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視頻課題：新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.4.3.1余弦定理教學設計

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新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.4.3.1余弦定理教學設計

余弦定理

一、教學目標：
1. 發現并掌握余弦定理及其推論，利用余弦定理能夠解決一些與三角形邊角有關的計算問題。
2. 通過對三角形邊角關系的探索，發現并證明余弦定理，了解可以用向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理。
3. 通過經歷完整的探究學習過程，使學生體會數學探究活動的基本規律，培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力。培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算素養。
二、教學重難點：
1.教學重點：余弦定理的發現過程及定理的基本應用。
2.教學難點：通過對三角形邊角關系的探索，發現和證明定理。
三、教學方法
擬定了“情境教學法”和“講練一體法”激發學生學習的積極性，使學生在自主學習、合作探究的過程中主動獲取知識、發展能力、體驗數學的精彩。
四、教學過程
（一）導入新課
    我們在初中已經定性地研究過三角形的邊、角關系，得到了SSS， SAS， ASA，AAS等判定三角形全等的方法.這些判定方法表明，給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的.那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數量關系？
    例如：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.

 
 
 
 
 
 
 

                                                               
 (二)新課講授                                        
由于已知的是三角形的兩邊長和它們的夾角，聯系已經學過的知識和方法,可以考慮用向量的數量積來探究。 
如圖：設，
，那么，則
 

同理可得：  
于是得到以下定理:
1.余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出三角形的各角？
2.余弦定理的推論：從余弦定理，又可得到以下推論：

3.余弦定理與勾股定理的關系
思考：勾股定理揭示了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則是三角形的三條邊與其中一個角之間的關系．你能說說這兩個定理之間的關系嗎？
在△ABC中，由余弦定理得，若角，則，于是，這便是勾股定理.
 由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．
探究：當角C為直角時，有，當角C為銳角時，這三者的關系是什么？鈍角呢？
4.解三角形的概念： 一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．
 根據余弦定理及其推論可以解決：
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
(三)例題講解

 解：由余弦定理得：
                     
                     
                  

解：
   
            =
            =
   
(四)課堂練習
1.
解：由余弦定理，得
                    
                    
                
由余弦定理的推論得


 
2.　已知在△ABC中，，求△ABC的各角度數．
解：設
由余弦定理的推論得：


同理,
即：
五、小結：
通過向量法推導出余弦定理。利用余弦定理判斷三角形的形狀。余弦定理可以解決兩類問題：（1）已知兩邊及夾角求第三邊的問題。 （2）已知三邊求角的問題。
六、作業:1.課本練習1（2），2
         2.思考怎么坐標法和幾何法推導余弦定理
        
        

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