視頻標(biāo)簽：兩角差的余弦公式

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河南省優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河南省優(yōu)課

 
1 
課例 ：兩角差的余弦公式 
教材選擇：人教A版數(shù)學(xué)4（必修）第三章的3.1.1節(jié)
教學(xué)設(shè)計(jì) 
一、教學(xué)任務(wù)分析 
本課時(shí)的中心任務(wù)是建立兩角差的余弦公式．通過簡單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和（差）角公式打好基礎(chǔ)． 
本課時(shí)是第三章的起始課，從一個(gè)背景素材引入，使學(xué)生感受實(shí)際問題中對研究和（差）角公式的需要．由于和、差、倍之間存在的聯(lián)系，和角、差角、倍角的三角函數(shù)之間必然存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系，因而需要推出一個(gè)公式作為基礎(chǔ)。由于三角恒等變換的內(nèi)容與三角函數(shù)沒有直接的關(guān)系，因此現(xiàn)行的課改教材（人教A版）安排學(xué)生學(xué)完三角函數(shù)后，先學(xué)習(xí)了平面向量，因此選擇了運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式sinsincoscos)cos(作為建立其它公式的基礎(chǔ)，使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算過程，降低了思考難度。只有對兩角差的余弦公式有了認(rèn)識(shí)，才能夠以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)其他三角恒等變換公式。這是一個(gè)邏輯推理過程，也是一個(gè)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特征，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過程，教學(xué)課時(shí)為1課時(shí)． 
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 
重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式． 
難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)．這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法的能力問題，等等． 
三、教學(xué)目標(biāo)解析 
1.知識(shí)與技能 
通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”,了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對兩角差的余弦公式的理解,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 
2.過程與方法 
通過兩角差的余弦公式的運(yùn)用,會(huì)進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明,體會(huì)化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用,使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn),自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 
3.情感態(tài)度與價(jià)值觀 
通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生體會(huì)探究的樂趣,認(rèn)識(shí)到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)
 
                    
             
                    
                             2 
成用辯證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí),從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法. 
四 、教學(xué)基本流程 
      
 
 
                                                                
     
  
五、教學(xué)情景設(shè)計(jì) 
（一）以境激情 
我們大家一起來觀察這樣一組誘導(dǎo)公式
.sin)2
cos(
,cos)cos(
我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)變?yōu)?#61537;或

2
時(shí)，
我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其三角函數(shù)值與角的正弦和余弦有著密切的關(guān)系.當(dāng)變?yōu)?br /> 

4
或者更一般的角時(shí)，其三角函數(shù)值與、又會(huì)有怎樣的關(guān)系呢？我們相信這是一個(gè)非常重要而且有意義的問題，這就是我們本節(jié)將要研究的問題。 （板書課題）3.1.1兩角差的余弦公式 （二）合作探究 活動(dòng)1： 
（教師活動(dòng)）提出問題：究竟該如何計(jì)算)cos(？那么)cos(
與、的正弦和余弦有什么樣的關(guān)系呢？ 
創(chuàng)設(shè)情境，以實(shí)例引入課題 
明確探索目標(biāo)及途徑 
小結(jié) 組織學(xué)生自主探究 通過例題、練習(xí)，加強(qiáng)對公式的理解 
布置作業(yè) 
 
                    
             
                    
                             3 
（小組活動(dòng)）（提出猜想）coscos)cos( 
舉反例：當(dāng)=60°，=30°時(shí)，動(dòng)手算一算cos60°-cos30°的值，再與cos30°的值作比較。 
函數(shù)名與角不應(yīng)是簡單的乘法關(guān)系，它不是簡單的乘法分配率問題。 活動(dòng)2: 
（教師活動(dòng)）那該怎么辦呢？)cos(與asin，sin，acos，cos之間到底有什么樣的關(guān)系呢？請同學(xué)們回憶三角函數(shù)定義，正、余弦三角函數(shù)線. （小組討論）從特殊角出發(fā)，考慮角為銳角的特殊情況，以退為進(jìn)，我們不妨假設(shè)a、、都是銳角，構(gòu)造單位圓中的直角三角形. 展示課件 
設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)問，激發(fā)學(xué)生自覺回顧三角函數(shù)，為公式的探索提供思路. 活動(dòng)3： 
先復(fù)習(xí)兩個(gè)向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算公式： 
定義式：cosbaba；坐標(biāo)式：2121yyxxba
． 
（小組活動(dòng)）在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角，，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B，則sin,cosA，sin,cosB； 
試用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示AOB的余弦值. 
設(shè)計(jì)意圖：通過帶有指向性的問題，使學(xué)生意識(shí)到，向量方法可能是解決問題的工具，引導(dǎo)學(xué)生建立向量使用的數(shù)學(xué)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生自主探索和數(shù)形結(jié)合的能力. 
（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用向量方法探索求)cos(，結(jié)合圖形，明確應(yīng)選擇哪幾個(gè)向量，它們怎么用坐標(biāo)表示？怎樣利用數(shù)量積計(jì)算公式得到推導(dǎo)結(jié)果？ 
（小組活動(dòng)）計(jì)算OBOA，得到sinsincoscosOBOA； 
另一方面，從定義式計(jì)算coscosOBOAOBOA 得出結(jié)論sinsincoscoscos 
設(shè)計(jì)意圖：在教師的引導(dǎo)下，通過求兩個(gè)已知向量的夾角問題以及三角函數(shù)定義的應(yīng)用得出新的結(jié)論，使學(xué)生體會(huì)和認(rèn)識(shí)嚴(yán)格的推導(dǎo)過程是獲取數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.由學(xué)生得到結(jié)論，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課上體會(huì)成功. 活動(dòng)4： 
 
                    
             
                    
                             4 
（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生思考,,的范圍，完善公式的推導(dǎo). 
（小組活動(dòng)）提出的任意性，而向量夾角為],0[ ，學(xué)生產(chǎn)生疑惑：
與向量之間的夾角有什么關(guān)系呢？ 
教師活動(dòng)：幾何畫板動(dòng)態(tài)展示，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合計(jì)算機(jī)圖形語言和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式對公式的嚴(yán)密性進(jìn)行論證. 
kk2],2,()2(;
2],,0[)1(根據(jù)終邊相同的角的性質(zhì)，cos)cos( 
設(shè)計(jì)意圖：由于向量工具已被引入，因此將問題歸結(jié)為角度問題，選用向量方法推導(dǎo)公式，使得公式的得出成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)算過程，大大降低了思考難度.另外，在公式的完善過程中，學(xué)生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析問題、處理問題，使他們在建立公式的過程中發(fā)展邏輯推理能力和對知識(shí)的遷移應(yīng)用. 活動(dòng)5： 
（教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生說出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn). 
（小組活動(dòng)）發(fā)現(xiàn)公式左邊是差角的余弦，右邊是單角同名三角函數(shù)值乘積之和. 
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用自己的語言描述公式特征的表達(dá)能力。加深對公式的印象，掌握公式特點(diǎn)，為下一步公式的應(yīng)用做好鋪墊. 活動(dòng)6：例題分析 （教師活動(dòng)） 
講評例1.利用兩角差的余弦公式求15cos的值． 
這是通過應(yīng)用理解公式最基礎(chǔ)的練習(xí)，在講評過程中引導(dǎo)學(xué)生注意以下幾個(gè)要點(diǎn)： 
（1）三角變換關(guān)注角的拆分，易于理解. （2）由于是具體角，拆分過程容易進(jìn)行. （3）拆分的多樣性，決定變換的多樣性. 
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生到此刻，能夠利用本課新發(fā)現(xiàn)的兩角差的余弦公式解決這個(gè)問題，呼應(yīng)前面，同時(shí)讓學(xué)生獲得了成果的數(shù)學(xué)體驗(yàn). （教師活動(dòng)） 講評例題2： 已知,13
5
cos),,2(,54sin
是第三象限角，求)cos(的值. 引導(dǎo)學(xué)生分析問題，形成如下思路：結(jié)合余弦公式,欲求)cos(的值,必先知道cos,sin,cos,sin的值,然后利用公式)(C即可求解.,注意角,所在的象限,準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號(hào). 
設(shè)計(jì)意圖：對題目進(jìn)行解析，使學(xué)生形成解決這類問題的基本思路. 
在講評例題的過程中注重在表述規(guī)范性上作出點(diǎn)評和要求，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 
 
                    
             
                    
                             5 
（三）反饋練習(xí) 
活動(dòng)7：課堂練習(xí) （小組活動(dòng)）
 .sin)2
cos(1
、證明 
（教師活動(dòng)）對學(xué)生的證明過程進(jìn)行點(diǎn)評，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到該誘導(dǎo)公式是兩角差余弦公式的特殊情形. 
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生獨(dú)立完成證明，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和對數(shù)學(xué)知識(shí)前后聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的能力. （小組活動(dòng)）
 學(xué)生上臺(tái)演板，運(yùn)用公式解決以下問題：
 
.
)4
cos(
),
,2
(,5
3cos2的值求、已知

 
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生上臺(tái)演板，是本節(jié)課教學(xué)的重要一環(huán)， 能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)能力，使教師了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效途徑. 
（教師活動(dòng)）對學(xué)生的計(jì)算過程的每一步進(jìn)行點(diǎn)評，是學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩角差余弦公式使用時(shí)注意利用特殊角的正弦值余弦值. 
（小組活動(dòng)）先請一位同學(xué)在黑板上演示，然后再向全體同學(xué)講解. 
.
)3
cos(,,17
15
sin3的值求是第二象限角、已知

 
（教師活動(dòng)）找?guī)追菥哂写�表性的解答投影，讓同學(xué)們點(diǎn)評. 
設(shè)計(jì)意圖：通過問題的設(shè)計(jì)，注重培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想,在解題的過程中培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性，同時(shí)注重對學(xué)生的表述規(guī)范性的指導(dǎo). 
（小組活動(dòng)）學(xué)生認(rèn)真審題，求解問題 
.
)cos(),2,2
3(,
43
cos),23,(,32sin4的值求、已知
 
（教師活動(dòng)）對學(xué)生表述的步驟是否規(guī)范作出必要的點(diǎn)評和要求。引導(dǎo)學(xué)生一定要弄清角的范圍,準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào). 
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到要使用兩角差余弦公式，應(yīng)該運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系對四個(gè)數(shù)據(jù)作出準(zhǔn)備，培養(yǎng)學(xué)生 “舉一反三”的解決數(shù)學(xué)問題的能力. （四）變式訓(xùn)練 
 
                    
             
                    
                             6 
活動(dòng)8： 
（學(xué)生活動(dòng)） 
應(yīng)用本課所學(xué)的公式進(jìn)行以下計(jì)算： ?15sin60sin15cos60cos1、 
?sin)3
sin(cos)3
cos(2



、 
（教師活動(dòng)）點(diǎn)評，不僅要會(huì)公式的正用而且要注意公式的逆用和變形應(yīng)用. 設(shè)計(jì)意圖：在練習(xí)中加深對公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生熟練、靈活運(yùn)用公式；掌握三角式變換的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生公式的逆用能力. （小組活動(dòng)）應(yīng)用公式計(jì)算： 
.
cos,
15060,5
3
)30sin(3的值求、已知 （教師活動(dòng)）引導(dǎo)學(xué)生比較已知的角30與所求的角之間的關(guān)系，注意構(gòu)造角以及研究角的范圍. 
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，得出30)30(，從而具備使用兩角差余弦公式的條件，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的化歸思想. （五）應(yīng)用評價(jià) 課堂小結(jié)： 
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？ 
1、探索并證明了兩角差的余弦公式, 經(jīng)歷了，猜想— 合作探究—證明 ,利用向量法得出了：cos()coscossinsin 
在證明公式的過程中，我們利用了向量這一簡潔有效的工具，在后面的學(xué)習(xí)中我們會(huì)繼續(xù)感受它的便利. 
2、所涉及的數(shù)學(xué)思想與方法:猜想、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論. 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在課堂小結(jié)中進(jìn)行自我評價(jià)，回顧當(dāng)堂所學(xué)，交流學(xué)習(xí)體會(huì). 注意公式特征，正用，逆用和角的拼湊！在探究問題時(shí)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，要大膽猜想，細(xì)心證明！ 布置作業(yè)： 
1. P137，2,3,4三選二 
)
cos(,
54
coscos,53sinsin2求、選做： 
3.課下思考：你能用)cos(,推導(dǎo)出)cos(嗎？ 
設(shè)計(jì)意圖：通過例題、練習(xí)、課堂小結(jié)、作業(yè)等對學(xué)生在三維目標(biāo)方面進(jìn)一步評價(jià)，反思教學(xué)，改進(jìn)方法.   
 
                    
             
                    
                             7 
板書設(shè)計(jì)： 
兩角差的余弦公式
 
()()
cos()coscossinsinC 
 
投影屏幕 
 
 
板演區(qū)域 
 
  
教學(xué)評價(jià)： 
本節(jié)課教師采用了小組活動(dòng)、合作探究教學(xué)法，將獲取知識(shí)的猜想、論證和應(yīng)用過程分解成為8個(gè)教學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中通過教師的問來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，通過學(xué)生的練來鞏固知識(shí)，是高效課堂的典型模式之一。教學(xué)設(shè)計(jì)合理，教學(xué)目標(biāo)準(zhǔn)確具體，符合課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)要求符合學(xué)生實(shí)際，關(guān)注學(xué)生情感、態(tài)度和價(jià)值觀；教師語言表達(dá)準(zhǔn)確，教態(tài)自然親切，教學(xué)過程流暢，師生雙邊活動(dòng)達(dá)成，學(xué)生在愉悅中獲得新知，教學(xué)效果好。

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