視頻標(biāo)簽：空間兩點(diǎn)間,距離公式

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式》

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《4.3.2  空間兩點(diǎn)間的距離公式》

《4.3.2  空間兩點(diǎn)間的距離公式》教學(xué)設(shè)計(jì) 
整體設(shè)計(jì) 
一、教學(xué)分析 
    平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是學(xué)生已學(xué)的知識(shí),不難把平面上的知識(shí)推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；從平面直角坐標(biāo)系中的方程x2
+y2
=r2
表示以原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓,推廣到空間直角坐標(biāo)系中的方程x2
+y2
+z2
=r2
表示以原點(diǎn)為球心,r為半徑的球面。學(xué)生是不難接受的,這不僅不增加學(xué)生負(fù)擔(dān),還會(huì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。 二、教學(xué)目標(biāo) 
知識(shí)與技能：掌握空間兩點(diǎn)間的距離公式,會(huì)用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決問題。 過程與方法：通過探究空間兩點(diǎn)間的距離公式,靈活運(yùn)用公式,初步意識(shí)到將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決問題的基本思想方法,培養(yǎng)類比、遷移和化歸的能力。 
情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過棱與坐標(biāo)軸平行的特殊長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)的坐標(biāo),類比平面中兩點(diǎn)之間的距離的求法,探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式,充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,培養(yǎng)積極參與、大膽探索的精神。 三、教學(xué)重、難點(diǎn) 
教學(xué)重點(diǎn)：空間兩點(diǎn)間的距離公式。 
教學(xué)難點(diǎn):一般情況下,空間兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)。 四、課時(shí)安排     1課時(shí) 
教學(xué)過程 
一、導(dǎo)入新課 
    思路： 距離是幾何中的基本度量,幾何問題和一些實(shí)際問題經(jīng)常涉及距離,如飛機(jī)和輪船的航線的設(shè)計(jì),它雖不是直線距離,但也涉及兩點(diǎn)之間的距離,一些建筑設(shè)計(jì)也要計(jì)算空間兩點(diǎn)之間的距離,那么如何計(jì)算空間兩點(diǎn)之間的距離呢?這就是我們本堂課的主要內(nèi)容。     我們知道,數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差的絕對(duì)值,即d=|x1-x2|；平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離是d=212212)()(yyxx。同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)怎樣計(jì)算呢？又有什么樣的公式呢？因此我們學(xué)習(xí)空間兩點(diǎn)間的距離公式。 
 
                    
             
                    
                             
二、新知探究 提出問題： 
①平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是什么？它是如何推導(dǎo)的？ ②設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點(diǎn),它到原點(diǎn)的距離是多少？應(yīng)怎樣計(jì)算？ ③給你一塊磚,你如何量出它的對(duì)角線長(zhǎng),說明你的依據(jù)。 
④同學(xué)們想,在空間直角坐標(biāo)系中,你猜想空間兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)怎樣計(jì)算？ 
⑤平面直角坐標(biāo)系中的方程x2
+y2
=r2
表示什么圖形？在空間中方程x2
+y2
+z2
=r2
表示什么圖形？ 
⑥試根據(jù)②③推導(dǎo)兩點(diǎn)之間的距離公式。 
活動(dòng)：學(xué)生回憶,教師引導(dǎo),教師提問,學(xué)生回答,學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點(diǎn)撥。教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問題的思路,要全面考慮,大膽猜想,發(fā)散思維。①學(xué)生回憶學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí),回想當(dāng)時(shí)的推導(dǎo)過程；②解決這一問題,可以采取轉(zhuǎn)化的方法,轉(zhuǎn)化成我們學(xué)習(xí)的立體幾何知識(shí)來解；③首先考慮問題的實(shí)際意義,直接度量,顯然是不可以的,我們可以轉(zhuǎn)化為立體幾何的方法,也就是求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)。④回顧平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式,可類比猜想相應(yīng)的公式；⑤學(xué)生回憶剛剛學(xué)過的知識(shí),大膽類比和猜想;⑥利用③的道理,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系和立體幾何知識(shí),進(jìn)行推導(dǎo)。 
討論結(jié)果：①平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是d=212212)()(yyxx,它是利用直角三角形和勾股定理來推導(dǎo)的。 
 
圖1 
②如圖1,設(shè)A(x,y,z)是空間任意一點(diǎn),過A作AB⊥xOy平面,垂足為B,過B分別作BD⊥x軸,BE⊥y軸,垂足分別為D,E。根據(jù)坐標(biāo)的含義知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2
=BD2
+OD2
,AO2
=AB2
+BO2
=AB2
+BD2
+OD2
=z2
+x2
+y2
,因此A到原點(diǎn)的距離是d=2
2
2
zyx。 
③利用求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)的方法,分別量出這塊磚的三條棱長(zhǎng),然后根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于三條邊長(zhǎng)的平方的和來算。
④由于平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)之間的距離公式是d=212212)()(yyxx,是同名坐標(biāo)的差的平方的和再開方,所以我們猜想,空間兩點(diǎn)之間的距離公式是d=212212212)()()(zzyyxx,即在原來的基礎(chǔ)上,加上縱坐標(biāo)差的平方。 ⑤平面直角坐標(biāo)系中的方程x2
+y2
=r2
表示以原點(diǎn)為圓心,r為半徑的圓;在空間x2
+y2
+z2
=r2
表示以原點(diǎn)為球心,r為半徑的球面;后者正是前者的推廣。 
 
圖2 
⑥如圖2,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),我們來計(jì)算這兩點(diǎn)之間的距離。 我們分別過P1P2作xOy平面的垂線,垂足是M,N,則M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(yyxx。 
再過點(diǎn)P1作P1H⊥P2N,垂足為H,則|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|。 在
Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=
212212)()(yyxx,根據(jù)勾股定理,得
|P1P2|=
2221||||HPHP=221221221)()()(zzyyxx。因此空間中點(diǎn)
P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離為|P1P2|=221221221)()()(zzyyxx。 于是空間兩點(diǎn)之間的距離公式是d=212212212)()()(zzyyxx。它是同名坐標(biāo)的差的平方的和的算術(shù)平方根。 三、應(yīng)用示例 
例1  已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：      (1)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度； 
     (2)到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件。 
活動(dòng)：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,已知的兩點(diǎn)A、B都是空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),我們直接利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解即可。知識(shí)本身不難,但是我們計(jì)算的時(shí)候必須認(rèn)真,決不能因?yàn)榇中膶?dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。 
解:(1)設(shè)M(x,y,z)是線段AB的中點(diǎn),則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 
 
                    
             
                    
                             
x=
213=2,y=203=23,z=215=3。所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2
3
,3)。 根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式,得 
d(A,B)=29)15()30()31(222, 
所以AB的長(zhǎng)度為29。 
(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y,z)到A,B的距離相等,所以有下面等式： 
222222)5()0()1()1()3()3(zyxzyx。 
化簡(jiǎn)得4x+6y-8z+7=0, 
因此,到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)滿足的條件是4x+6y-8z+7=0。 點(diǎn)評(píng):通過本題我們可以得出以下兩點(diǎn)： 
①空間兩點(diǎn)連成的線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式是平面上中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式的推廣,而平面上中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式又可看成空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式的特例。 
②到A,B兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)構(gòu)成的集合就是線段AB的中垂面。 變式訓(xùn)練 
    在z軸上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A(1,0,2),B(1,-3,1)的距離相等。 解:設(shè)M(0,0,z),由題意得|MA|=|MB|, 
2222222)1()30()30()10()2()00()10(zz, 
整理并化簡(jiǎn),得z=-3,所以M(0,0,-3)。 
例2  證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點(diǎn)的△ABC是一等腰三角形。 
活動(dòng)：學(xué)生審題,教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,證明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長(zhǎng),根據(jù)邊長(zhǎng)來確定。 證明：由兩點(diǎn)間距離公式得： 
      |AB|=,72)12()31()47(222       |BC|=6)23()12()75(222,       |CA|=6)31()23()54(222
。 
      由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC是一等腰三角形。 
點(diǎn)評(píng):判斷三角形的形狀一般是根據(jù)邊長(zhǎng)來實(shí)現(xiàn)的,因此解決問題的關(guān)鍵是通過兩點(diǎn)間的距
 
                    
             
                    
                             
離公式求出邊長(zhǎng)。 變式訓(xùn)練 
    三角形△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),試證明△ABC是一直角三角形。 
活動(dòng)：學(xué)生先思考或交流,然后解答,教師及時(shí)提示引導(dǎo),要判定△ABC是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的長(zhǎng),利用勾股定理的逆定理來判定。 
解: 因?yàn)槿齻�(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以     |AB|=222)13()12()11(=3,     |BC|=23)15()10()10(222,     |CA|=222)53()02()01(=3。     又因?yàn)閨AB|2
+|CA|2
=|BC|2
,所以△ABC是直角三角形。 
例3  已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),則|AB|的最小值為(    )       A.0                 B.
735                  C.75                D.7
8
 活動(dòng)： 學(xué)生閱讀題目,思考解決問題的方法,教師提示,要求|AB|的最小值,首先我們需要根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|,然后再根據(jù)一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值。 
解析:|AB|=222)33()23()1(xxx          =1932142
xx          =7
3575)7
8
(142

x。       當(dāng)x=
7
8
時(shí),|AB|的最小值為735。 
      故正確選項(xiàng)為B。       答案：B 
點(diǎn)評(píng):利用空間兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)求最值是常用的方法。 四、知能訓(xùn)練 
課本本節(jié)練習(xí)1、2、3、4。 
 
                    
             
                    
                             
五、拓展提升 
    已知三棱錐P—ABC(如圖4),PA⊥平面ABC,在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),畫出這個(gè)空間直角坐標(biāo)系并求出直線AB與x軸所成的較小的角。 
 
圖3 
解: 根據(jù)已知條件,畫空間直角坐標(biāo)系如圖3： 
以射線AC為y軸正方向,射線AP為z軸正方向,A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,過點(diǎn)B作BE⊥Ox,垂足為E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0)。 在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m, 
∴tan∠BAE=
m
mAEEB3||||
=33
。∴∠BAE=30°, 即直線AB與x軸所成的較小的角為30°。 六、課堂小結(jié) 
1.空間兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)與理解； 2.空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用； 
3.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,綜合利用兩點(diǎn)間的距離公式。 七、作業(yè) 
    習(xí)題4.3  A組3，B組1、2、3。 
設(shè)計(jì)感想 
    本節(jié)課從平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式入手,創(chuàng)設(shè)問題情景,不難把平面上的知識(shí)推廣到空間,遵循從易到難、從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程,利用類比的思想方法,借助勾股定理得到空間任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,在例題中,設(shè)計(jì)了由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。在問題的設(shè)計(jì)中,用一題多解的探究,縱向挖掘知識(shí)深度,橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神,本節(jié)課的設(shè)計(jì)通過適當(dāng)?shù)膭?chuàng)設(shè)情境,調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本節(jié)課以問題為紐帶,以探究活動(dòng)為載體,使學(xué)生在問題的指引下、
 
                    
             
                    
                             
教師的指導(dǎo)下把探究活動(dòng)層層展開、步步深入,充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想。把學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程,提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強(qiáng)了信心。

視頻來源：優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) www.m.fsyixinda.com -----更多視頻請(qǐng)?jiān)诒卷撁骓敳克阉鳈谳斎搿翱臻g兩點(diǎn)間,距離公式”其中的單個(gè)詞或詞組，搜索以字?jǐn)?shù)為3-6之間的關(guān)鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級(jí)等文字”。本視頻標(biāo)題為“高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式》”，所屬分類為“高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻”，如果喜歡或者認(rèn)為本視頻“高中數(shù)學(xué)人教A版必修二《4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式》”很給力，您可以一鍵點(diǎn)擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優(yōu)質(zhì)課網(wǎng) 的成長(zhǎng)和發(fā)展，離不開您的支持，感謝您的關(guān)注和支持！有問題請(qǐng)【點(diǎn)此聯(lián)系客服QQ：983228566】 -----