視頻標(biāo)簽：二次函數(shù),綜合問(wèn)題,最值問(wèn)題

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修1-二次函數(shù)的綜合問(wèn)題—最值問(wèn)題

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教A版必修1-二次函數(shù)的綜合問(wèn)題——最值問(wèn)題

二次函數(shù)的綜合問(wèn)題——最值問(wèn)題 教學(xué)設(shè)計(jì) 
                           廣州市第一中學(xué)     王亞萍 
一、教學(xué)內(nèi)容分析 
二次函數(shù)的最值問(wèn)題是函數(shù)非常重要的一個(gè)性質(zhì)，從近幾年的學(xué)業(yè)水平測(cè)和高考試題來(lái)看，二次函數(shù)圖象的應(yīng)用與其最值問(wèn)題是熱點(diǎn)，主要考查二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式三者的綜合應(yīng)用。本節(jié)課是學(xué)業(yè)水平考前的一節(jié)綜合復(fù)習(xí)課，旨在讓學(xué)生提高解決二次函數(shù)綜合問(wèn)題的能力。  
二、教學(xué)目標(biāo) 
1、知識(shí)目標(biāo)：掌握解決二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問(wèn)題的一般解法，總結(jié)歸納出閉區(qū)間上最
值的一般規(guī)律，學(xué)會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像研究和解決相關(guān)問(wèn)題。 
2、能力目標(biāo)：通過(guò)圖像，觀察影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的因素，在此基礎(chǔ)上討論探究
出解決二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問(wèn)題的一般解法和規(guī)律。 
3、能力目標(biāo)：通過(guò)探究，讓學(xué)生體會(huì)分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的重要作
用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生合作與交流的能力。 
 
三、教學(xué)重難點(diǎn) 
重點(diǎn)：當(dāng)閉區(qū)間端點(diǎn)不定或二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸不確定時(shí)，討論二次函數(shù)的最值問(wèn)題。 難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論方法的正確運(yùn)用。  
四、教法、學(xué)法分析 
教法分析：“教無(wú)定法”，這是一節(jié)探究課，我只是教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，在教學(xué)
過(guò)程中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生成為課堂的主人。在教學(xué)過(guò)程中我主要采用以下教學(xué)方法：開(kāi)放式探究法，啟發(fā)式引導(dǎo)法，學(xué)生展示、反饋式評(píng)價(jià)法。 
學(xué)法分析：任教的班級(jí)為文科重點(diǎn)班，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度較認(rèn)真，能夠積極參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中
來(lái)，能較好的接受知識(shí)，但數(shù)學(xué)思維不夠靈活，分析問(wèn)題和舉一反三的能力有待加強(qiáng)，尤其遇到綜合問(wèn)題，缺乏解決問(wèn)題的自信心。 
   
 
                    
             
                    
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五、教學(xué)過(guò)程 復(fù)習(xí)鞏固： 
二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 
 
 
探討：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題   
典例精析： 例1、 已知函數(shù)
32)(2xxxf 
(1)當(dāng)0,2
x 時(shí)，)(xf的最大值為_(kāi)_____；最小值為_(kāi)_____. 
(2)當(dāng) 5,2x 時(shí)，
)(xf的最大值為_(kāi)_____；最小值為_(kāi)_____. 
  
題后小結(jié)：__________________________________________________________________.   
【設(shè)計(jì)意圖】：這是一道基礎(chǔ)練習(xí)，是二次函數(shù)定軸定區(qū)間的問(wèn)題。作為熱身訓(xùn)練，提高學(xué)
生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)這類(lèi)問(wèn)題的基本解題方法。 
    
 
                    
             
                    
                            3 
 
變式：若函數(shù)32)(2xxxf，求)(xf 在區(qū)間2,aa上的最小值. 
  
【設(shè)計(jì)意圖】：在例1的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，將二次函數(shù)定軸定區(qū)間求最值變化為在動(dòng)軸定區(qū)
間求最值。解題思路在例1的基礎(chǔ)上得到提升，并歸納總結(jié)這兩題解題思路的相似與不同之處，讓學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解決這一教學(xué)重點(diǎn)，并掌握解題技巧。 
  
例2. 已知函數(shù)
2()23fxxax在區(qū)間[1,5]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的 
取值范圍是_____________________．   
【設(shè)計(jì)意圖】：例2以及變式訓(xùn)練涉及到二次函數(shù)在動(dòng)軸定區(qū)間求最值的問(wèn)題，為了更好的
解決這一教學(xué)難點(diǎn)，通過(guò)這道例題以及兩道變式訓(xùn)練，難度逐層推進(jìn)，使學(xué)生更加容易掌握這一類(lèi)問(wèn)題的解題方法。 
變式1. 若函數(shù)
2()23fxxax，[1,5]x，求函數(shù)()fx的最小值. 
 
題后小結(jié)：___________________________________________________________________.  
變式2. 若函數(shù)
2()23fxxax，[1,5]x,若()0fx恒成立，求實(shí)數(shù)a的 
取值范圍. 
   
【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)以上兩道變式訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握二次函數(shù)在動(dòng)軸定區(qū)間上的求最值問(wèn)題，
并將問(wèn)題引申到函數(shù)恒成立問(wèn)題。難度逐漸增大，但解決問(wèn)題的思路和方法都具有相似性，較好的解決了教學(xué)難點(diǎn)。 
通過(guò)以上兩道例題和變式訓(xùn)練，環(huán)環(huán)相扣，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維能力，及時(shí)的通過(guò)實(shí)物展臺(tái)展現(xiàn)學(xué)生的解題過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到解決問(wèn)題的滿(mǎn)足感和成就感。及時(shí)給予指導(dǎo)，重點(diǎn)突出，難點(diǎn)得以突破。 
 
                    
             
                    
                            4 
 
思考題：已知函數(shù)
34)(2axxxf,是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù))(xf在區(qū)間
2,aa上有最小值－6 ？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理
由.            
【設(shè)計(jì)意圖】：此題是二次函數(shù)在動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間求最值問(wèn)題，是這類(lèi)問(wèn)題的升華。對(duì)學(xué)生具有
挑戰(zhàn)性，能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，讓學(xué)有余力的同學(xué)的數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步的訓(xùn)練和提高。 
   
學(xué)生自我小結(jié)：【方法點(diǎn)睛】  1、影響二次函數(shù)
)(xf在區(qū)間nm,上最值的要素有三個(gè),即拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、
閉區(qū)間；常用數(shù)形結(jié)合思想求解,但當(dāng)三要素中有一要素不確定時(shí)，要分情況討論； 2、常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性和圖像求解，在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)處取得最值； 3、注意分類(lèi)討論。    
課后練習(xí)： 
1. 若函數(shù)2()41fxxx在定義域A上的值域?yàn)閇3,1]，則區(qū)間A不可能為(     ). A. [0,4]        B. [2,4]       C. [1,4]       D. [3,5] 
2．在函數(shù)2
()fxaxbxc中，若,,abc成等比數(shù)列且(0)4f，則()fx有最________
值(填“大”或“小”)，且該值為_(kāi)_______． 
3. 若函數(shù)2
()23fxxx在區(qū)間[0,]m 上的最小值是2，最大值是3，則m的取值范圍是________． 
4. 函數(shù)2
()2fxxx，若()fxa在區(qū)間[1,3] 上滿(mǎn)足：①恒成立，則a的取值范圍為
________;②有解，則a的取值范圍為_(kāi)_______. 
5. 方程2
240xax的一根大于1，一根小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_______________． 
 

 
6. 若二次函數(shù)2()(0)fxaxbxca 滿(mǎn)足(1)()2fxfxx，且(0)1f. 
(1) 求f(x)的解析式； 
(2)若在區(qū)間[－1,1]上，不等式()2fxxm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 
 
7.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)2()2()||fxxxaxa. 
(1)若(0)1f，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值； 
(3)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集． 
   
【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)課后練習(xí)，讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)求最值這類(lèi)問(wèn)題的掌握得到及
時(shí)的鞏固和提高，既檢驗(yàn)了在課堂上對(duì)內(nèi)容的理解和掌握，又能夠讓學(xué)生的思維空間得到進(jìn)一步的提高，充分體驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣，增強(qiáng)自信心和成就感。

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