視頻標簽：兩角差的余弦公式

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視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河北省 - 邯鄲教學設計

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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_河北省 - 邯鄲教學設計

 §3.1.1  兩角差的余弦公式
 
教學目標：

1. 引導學生探索、發現、推導“兩角差的余弦公式”，并強化題目的訓練，加深對兩角差的余弦公式的理解，培養學生的運算能力以及邏輯推理能力。
2. 能熟練運用兩角差余弦公式進行正向、逆向的的求值、化簡和證明。

教學重點與難點：
重點：引導學生通過獨立探索和討論交流，導出兩角差的余弦公式，為后面三角函數的十一個公式的推導打好基礎。
難點：兩角差余弦公式探索過程的組織和適當的引導。
教學過程：

• 創設情境，引入新課：

結合熱點時事——釣魚島問題，命制題目，在上課之初調動學生的興趣。
某天，我方海監船正在與釣魚島C相距30海里的A處巡邏，發現日方船只出現在D處，如圖所示：∠CAD=45°,∠CAB=15°,∠ABD=90°，請你設法計算出日方船只距離我海監船的距離AD.
解：AD = 60 cos15°
在此處要求學生進行分組討論。
在討論過程中，學生有可能想到其他方法，比如：利用平面幾何知識，過C作AD的垂線，垂足為E，則得到兩個特殊的直角三角形。可利用邊角關系求出AD。但此方法和本次教學內容不符，因此，對提出這類方法的同學及時進行鼓勵、表揚，并引導學生回到原來的知識探索過程中。此題需要用到cos15°，由此展開新課。

• 聯系舊知，引導探索：

思考：不借助計算器如何求cos15°的值？
cos15°=cos（60°－45°）＝ cos60°－ cos45° ?
顯然是不成立的。等號左側大于零，而右側則小于零。
這里15°的表示方法有很多，可以表示為60°－45°，45°-30°，還可以是，甚至是等等，要把學生引導到前兩種情況中。當學生提出后面的情況時，應對學生提出表揚，并指出后面的表示是借助倍角公式和半角公式來解決問題，但倍角公式和半角公式推導的理論依據是今天正在學習的兩角差的余弦公式。
思考：cos（60°-45°）到底應該用45°和60°的三角函數值怎樣表示？更一般地，cos(α-β)與sinα,cosα, sinβ,cosβ之間的具體關系能找出嗎？
提出問題：我們都知道，數形結合可以讓問題更直觀，更容易讓我們找到問題各部分的聯系，從而形成解題思路，那么三角函數的“形”能不能用來解決這個問題呢？三角函數的“形”又是什么呢？
這里學生可以翻課本，很容易找到三角函數線是三角函數“形”的體現。
三、數形結合，探求新知：
首先用三角函數線來推導。
用三角函數線推導公式時，輔助線的添加對學生的思維有很高的要求，絕大多數學生的思維沒達到這個高度。所以這個內容以我制作的課件為主，學生做到理解就可。

即   
教師引導學生進一步思考，以上的推理過程中，角是有條件限制的，即均為銳角，如果要說明此結果是否對任意角都成立，還要做不少推廣工作，這項推廣工作的過程比較繁瑣，由同學們課后作為思考題嘗試一下。
    在這里讓學生明白推廣的工作很繁瑣，學生就自然會想有沒有更簡單，更嚴謹的證明方法。引用我國著名數學家華羅庚曾說過的一句話:“數缺形時少直觀,形少數時難入微.”讓學生對數與形的特點更清晰，從而引導學生回憶剛剛學過的一種用有序數對來表示有向線段的方法“向量”，使引入更加自然。
四、結合向量，化繁為簡：
提出問題：我們再來認真觀察這個公式的右側，把、拿出來作為一個有序數對（，），你想到了什么？
因為向量是前一節的內容，所以學生很容易想到。如果還有部分學生無法聯系起來，可以通過課件展示出α，β終邊在單位圓上的交點的坐標，提示找出坐標和夾角的聯系。等大部分學生能聯系到數量積公式時，把時間還給學生，讓學生自己嘗試證明。
學生口述，教師板書：在直角坐標系中，以軸為始邊分別作角，其終邊分別與單位圓交于,，則,，，
由數量級的坐標表示,  =，
由數量積的定義，     =||||=
所以                   =，
大多數學生在這個問題會犯思維不完善的錯誤，會把當做兩向量夾角，因為真正的探索過程往往不是一步到位的，我們可以先不去理會其中的細節，抓住主要問題進行探索，然后再做反思，予以完善。

對于任意角都有
      
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記為。有了公式以后，我們只要知道、、、的值，就可以求得的值了。
五、修得正果，口訣速記：
教師引導學生細心觀察公式的結構特征，讓學生自己發現公式右邊是“兩角差的余弦”，右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”，可讓學生結合結構特征進行記憶，特別是運算符號，左“—”右“+”。
口訣：余(弦)余(弦)正(弦)正(弦)異相連。
 
六、典型例題，學以致用：
例1、回到最初提出的計算日方船只到我方海監船的距離AD。
解：
       
       AD=60 = 海里
思考：sin75°等于多少？
           
 
        



解：當α在第一象限時，


          當α在第二象限時，


此處設計讓學生上臺板演。
例2和例3的設計是逐層遞進，把學生容易忽略的問題展現的學生面前，加強印象。
七、舉一反三，提高能力
 
練習：求下列各式的值
（1）


 
變式：



這里解法不唯一，也可以把前面兩個余弦值換成正弦來計算。
 
 
（2）



 
變式：
=



 
八、課堂小結，知識升華
1.  學到了哪些知識？
①知識：兩角差的余弦公式。
②方法：數形結合、向量法。
③應用：兩角差的余弦公式的正用、逆用以及解決簡單的應用問題。
2.怎么獲得這些知識？
        提出問題，探索緣由，初步證明，完善結論，熟練應用。
 
 
作業：127頁課后習題2、3、4
 
板書設計：

標題 公式 證明過程 例題

練習1 練習2 練習3 練習4

 
 
 
 
 
 
 
教學反思：
（1）課堂小結感覺由學生總結比由老師總結效果要好。
（2）對于學生回答的問題評價不夠，導致對學生的激勵性不
強。下課后還有學生找我說，老師我上你的課回答問題都對了，你都沒有表揚我。對于學生，我一貫認為“多肯定比多否定要好的多。”這節課上沒有做好。
（3）部分學生的對比分析，歸納總結的能力較弱，尤其是對于公式的變形應用上比較明顯，在今后的教學中要注意加強和培養他們這方面的能力。
 通過這節課的教學，我受益匪淺，在新課改的浪潮中，不僅要求學生綜合能力和綜合素質的培養，對老師也提出了更高的要求，作為一名年輕的教師，在今后的教學中我會不斷的學習，改進，和學生一起拼搏，一起成長。爭取把新課改的工作做得更好。
 

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