視頻標簽：二項式定理

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視頻課題：高中數學蘇教版選修2-3第1章1.5.1 二項式定理_南京市金陵中學

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高中數學蘇教版選修2-3第1章1.5.1 二項式定理_南京市金陵中學

二項式定理 
教學目標： 
1.掌握二項式定理和二項展開式的通項公式，并能用它們解決與二項展開式有關的簡單問題． 
2.培養猜想、抽象概括、演繹證明的思維能力. 
3.塑造勇于探索、勇于創新的個性品質，讓學生體驗數學美，激發他們的愛國主義熱情. 教學重點：二項式定理及其展開式的通項公式 教學難點：二項式定理的證明 
教學過程： 
一、問題情境 
師：今天是星期一，今天是第一天，那么第810天是星期幾？ 師：要解決這一問題，需要考慮怎樣的問題？ 生：需要考慮810除以7的余數是多少？ 師：對810 作怎樣的處理呢？ 
生：將810 寫成(1＋7)10，即考慮(1＋7)10除以7的余數是多少？ 
師：我們需要關心(1＋7)10的展開式是怎樣的？更為一般的，我們要關心 (a＋b)n的展開式是怎樣的？我們下面就來研究(a＋b)n(n=1，2，3，……)的展開式是怎樣的？ 
你想怎么研究？請說說你的研究方案. 二、學生活動 
生：我想先研究n=2，3，4這些特殊的情形，看看有沒有什么特征或者規律，然后再研究一般的情形. 
師：非常好，剛才該同學的想法體現了從特殊到一般的思想方法. 
師：n=2時，(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝aa＋ab＋ba＋bb＝a2＋2ab＋b2， 
生：根據多項式的乘法法則，我發現，合并同類項之前，展開式的每一項都是從兩個括號內各取一個字母的乘積，合并同類項后，由于每一項系數均為1，所以，每一項的系數就是合并前這個項的個數，即得到這個項的方法數． 
師：n=3時，(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝(aa＋ab＋ba＋bb)(a＋b) 
＝aaa＋aab＋aba＋abb＋baa＋bab＋bba＋bbb ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3． 
生：根據多項式的乘法法則，我也發現，合并同類項之前，展開式的每一項都是從三個括號內各取一個字母的乘積，合并同類項后，由于每一項系數均為1，所以，每一項的系數就是合并前這個項的個數，即得到這個項的方法數． 
師：請根據(a＋b)2，(a＋b)3的展開結果猜測(a＋b)n的展開式是怎樣的？ 生：(a＋b)n＝__an＋__an－
1b＋__an－
2b2＋…＋__an－
rbr＋…＋__bn (n∈N*)． 
師：很好，請結合(a＋b)2，(a＋b)3的展開過程探究并驗證上述展開式， 建議結合以下兩個問題探究. 
問題1：展開式中，合并同類項之前的每一項是怎樣得到的？ 
問題2：展開式中，合并同類項之后有哪些項？各項的系數是什么？ 三、意義建構 
生：(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)…(a＋b)，  根據多項式的乘法法則，合并同類項之前，其展開式的每一項是從每個括號里各取一個字母的乘積，如n個a、(n－1)個a及1個b、(n－2)個a及2個b、…、n個b，所以，(a＋b)n的展開式中有an、an－
1b、an－
2b2、…、an－
rbr、…、bn 這些項，其中r＝0，1，2，…，n，由于它們的系數都是1，所以，合并同類項之后的每項系數就是從(a＋b)(a＋b)…(a＋b)的n個括號中選取r個括號(此類括號是指取b的括號)的方法種數．具體地， 
n個(a＋b) 
 



都不取b的情況有C0n種，所以an的系數是C0
n； 
恰取1個b的情況有C1n種，所以an－1b的系數是C1
n； 
恰取2個b的情況有C2n種，所以an－2b2的系數是C2
n； 
                    …… 
恰取r個b的情況有Crn種，所以an－
rbr的系數是Cr
n；                …… 
      都取b的情況有Cnn種，所以bn的系數是Cn
n. 四、數學理論 
    (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋Crnan－
rbr＋…＋Cnnbn
 (n∈N*)． 
    這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其
中的系數Crn(r＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數，式中的Crnan－
rbr
叫做二項展開式的通項，
用Tr+1表示，即Tr+1＝Crnan－
rbr
．     二項展開式形式上的特征： （1）項數：n＋1． 
（2）次數：n，即a與b的指數和為n．按a的降冪、b的升冪排列，從第一項開始，a的次數由n逐項遞減到0，同時，b的次數由0逐項遞增到n． 
（3）二項式系數：C0n，C1n，…，Crn，…，Cn
n． 五、數學應用 
例1 求(a＋2b)5的二項展開式 
(a＋2b)5＝C05a5＋C15a4(2b)＋C25a3(2b)2＋C35a2(2b)3＋C45a(2b)4＋C5
5(2b)5 
＝a5＋10a4b＋40a3b2＋80a2b3＋80ab4＋32b5． 
練習 1.(x＋y)10的展開式中第4項為__________.    
生：由通項公式得T3+1＝C310x7y3
，故結果為120 x7y3. 
2.(a＋b＋c)7 的展開式中a2b3c2的系數為_______. 
生：a2b3c2可以看作從(a＋b＋c)(a＋b＋c)…(a＋b＋c)的7個括號中的2個括號取a，3個括
號取b，最后2個括號取c，故系數為C27C35C2
2，故系數為210. 回歸情境：今天是星期一，810天后是星期幾？ 
(1＋7)10的展開式除以7的余數是1，故那天是星期二. 數學文化：二項式定理史略            
 
圖1這個表叫楊輝三角，早在我國南宋時期，數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》就給出了，它叫開方作法本原圖，實際上，在更早的11世紀中葉，宋代數學家賈憲(1023～1063)就已經給出了二項式系數表，但由于賈憲的著作早就失傳，所以楊輝三角命名. 
到了14世紀初，元朝數學家朱世杰在《四元玉鑒》(1303)中復載此圖，如圖2，但增加
圖1 圖2 

 
 

 
 


了兩層，并增添了系數之間的連線. 
    16世紀，德國數理天文學家阿皮亞努斯(1495～1552)于1527年在一部算術書的扉頁上給出了一張二項系數表，如圖3所示，但真正做了實質性進展工作的是法國數學家帕斯卡(1623～1662)，他詳細利用帕斯卡三角(如圖4)論述了二項式系數的性質和應用，他還研究了二項式系數在自然數冪和、組合理論及概論計算等方面的應用，他的工作在數學史上具有十分重要的意義，西方以他的名字命名，稱帕斯卡三角.            
 
 
 
 
師：請研究 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋Crnan－
rbr＋…＋Cnnbn
 (n∈N*)． 
生：令a＝1，b＝x，可得(1＋x) n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn
． 
生：b＝－b得，(a＋b)n＝C0nan－C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋(－1)rCrnan－
rbr＋…＋(－1) n Cnnbn
． 
例2 研究(x－1
2x)6二項展開式中是否存在常數項？若有，請寫出該項；若沒有，請說明理由. 
解：設二項展開式中的常數項為r＋1項，即           Tr+1＝Cr6x6－r·(－12x)r＝(－1)r Cr
6·12r·x6－2r． 
根據題意，得 
       6－2r＝0，r＝3． 
所以二項展開式中的常數項為T4＝－C3
68＝－5
2
． 
鞏固練習 
1.求下列各式的二項展開式：（1）(2a－b)6；  （2）(1＋2
x
)4． 
2.研究(x－2
x2)8二項展開式中是否存在常數項？若有，請寫出該項；若沒有，請說明理由. 
六、回顧反思 
1.二項式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋Crnan－
rbr＋…＋Cnnbn
 (n∈N*)．其中，
二項展開式的通項Tr+1＝Crnan－
rbr．Cr
n(r＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數.  2.二項展開式形式上的特征. 
3.兩個特殊的二項展開式：(1＋x) n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn
及 
(a＋b)n＝C0nan－C1nan－
1b＋C2nan－
2b2＋…＋(－1)rCrnan－
rbr＋…＋(－1) n Cnnbn
． 作業：書P36  1，5，6，7. 

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