視頻標(biāo)簽：兩角差的余弦公式

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視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優(yōu)課

3.1.1兩角差的余弦公式 
一、教學(xué)目標(biāo) 
(1)知識與技能目標(biāo):掌握公式的兩種證明方法：數(shù)形結(jié)合法與向量法；學(xué)會運(yùn)用分類討論思想完善證明；學(xué)會正用、逆用、變用公式。  
(2)過程與方法目標(biāo):展開提出問題、分析問題、解決問題的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生體會從“特殊”到“一般”的探究過程。  
(3)情感、態(tài)度和價值觀目標(biāo):發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，鼓勵學(xué)生大膽質(zhì)疑、大膽猜想，培養(yǎng)學(xué)生的“問題意識”  
二、學(xué)情分析 
《兩角差的余弦公式》是第三章第一課時的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)掌握三角函數(shù)和平面向量相關(guān)知識，通過三個多月高中學(xué)習(xí)，富有強(qiáng)烈探索新知的欲望和一定的計算能力和邏輯推理能力，卻在尋找知識與知識間的相關(guān)聯(lián)系的能力不夠，所以面對該普通班級的學(xué)生，本堂課將公式的證明過程放慢了節(jié)奏，由此希望學(xué)生能夠通過自己的努力收獲成功。 
三、教學(xué)重點、難點及關(guān)鍵 
重點：兩角差的余弦公式的探究和應(yīng)用 難點：兩角差的余弦公式的由來及證明 關(guān)鍵：學(xué)生最大的困惑在于如何得到公式  
四、教學(xué)過程 
一、知識回顧，問題引入 快速答出下列三角函數(shù)值： 
0000
0
0
sin30,sin45,sin60,cos30,cos45,cos60,
 
知識回顧過度到cos150的值，提出兩角差的余弦是否為余弦的差？利用特殊角帶入否定了這個猜想。 
提問： 
例如，α＝60°，β＝30°，可以發(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°
＝
，右邊＝cos60°－cos30°＝
－
．顯然，對任意角α，β，cos
（α－β）＝cosα－cosβ不成立． 
 活動引入，體
現(xiàn)數(shù)學(xué)樂
趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)
習(xí)熱情。 
   
 
                    
             
                    
                             
二、探尋特例，合作探討 
從特殊情況去猜測公式的結(jié)構(gòu)形式．     令cos)cos()cos(,則： 
令

sin)2
cos()cos(,2


則： 
分析：可見，我們的公式的形式應(yīng)該與sinsincoscos和均有關(guān)系？他們之間存在怎樣的代數(shù)關(guān)系呢？會不會是“＋”、“－”、“”、“÷”？請同學(xué)們根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，相互交流討論，提出你的猜想． 用具體值檢驗猜想的合理性． 
令30,60則2
330cos)3060cos()cos( 
三角函數(shù) 60cos 30cos 60sin 30sin 三角函數(shù)值 
2
1 23 2
3 2
1 令30,120則90cos)30120cos()cos(＝0 三角函數(shù) 120cos 
30cos 
120sin 
30sin 
三角函數(shù)值 
2
1
 23 2
3 2
1 學(xué)生再舉特例進(jìn)行驗證．（各抒己見） 
   接著再利用單個特殊角的帶入發(fā)現(xiàn)公式的組成部分，最后由表格中給出的三角函數(shù)值大膽猜想出兩角差的余弦公式。  
三、提出猜想：sinsincoscos)cos( 四、理論證明： 
引導(dǎo)探究：研究三角函數(shù)問題，我們常用的一種方法就是利用單位圓，在單位圓中，角的余弦值可用余弦線來表示． 
  
  讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)
展過程．   鼓勵學(xué)生發(fā)揮想象力，大膽
猜測，然后再去驗證其合理性，增強(qiáng)
學(xué)生探索問題、挑
戰(zhàn)困難的勇氣．     
引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想給出證明． 
 
                    
             
                    
                             
我們先來討論最簡單的情況： 
、為銳角，且 
問題初探：方法一：（利用三角函數(shù)線） 證明：在單位圓O中，作OXP1， 交單位圓于點1P，作1
POP， 則XOP．過點P作PM垂直x 軸于M，AOPPA于點1，過點
BOMABA于點作點 ，過點CABPCP于點，作，則： 
cosOA，sinAP，且OXPPAC1 
sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM 
∴sinsincoscos)cos(（、為銳角，且） 幾何畫板展示驗證，銳角范圍外的角等式仍然成立。 
  用三角函數(shù)線的證明方法對任意角的推廣很繁難，教材中也未具體推導(dǎo)，
結(jié)合學(xué)生層次引導(dǎo)學(xué)生除了用幾何方法外，用代數(shù)方法進(jìn)行更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。 問題再探：方法二：（利用向量） 
啟發(fā)思考：我們來仔細(xì)觀察猜想的結(jié)構(gòu)，等式的左邊是差角的余弦，我們在什么地方見到過類似結(jié)構(gòu)？  （引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，提出證明方法） （學(xué)生：向量的數(shù)量積！）    
 
證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角、，它們終邊與單位圓O的交點分別為A、B，則： 
 
加強(qiáng)新舊知識
的聯(lián)系．  
    使學(xué)生從直觀角度加強(qiáng)
對差角公式結(jié)構(gòu)形
式的認(rèn)識．  
   讓學(xué)生經(jīng)歷用
向量知識解出一個數(shù)學(xué)問題的過程，體會向量
方法的作用． 
x 
y 
P 
P1 M B 
O 
A 

C 


1 
1 
y -1 
-1 
1 
1 
B)sin,(cos 
)sin,(cos  

x 
0 A 
                    
             
                    
                                  OA=)sin,(cos，OB =)sin,(cos 
)sin,)(cossin,(cos|
|||)cos(
OBOAOBOA 
               =sinsincoscos 
∴)cos(=sinsincoscos  （0≤≤） 
方法小結(jié)：對比一下兩種證明方法，你認(rèn)為哪種更簡單？向量在我們數(shù)學(xué)探究過程中是一種非常簡潔有效的工具，在今后的學(xué)習(xí)中我們還將繼續(xù)領(lǐng)悟向量在數(shù)學(xué)探究過程中的魅力！ 五、推廣完善公式 
思考：作為兩向量的夾角，有沒有限制條件？還會有哪些情況？我們的結(jié)論還會成立嗎？怎樣給出證明？（展示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生找到
與夾角之間的關(guān)系） 
 
推廣完善：令為OA、OB的夾角， 
發(fā)現(xiàn) 存在，使得、Zmkmk22或 無論哪種情況，都有cos)cos( 
sinsincoscoscos)cos(即 
小結(jié)：兩角差的余弦公式： sinsincoscos)cos( 
（其中、為任意角，簡記為)(C） 
     
 
    
 運(yùn)用分類討論思想．完善證明培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度．    
  要求學(xué)生對公式的形式加以
分析，體會數(shù)學(xué)中的對稱
 
                    
             
                    
                              
3.1.1 兩角差的余弦公式 
                  公式展示 
  證明 
1三角函數(shù)線法方法：     2向量法         角的推廣       三.例1 ，變1    
例2，變2   
六、知識運(yùn)用 
1、解決引例中的問題:求cos15°的值． 
的值嗎？、你會求變式75sin1 
2、公式的逆用：的值求
15sin23
15cos21 
的值、求變式15sin15cos2 
3.學(xué)以致用：已知,13
5
cos),,2(,54sin
是第三象限角， 求)cos(． 
（運(yùn)用公式時應(yīng)根據(jù)角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍） 七、小結(jié)反思，公式推廣 
1、知識性內(nèi)容的小結(jié)，學(xué)生總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識及應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸）公式探究的一般步驟： 
特殊→猜想→證明 
2 、在運(yùn)用兩角差的余弦公式時應(yīng)注意： 
（1）根據(jù)角的范圍，確定兩角正、余弦值的正、負(fù)． （2）適當(dāng)逆用公式，可達(dá)到化簡計算的目的． （3）靈活選取兩角的形式，活用公式． 
最后提出問題：適當(dāng)變換兩角差的余弦公式中兩角的形式，例如取，你能得到哪些結(jié)論？
cos?
 八、作業(yè)：課后練習(xí)題 美． 學(xué)生運(yùn)用所學(xué)解決實際問
題．對逆用公式解題加深認(rèn)識。 活用公式，加深學(xué)生對公式中兩角形式變化的認(rèn)識，強(qiáng)化整體思想．   課后思考為下節(jié)課
做鋪墊

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