視頻簡介：
視頻標簽：曲線與方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻《曲線與方程》湖北省仙桃
教學設計、課堂實錄及教案：2017年“湖北好課堂”高中數學優質課展評錄像視頻《曲線與方程》湖北省仙桃
2.1.1曲線與方程（教學設計）
湖北省仙桃中學 鄧曉霞
一、教學內容解析
1．內容：本節課為選修2-1第34-35頁中的第二章《圓錐曲線與方程》的第一節《曲線與方程》的第一小節《曲線與方程》。
2.內容分析：
（1）本節課是本章的起始課，教學內容是曲線與方程的概念，它是學生已學過直線與圓的方程知識的延續和拓展，在學習圓錐曲線與方程之前安排本節內容是為了從理論上掃清障礙，同時也是給解析幾何這門學科鋪下了一塊奠基石。只有建立了曲線與方程的一一對應關系，才能夠將兩者等價轉化，才能理直氣壯地運用方程來研究曲線的性質，因此，本節內容起到了承上啟下的重要作用。
（2）曲線與方程的關系就是曲線上的點集與方程的解集之間的一個一一對應關系，前者直觀地反映了事物的幾何特征，而后者刻畫出了事物內在的數量規律，因此，本節所學的知識本身就體現了數形結合的思想。另外，從直線與圓中找出一般規律得到曲線與方程的本質定義，服從思維規律體現了從特殊到一般的數學思想。在研究曲線與方程的過程中離不開平面直角坐標系，因此坐標法成為了解析幾何最基本的研究方法。
（3）本節課是起始課內容除了第34-35頁外，還有章首頁中的導讀，教學中也要有所涉及。
（4）本節內容抽象性較強學生難懂，加之實例課本安排較少,增加了對概念理解的困難。
通過以上分析，我認為本節課使學生真正理解“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念既是教學的重點又是教學的難點。
二、教學目標設置
根據本節內容的特點，確定這一節課的教學目標：
（1）通過分析直線和圓它們與相應方程的關系，初步感受曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，類比歸納得到曲線與方程的定義；
（2）通過辨析達到初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”概念的本質內涵；
（3）通過學生正反舉例和教師應用舉例的教學達到理解概念目的，能夠應用概念正確判斷和證明曲線與方程的關系，能夠用概念中的兩個判斷標準來補充、修改、完善有問題的曲線和方程使得它們一一對應，和諧相映，進一步感受數形結合的作用。
三、學生學情分析
之前學生學習了直線和圓的方程,知道了直線和圓的問題可以通過方程來研究處理.這是本節課學習的認知基礎是教學的有利因素。但是影響本節內容學習的問題也有不少,如：
（1）在前面學習的直線和圓的過程中,學生遇到的問題往往是求得的直線或圓就是一條完整的直線或一個完整的圓,不需要去深究求得的方程是否會混入不在曲線上的點的問題,而進入到一般的曲線的研究過程,學生自然會在這方面出現這樣或那樣的問題，這就對本節內容的學習提出必要性；
（2）定義文字抽象拗口學生不易懂，教師要從不同的角度幫助學生理解；
（3）學生更糾結如何證明一條曲線和一個方程的互為表示，教師要引導學生抓住兩條來說理。
四、教學策略分析
本節課是一節典型的概念課，教學中至始至終遵循概念課的教學規律，在課堂教學中堅持以學生為主體、以教師為主導的原則，采用“以問題為明線，以思維為主線，以發展為暗線”的教學模式。同時根據不同的內容選擇恰當的教法，如概念采用問題——探究的方法，舉反例弄清概念的內涵，在練習中深入對概念的理解，學生舉例加深對概念的感受。同時，把多媒體技術作為學生感知概念、探究問題的工具，展示圖形的動態變化過程，激發學生學習興趣。
教學流程:
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五、教學過程設計
【環節一：嫦娥奔月話曲線，坐標方法引課題 】
活動1：看視頻，話曲線，引出課題
視頻展示“嫦娥一號”人造衛星奔月的過程。簡單介紹圓錐曲線的由來、解析幾何的特點、坐標系的作用。
【設計意圖】 用生動的視頻引出課題，激發學生的學習興趣。讓學生知道本節課知識的由來、使用到的數學方法、本節課內容在解析幾何中的地位。
【環節二： 曲線方程何關系？直線與圓找規律】
活動2：探索直線與方程的關系
師：你能寫出平分第一、三象限的直線的方程嗎？
生：
師：這條直線和這個方程有什么聯系呢？〔用幾何畫板演示動畫〕
生：直線 上所有點的坐標都是方程的解，
以方程的解為坐標的點都在直線 上。
師：這時，直線 和方程 產生了一一對應的關系。
這時，我們說方程是直線 的方程，直線 是方程的直線。
【設計意圖】學生對直線和方程的對應關系的認識很模糊，用幾何畫板可以加深他們的感性認識，有利于上升到理性認識。
活動3：探究圓與方程的關系
師：你能寫出圓心為 ，半徑為1的圓的方程嗎？
生：
師：你能類比直線的方程，說說圓C 上的點和方程的解的關系嗎？〔用幾何畫板演示動畫〕
生：圓C上的點的坐標都是方程的解，
以方程的解為坐標的點都是圓C上的點。
這時，我們說方程是圓C的方程，圓C是方程表示的圓
【設計意圖】 用幾何畫板驗證圓與方程的關系，加深對圓與方程的關系的認識。
活動4：歸納抽象，形成概念
師：以上探究了直線與圓兩種特殊的曲線與它們的方程的關系，這種關系都滿足什么條件？
生：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解;
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
師：對于任意的曲線和一個二元方程 ，如果也滿足這兩個條件，我們就稱這個方程為曲線的方程，這條曲線為方程的曲線。
〔學生齊讀課本，教師板書〕
定義:一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程 的實數解建立了如下的關系:
(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解;
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
那么,這個方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線。
【設計意圖】 學生概括出曲線與方程的關系，提高學生的抽象概括能力。
【環節三：咬文嚼字析概念，學生舉例化真知】
活動5：咀嚼定義，理解概念
師：同學們讀了定義，你覺得在這個定義中有哪些反復出現的關鍵詞呢？
生：曲線上的點，方程的解，都是。
師：第一個“都是”是什么含義呢？例如直線 和方程 , 符合條件②不符合條件①，所以方程 也不是直線 的方程。
所以第一個“都是”表明曲線上沒有不滿足方程的解對應的點，這些點都是清一色的，即曲線上沒有雜點。
師：第二個“都是”是什么含義呢？例如直線 和方程 ，你能說說它們的關系嗎？
生：對于直線 和方程 ，符合條件①不符合條件②，所以方程 不是直線 的方程。
師：第二個“都是”表明以方程的解為坐標的點全部在曲線上，沒有落在別的地方。
只有條件(1)(2)同時具備時，曲線和方程才真正地一一對應起來，才有曲線的方程和方程的曲線，二者缺一不可。如果不同時具備這兩條，那么就不能稱之為曲線的方程和方程的曲線。
活動6：學生舉例
師：你能夠根據這個定義再舉個例子嗎？分別畫出一條曲線，寫出一個方程。
(1)使它們之間的關系既符合條件①又符合條件②
(2)使它們之間的關系符合條件①而不符合條件②
(3)使它們之間的關系符合條件②而不符合條件①
（學生分組思考，在黑板上寫出例子，教師評判）
師：非常好。大家已經從正反兩個方面認識了這兩個條件。
【設計意圖】讓學生舉正例和反例，從正反兩方面認識定義的兩個條件，并和以前的知識產生聯系。
師：定義中的“曲線上的點”和“方程的解”，它們之間是什么關系？
生：一一對應。
師：曲線和方程可以互相表示，這體現了什么數學思想？
生：數形結合。
【設計意圖】讓學生體會到數形結合的數學思想
【環節四：判斷、證明用概念，曲線、方程兩相映】
活動7：應用概念
例1.(1) ABC的頂點A(0,3)，B(-2,0)，C(2,0)，則中線AO的方程為 x=0 (0≤y≤3)
師：之前我們在求曲線的方程時，可能只注意到了曲線上的點要對應著方程的解。通過今天的學習，我們知道了方程的解也要對應著曲線上的點
(2)畫出方程 表示的曲線
師：要知道曲線表示的方程，有時需要把方程變形。在變形的過程中，我們一定要注意進行的是同解變形，否則可能搞錯方程表示的曲線。
師：這里的 也是 的形式，這里也是函數和它的圖像的關系。看來，函數和它的圖像也屬于方程和它的曲線的關系。我們學過哪些曲線？
生：一次函數，二次函數，反比例函數……
師：很好。看來我們今天所學的知識把很多以前所學的知識都涵蓋在內了。
【設計意圖】初步了解由曲線寫方程和由方程畫曲線。
師：了解了由曲線寫方程，由方程畫曲線，接下來我們來看一看曲線方程的證明。
例2.證明與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k>0)的點的軌跡方程是xy=±k.
師：證明一個方程是曲線的方程需要分幾步？
生：兩步。第一步：證明曲線C上任一點的坐標是方程的解；
第二步：證明以方程的解為坐標的點都在曲線C上.
師：我們來看一下這道題的證明過程。
證明：(1)設 是軌跡上的任意一點，
因為點與軸的距離為 ，與軸的距離為 ，
所以 ，即 是方程的解
(2)設 是方程的解，則
即 。
而 正是點 到縱軸、橫軸的距離，因此點 到這兩條直線的距離的積是常數，點 是曲線上的點。
由(1)(2)可知，是與兩條坐標軸的距離的積為常數 的點的軌跡方程。
證明方程是已知曲線的方程的步驟
第一步：證明曲線C上任一點的坐標是方程的解；
第二步：證明以方程的解為坐標的點都在曲線C上.
【設計意圖】了解證明方程是已知曲線的方程的步驟
【環節五：課堂小結談感受，三個“一二”收獲大】
活動8：課堂小結，深化認識
教師引導學生一起回顧本節課內容，然后鼓勵學生大膽地說出自己的感受、體會和收獲。
一個定義：“曲線的方程”和“方程的曲線”
兩個要點： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點
一個方法：坐標法
兩種思想：數形結合、從特殊到一般
師：大家總結的非常好。今天我們學習了一個定義：曲線的方程和方程的曲線，這個定義必需滿足兩個條件。這個定義從作用來看幫助我們解決了解析幾何的兩類問題：求曲線的方程和由方程研究曲線。從這個定義的形成過程來看蘊含著兩種數學思想，并使用了坐標法。我把它總結成這樣三句話送給大家：一個定義，兩個條件
一個理論，兩種應用
一個方法，兩種思想
【設計意圖】對本節課所學知識進行歸納整理，明確本節課所學知識。
課后練習：
1．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的圖形是( )
A．圓 B．兩條直線 C．一個點 D．兩個點
2．已知直線 ：x＋y－3＝0和曲線C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，
則點M(2,1)滿足( )
A．在直線 上，但不在曲線C上 B．既在直線 上，也在曲線C上
C．既不在直線 上，也不在曲線C上 D．不在直線 上，但在曲線C上
3．方程 = 表示的曲線是( )
A．兩條線段 B．兩條直線
C．兩條射線 D．一條射線和一條線段
4．以(5,0)和(0,5)為端點的線段的方程是( )
A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0)
C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5)
5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲線是
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
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