不妨設為2(0)cc， 
則12-,0),(,0)FcFc（， 
設動點(,)Mxy  ③列式： 
122(22)MFMFaac 
 
    方案1：  兩定點的連線所在直線為x軸，其垂直平分線為y軸. 
  焦點在x軸上 
    方案2：  兩定點的連線所在直線為y軸，其垂直平分線為x軸. 
 
 焦點在y軸     方案3： 
 一個定點為原點，兩定點的連線所在直線為x軸. 
 
對比并強調，只有在
方案1和方案2的建系方式下得到的方程才是橢圓的標準方程． 
  
 
   
  
  
 
    ④化簡：（方程的化簡是本節課的一個難點） 
問題9： 
2222
()()2(22)
xcyxcyaac 
 學生在課前預習時觀看微視頻，學了以后再做一個導學案預習部分的化簡題： 2222(3)(3)10xyxy 由于帶根號方程的化簡學生感到困難，這是本節課的一
個難點．我在突破這
 
                    
             
                    
                             8 
與2222
(3)(3)10xyxy 
有什么相同點和不同點？  
使得在課內化簡方法用得更熟練． 
針對問題9，學生通過比較兩方程的特點，很容易能將較為簡單的化簡方法：移項平方法遷移過來． 
根據移項平方法進行化簡： 
2222()()2xcyxcya2222
()2()xcyaxcy
 
2
2
2
2
2
22
()44()()xcyaaxcyxcy 
222)(ycxacxa 
2
2
2
2
2
222()()
acxayaac 
學生推導完成以后，再通過投影展示. 
個難點的策略上，采用課前微課.我在學
生課前預習時制作了一個《化簡含兩根式之和的方程》的微課視頻，采用兩種方法
化簡：一種方法是直接平方法，另一種方
法是：移項平方法.
通過兩種方法的對
比，移項平方化簡過
程更簡單，所以引導學生可以用移項平方的方法化簡兩根式相加的方程． 
. 
 問題10：數學是追求對稱美和簡潔美的，如果對方程進行換元，怎樣換比較合理？  經過化簡整理，得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程： )0(1222
2babyax 
 要建立焦點在y軸上的橢
圓的標準方程，又不想重復上述繁瑣的化簡過程，如何去做？此
    換元： 在最后整理得到的式子
)
()(22222222caayaxca中兩次出現了2
2ca，且0ca所以02
2ca，如果把2
2ca看作一個整體，即
令222
(0)acbb， 得222222bayaxb，等式
兩邊同除以2
2ba得
    引導學生觀察，
可以發現換元后的方
程更簡潔、對稱、美
觀． 
體會數學中的化歸思想，化未知為已知，避免重復勞動．   
 
 
                    
             
                    
                             
9 
時要借助于化歸思想. 
 問題11：比較兩種建系方式下的方程有什么聯系？ 
 
122
2
2b
yax  就可以得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程： 
)0(122
22babyax 
焦點在x軸上的橢圓的標準方程： 
  焦點在y軸上的橢圓的標準方程： 
  學生經過觀察，可以發現兩方程的特點是：方程①中的
x，y互換就得到方程② ，
所以②化簡以后的標準方程只需把焦點在x軸上的橢圓標準方程中的x、y互換即可．即焦點在y軸上的橢圓的標準方程： 
22
22
10yxabab  問題12：得到橢圓的兩種標
準方程以后，比較兩種方程的相同點和不同點？ 
相同點：①方程左邊都是
平方和，右邊都是1； ②abc、、關系相同：222(0,0)abcabac 不同點：焦點在分母較大變量所對應的坐標軸上．較
師生共同總結，不僅使學生加深了對
橢圓定義和標準方程
的理解，有助于教學目標的實現，而且讓學生體會和學習類比大的分母是2a，較小的分母是2b． 
的方法，為后面雙曲線、拋物線及其他知識的學習打下基礎． 
（三）應用拓展 體驗成功 練一練 
 
方程推導完成，跟蹤訓練2： 
 
 
下列方程哪些表示橢圓？若是，則判定其焦點在何軸上，并指明a²、b² ，寫出焦點坐標，求出焦距. 
   
 
 
三道練習題設計
使學生通過練習，進一步熟悉和掌握橢圓的標準方程．  
 問題13：從方程結構可以判斷曲線是否為橢圓，那么微課預習中同學們化簡得到的方程表示什么樣的曲線呢？ 回到微課題目： 
由2222(3)(3)10xyxy 已化簡為2
2
25164000xy 
這個方程表示怎樣的曲線呢？將結果化為標準方程：2211625
xy 
從方程結構可以判斷該曲線為橢圓. 
直接由根式方程幾何意義判斷： 
2222(3)(3)10
xyxy的幾何意義為 
12(,)(0,-3)(0,3)10,MxyFF動點到兩定點與的距離之和為且1210FF，動點 (,)Mxy滿足橢圓幾何條件，所以，可以用兩種方法判斷一個方程對應的曲線是否為橢圓，實現了代數意義與幾何意義的轉化． 
 讓學生從方程結
構和橢圓的定義再來判斷其曲線是否為橢圓，培養學生思維的
靈活性．  
11616)1(22yx225925)3(2
2yx116
25)2(22yx
                    
             
                    
                             
11 
附：板書設計 
 
   
   （四）梳理小結 盤點收獲 
課堂小結時，讓學生暢所欲言，談談這節課的收獲是什么．教師進行補充、總結，為下節課做好鋪墊． 
 學生從數學知識、思想方法、數學美等方面進行全面總結． 
 通過小結為學生
創造交流的空間，引導學生參與總結，調動學生的積極性，反思自己學習過程，讓學生形成知識網絡，完善認知結構．培養學生歸納、概括的能力，使本節課的知識得到梳理，學生的潛能得到挖掘． 
（五）推薦作業 分層提高 
必做題： 
1.推導焦點在y軸上的橢圓標準方程． 
2.課本P42課后練習 2.2  1題． 3.課本P49習題8.1  2題． 選做題： 
1.求22
(0)mxnymnmn的焦
點坐標． 
2.在課本P39圖2.2-3中找出長度為abc、、的線段． 
 課后學生完成必做題，選擇完成選做題． 
  
 針對學生能力差異進行分層訓練，既使學生普遍掌握基礎知識，又使學有余力的學生能有所提高，從而達到“拔尖” 和“減負”的目的． 
 
§2.2.1 橢圓及其標準方程 
 ………… ………… 
  
  
   
三、a、b、c的關系 
學生評價表 
一、橢圓的定義 
…………          ………… …………          …………                   ………… 四、回到微課題目       ………… 
…………          ………… …………          …………    二、橢圓的標準方程 
………… …………  
                    
             
                    
                             
12 
六、設計說明 
 設計理念 
 根據新課程標準的“教師為主導，學生為主體”的教學理念，我對本節課的設計具體體現在： 
 1．采用現代教學技術手段，利用幾何畫板滲入課堂，讓靜止的圖形運動起來，變得更加生動形象． 
 2．教師提前制作課前和課后微課視頻，讓學生通過課前微課視頻學習含兩根式之和的方程的化簡方法，進而突破橢圓方程化簡的難點，達到教學目標，通過課后微課視頻，對化簡方法進行拓展，使學有余力的學生有所提高，實現分層教學，充分體現新課程教學理念． 
 3．注重數學思想方法的滲透，探究過程中學生經歷由特殊到一般的過程，將曲線與方程緊密聯系起來，進而鍛煉學生嚴密的數學思維． 
 4．小組評價表的作用：激勵學習興趣，同時對教學過程有了一個客觀、理性的反思．

2.2.1   橢圓及其標準方程導學案
學習目標：
1.       理解橢圓的定義．
2.       會推導橢圓的標準方程．
3.       會根據橢圓的標準方程求a,b,c及焦點，焦距．
學習重點：橢圓的定義和標準方程
學習難點：橢圓標準方程的推導
一．課前準備：
1.圓的定義：平面內，與______的距離等于_____ 的點的軌跡．其中，圓的兩要素為______和______．
2.圓的標準方程：________________________________________．
3.求曲線方程的五個步驟分別為：__________，__________，__________，_________，_________．
4.化簡下列式子，去掉方程中的根式：           

 
 
 
 
 
 
 
 
二．合作學習，探究新知.
實驗一 畫一畫：用一塊紙板，一條繩子，兩顆圖釘，一支鉛筆，能不能畫出橢圓.在這個畫圖過程中，___________________是不變的，__________________是變化的．
實驗二 看一看：觀察幾何畫板畫橢圓的過程，橢圓上的動點滿足的幾何條件：.
（1）_____；（2）為________（且________）．
實驗結論：
1．橢圓定義：我們把平面內與兩個定點的距離的____等于常數（_____）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的________，兩焦點間的距離叫做橢圓的________．
2. 常數與的三種關系：（1） 常數>︱F₁F₂︱     動點軌跡是__________
                          (2)  常數=︱F₁F₂︱              動點軌跡是__________
                       (3)  常數<︱F₁F₂︱     動點軌跡是__________
 
小試牛刀：用定義判斷下列動點M的軌跡是否為橢圓．
(1)到的距離之和為6的點的軌跡．
(2)到的距離之和為4的點的軌跡．
(3)到的距離之和為3的點的軌跡．
做一做：請利用橢圓定義推導橢圓的標準方程．（聯系求曲線方程的基本步驟）
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

小結：當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為：　___________________ (             )
當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為：  ____________________(             )
三.應用新知，體驗成功．　
判斷下列方程哪些表示橢圓？若是，則判定其焦點在何軸上，并指明a²，b² ，寫出焦點坐標,求焦距．

是否為橢圓
的值
焦點坐標
焦    距

四．課堂小結：
1.請你總結我們這節課的知識有哪些？___________________________________________________
2.對于本節課學習的內容，你還有什么疑問？_____________________________________________
五．推薦作業，鞏固拓展．
必做題：                               選做題：
1.推導焦點在y軸上的橢圓標準方程.       1.                              的焦點坐標.
2.課本P42課后練習 2.2  1題.            2.在課本P39圖2.2-3中找出長度為的線段.
3.課本P106習題8.1  2題.                       

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