視頻標(biāo)簽：兩角差的余弦公式

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視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_廣西省優(yōu)課

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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_廣西省優(yōu)課


《3.1.1兩角差的余弦公式》教案 
人教版  高一數(shù)學(xué)  必修4 
 
一. 教材分析 
本節(jié)課選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)課“3.1.1兩角差的余弦公式”。變換是數(shù)學(xué)的重要工具，而三角恒等變換處于三角函數(shù)知識與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點和交匯點，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運算能力的重要素材。兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點，也是難點。 
教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，其基本出發(fā)點是使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學(xué)生理解和掌握，同時也有利于提高學(xué)生運用向量解決相關(guān)問題的意識和能力。教材里面沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、證明結(jié)果兩步進行，從簡單情況入手得出結(jié)果，有利于學(xué)生學(xué)會探究和思維的發(fā)展. 
由于本節(jié)課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方法解決問題，因此本節(jié)課為學(xué)生的思維發(fā)展提供了很好的空間和平臺，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用觀察、聯(lián)想、對比、化歸等方法分析問題，尋找解決問題的思路. 
二. 教學(xué)目標(biāo) 
1. 知識與技能：通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ). 
2. 過程與方法：在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題、合作交流的能力；通過兩角差的余弦公式的簡單運用,掌握不同方法求值. 
3. 情感態(tài)度：通過課題背景的設(shè)計，增強學(xué)生的探究、應(yīng)用意識，認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.  
三．教學(xué)重、難點 
1. 重點：兩角差余弦公式的探究、證明過程和公式的初步應(yīng)用. 2. 難點：探究過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo). 
四．學(xué)情分析 
學(xué)生已經(jīng)掌握了利用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)，也學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)式的變換；理解了平面向量及其運算的意義，并能用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，經(jīng)歷了用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，具有一定的推理能力、運算能力和解決實際問題的能力，但利用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式時，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不嚴(yán)密的錯誤，教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別. 
五. 教法、學(xué)法 
    1. 教法：問題驅(qū)動、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作探究相結(jié)合的教學(xué)方法展開教學(xué). 
 
                    
             
                    
                            2 
 
    2. 學(xué)法：課前預(yù)習(xí)、小組探究、反思小結(jié)等. 
六. 教學(xué)過程 
（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 
金城超市電梯長度約為8米，坡度（與地面夾角）約為30度，請問當(dāng)我們上完電梯后，在水平方向上前進了多少米？ 
設(shè)前進量為x米，則3430cos8x米 
     
    提問：當(dāng)電梯坡度為45度時，其他不變，x等于多少？ 
  答：2445cos8x米 
提問：當(dāng)電梯坡度為15度時，此時x又等于多少？ 答：15cos8x米 
問題1：15cos等于多少？能否用特殊角三角函數(shù)值來表示？ 
【設(shè)計意圖】從學(xué)生的實際生活出發(fā)，自然地引出問題，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型來解決的能力，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣； 
（二）探究歸納，提出猜想 
問題2：對任意的,，coscos)cos(是否成立？ 1. 思考：15能否用特殊角表示？ 預(yù)案1：)3045cos(15cos    
問：30cos45cos15cos是否成立？為什么？ 預(yù)案2：)4560cos(15cos 
問：45cos60cos15cos是否成立？為什么？ 
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷提出假設(shè)   證明假設(shè)的過程，知道要證明一個假設(shè)不成立，只需舉出反例即可，即明白特殊與一般的辯證關(guān)系。 
2. 探究：15cos能否用特殊角三角函數(shù)來表示？如何表示？ 
提示：構(gòu)造特殊三角形或利用單位圓、向量知識 預(yù)案1：構(gòu)造直角三角形 321
BCAB   26AC 8 m 
x 
30 
A 
B 
C 
150 
D 
1 
 
                    
             
                    
                            3  
42
62
63215cos

ACBC 預(yù)案2：利用單位圓、向量知識 
  
          
得出結(jié)論：30sin45sin30cos45cos)3045cos( 
提出猜想：對任意的,，都有sinsincoscos)cos(.  
【設(shè)計意圖】通過求15cos的值，讓小組展示成果，不僅培養(yǎng)學(xué)生合作探究能力、表達(dá)能力，還培養(yǎng)了觀察能力、歸納能力，并由此提出猜想，使學(xué)生懂得如何探究問題，從特殊情況遷移到一般情況下的討論，為下個環(huán)節(jié)能突出重點起到鋪墊作用。 
（三）小組合作，證明猜想 
問題3：以上探究15cos值時，都是用到特殊角來求值，對一般情況下的角是否成立？ 
探究：證明對任意的,都有sinsincoscos)cos(. 預(yù)案1：利用單位圓、向量知識。          
問題4：如何探討,的任意性？ 
若 則  而 
  
O 
x 
y 
O 
x 
y 
30 
30 
45 B)45sin,45(cos 
A)30sin,30
(cos OBOA)
30sin,30(cos)45sin,45(cos
30sin45sin30cos45cosOBOA又
cosOBOA)
3045cos(cos
30sin45sin30cos45cos)3045cos()sin,(cosOA)
sin,(cosOB)
sin,(cos)sin,(cosOBOA
sinsincoscos)
cos(AOBOBOAOBOA又
sinsincoscos)cos(


cos)2cos()cos(k
sinsincoscos)cos(
k2
sinsincoscos
                    
             
                    
                            4 
 
預(yù)案2：利用三角函數(shù)線 
 
此時，過P點作垂線PA ⊥OP1于點A，  PM ⊥Ox于點M.  過A點作垂線AB⊥OM于點B，  過P點作垂線PC ⊥ AB于點C.  
則   PAC 
 
    
定義： ,，都有sinsincoscos)cos(，稱為差角余弦公式。 記為：ssccC)(，特征：任意角、同名積、符號反 
【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)由小組展示探究過程，讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗（探究15cos）去證明一般情況下的結(jié)論，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律。通過各種方法的證明和教師適當(dāng)?shù)狞c評、指導(dǎo)，起到突出本節(jié)課重點的作用。在探究角的任意性過程中，也培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。 
（四）.小試牛刀，學(xué)以致用 
例1：利用差角余弦公式求15cos的值？ 
法1：30sin45sin30cos45cos)3045cos(15cos 
                     4
262
12
22
32
2 
法2：45sin60sin45cos60cos)4560cos(15cos 
4
6
222232221

 變式1：利用差角余弦公式求75cos的值？ 
法1：45sin120sin45cos120cos)45120cos(75cos 
222322214
2
6
 法2：)30sin(45sin)30cos(45cos)]30(45cos[75cos 
30sin45sin30cos45cos 
21222322
4
2
6
  
O x 
y 

xOPOM)cos(CP
OBBMOBOM
sincosAPOA
sinsincoscos
sinsincoscos)cos(
                    
             
                    
                            5 
 
【設(shè)計意圖】通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)；通過變式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生用多種方法解決問題的能力。 
（五）課堂小結(jié)，回顧反思 
1.這堂課你學(xué)到了什么內(nèi)容？如何學(xué)習(xí)的？ ①學(xué)習(xí)了差角余弦公式； 
②假設(shè)猜想—反證否定—用向量、三角函數(shù)線探究公式—證明結(jié)論—公式應(yīng)用  2.學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中，你有什么體會？ 
①證明一個假設(shè)不成立，只需舉出反例即可。 
②探究證明公式過程中，可以通過特殊情況去討論證明一般情況。 ③公式應(yīng)用中，可以有不同的解題方法。 
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認(rèn)識，進一步達(dá)到“教思維”的目的。 
（六）布置作業(yè)，鞏固提高 
1. 基礎(chǔ)必做題（四選三）：課本P137習(xí)題3.1第2、3、4、5題； 2. 合作探究題：猜想并證明)(C和)(S； 
3. 拓展選做題：求                   的值. 
七.板書設(shè)計 
    
八．教學(xué)反思 
（一）亮點 
1.理念新：努力落實“授人以魚的同時授人以漁，授人以‘愉’的同時授人以‘欲’”設(shè)計理念。 
2.主線明：綜合知識生長路線和學(xué)生認(rèn)知路線，教學(xué)路線清晰：提出模型，理解模型，鞏固模型，完善模型，拓展模型。 
3.輔線實：數(shù)學(xué)抽象、模型、審美、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法滲透豐實，精讀教材、觀察猜想、合作交流、小結(jié)反思等學(xué)法指導(dǎo)扎實。 
（二）不足 
1.訓(xùn)練少：學(xué)生理解多，但訓(xùn)練少，可能會導(dǎo)致技能掌握不扎實。 
2.探究思維難度大：部分后進生可能沒辦法獨立思考，理解探究的方法。

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