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視頻標簽：數學建模
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修一第三章《走近數學建模》北京市 - 東城區
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教學設計
課題 走近數學建模
學科 數學 年級
高二 課型
新授課□ 章/單元復習課□ 專題復習課□ 習題/試卷講評課□ 學科實踐活動課√ 其他□
教學設計
1、教學內容分析
函數是描述客觀世界中變量關系和規律的最基本的數學語言和工具，函數模型在生活中有廣泛的應用。本節課是在學生已經掌握了多種函數模型的基礎上，進行的一次數學建模的基礎課程。本節課選擇了“燒水時如何使用燃氣最節省？”為研究背景，有關環保、節能問題是近些年熱門話題，讓學生從身邊的情況入手，具有實際意義，不僅能調動學生的積極性，也能體現數學的應用價值。并且是實際問題的解決過程中，讓學生體會數學建模的過程。
本課時的學習是通過對簡單建模的講解引導學生初步理解和認識建模方法，了解數學建模過程，能夠有意識地用數學的眼光觀察現實世界，從而發現并提出有意義的數學問題，并猜測合理的數學結論。
2、學習者分析
作為高二學生已經具備足夠的知識儲備，但絕大部分只是停留在書本上，對數學的實際價值了解不夠，在生活中也沒有確切感受到數學的用處導致大部分學生的數學觀比較片面。需求即動力，學生沒有在實際中運用到數學，就沒有學習數學的推動力，使得部分學生感到學習數學枯燥和乏味。因此，以活動的形式進行數學教學勢必會受到學生的青睞。與此同時，高中的學生，是富有創造潛力的群體，他們開始重視把書本知識和實踐活動結合起來，形成知識、能力和個性的協調發展。因此，培養學生創新精神和實踐能力的數學建模能吸引學生，激發他們的學習欲望，同時高二學生已經經歷過高一階段，對高中的學習更加適應，且有一定的數學基礎知識，對數學建模將有更深的了解和體會，并且具備了一定的數學建模素養。
3、教學目標確定
1、了解數學建模的概念，體會數學模型是數學應用的重要形式；
2、通過參與數學建模的全過程，理解運用數學知識解決實際問題的方法，掌握數學建模的過程；
3、初步培養學生數學建模意識，提高學習數學的興趣，體會數學模型中蘊含的數學思想； 4、在交流過程中，能夠借助或引用已有數學建模的結果說明問題，從而解決簡單的實際
應用問題。
4、教學重點難點分析及教學方式
教學重點：掌握數學建模的過程：實際情景、提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結果、完善模型；
教學難點：能夠在實際情景中，發現問題并轉化為數學問題；能夠運用數學知識解決簡單的實際問題；
教學方式：合作交流式的教與學 5、教學活動設計
教師活動
學生活動
環節一：情境引入
教師活動1 學習數學是讓我們會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。
思考：現實生活中，你是否用到過數學知識解決實
際問題？
其實生活與數學是緊密聯系的。但生活中有很多情境是需要我們引起重視的，比如： 隨著人類社會的發展，不可再生資源的短缺愈加明顯，甚至一些國家或地區由于石能源的缺乏導
致戰爭。節約能源，保護環境已成了世界主題，習
總書記也指出新時代推進生態文明建設就要堅持節約優先、保護優先、自然恢復為主的方針。 學生活動1
學生分享自己的感受
同學聆聽，并提出節約能源的重要
性，從身邊的事情入手節約能源，從而引出問題：
燒水時，如何使用燃氣最節省？
活動意圖說明
通過對數學與實際生活的思考，啟發學生在實際情境中從數學的視角發現問題，從而針對實際情景提出本節課的探究問題，有較強的代入感，激動學生的學習興趣。
環節二：構建模型 教師活動2
這個看似復雜的事情，要如何一步步抽絲剝繭，用數學知識完成探究呢？首先，我們要對問題進行分析：
問題1：在燒水時，影響燃氣用量的因素有哪些？
現實生活中的問題總是存在著很多影響因素，那要想完成探究，需要思考
學生活動2
學生思考后回答
（學生1：水的質量； 學生2：水的初始溫度； 學生3：水壺的材質 學生4：燃氣灶
學生5：火焰的大小）
問題2：如何處理這些影響因素？
針對相關因素提出假設：
1、每次燒水量相等都是1.2L；
2、每次燒水用相同的水壺和燃氣灶； 3、在同一地點進行多次實驗；
4、水的最初溫度相同，當水達到100 停止加熱。
在以上假設條件下，著重研究火焰大小對燃氣用量對的影響，從而提出問題：
問題3-1：火焰越大，越節省燃氣嗎？
問題3-2：火焰越小，越節省燃氣嗎？
因此，我們探究的問題就是尋找某一種火焰的大小，既能燒開水，又使能源浪費最小，從而
問題轉化為：在以上假設條件下燒水，火焰多大時燃氣最節省？
問題4：如何刻畫火焰的大小？
問題轉化為：在以上假設條件下燒水，灶臺旋鈕旋轉到什么角度時，燃氣最節省？
經過對問題的分析，我們要探究的內容變得可測量，那么請思考
問題5：如何獲取相關數據？
給出經過大量的重復實驗得到以下實驗數據：
觀察實驗數據會發現，隨著旋鈕位置的變化，燃氣用量也在發生變化，這兩個變量可能存在著某種函
位置（ ） 用量（ ） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172 學生思考后回答
（控制變量，分析因素的重要程度，突出主要因素，弱化次要因素的影響）
學生思考后回答 （不一定，火焰越大，灶臺旁邊的溫度就越高即浪費的能源也越多）
學生思考后回答 （不一定，火焰過小，時間也變長，能源消耗也多）
學生思考后回答
（在燃氣灶的使用過程中，可以通過旋轉灶臺上的旋鈕調整火焰大小，而旋鈕在旋轉過程中就出現旋轉角度，進而我們可以用旋鈕的旋轉角度刻畫火焰的大小）
學生思考后回答 （進行實驗，旋鈕旋轉到不同度數時，記錄燒開水燃氣表的數值變化）
數關系，如果我們能找到這個函數關系，那我們想探究的燃氣用量最省的問題就回到求函數的最小值問題。
對于這些數據，如果我們手動的處理這些數據將會有較大的偏差，且計算量較大，但信息技術的發展和課堂的引入，可以幫助我們高效且準確的完成數據分析。
活動2-1：請在坐標軸中呈現實驗數據。
問題6：觀察數據和圖象，可得到旋鈕位置與燃氣用量何種變化趨勢？
活動2-2：以小組為單位商討后對數據進行函數擬合，并記錄擬合函數的表達式。
位置（ ） 用量（ ） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
學生動手操作，并展示學生代表結果：（以下為學生作品）
這些數據在坐標軸上只是一些離散的點.
學思考后回答
（圖象中這5個點呈現出旋鈕從 到 的過程中，燃氣用量逐漸減少；從 到 的過程中，燃氣用量逐漸增加，是一個先減后增的過程。）
學生小組合作完成，并由學生代表展示擬合成果：（以下為學生作品） （1）擬合三次函數
表達式：
觀察擬合的二次函數圖象發現，A、D、E三點基本在這條曲線上，而另外兩點會有一些偏差，引發猜想，如何選擇另外的三個點進行擬合，是不是會得到不同的二次函數呢?比如選擇A、B、E三點，師生共同完成擬合圖象：
結合A、B、E三點擬合二次函數：
（2）擬合四次函數
表達式： +2.5
（3）擬合正弦函數
表達式：
（4）擬合二次函數
表達式：
（5）擬合冪函數
無法擬合函數
學生操作后，分享結果。
活動2-3：請找到函數圖象中最小值處的坐標.
追問1：以上是我們利用函數模型得到的五組結論，那么哪一組才是最準確解決實際問題的呢？如何去選擇？
追問2：如果最符合的是四次函數，那么模型得到的坐標（28.54，0.12）表示什么實際結果呢？
追問3：如果五組結果都不符合實際，說明什么問題？
三次函數：最低點坐標
（29.52，0.125） 四次函數：最低點坐標 （28.54，0.12） 正弦函數：最低點坐標 （31.69，0.125） 二次函數：最低點坐標 （28.57，0.1267） 結合A、B、E的二次函數：最低點坐標（38.68，0.1219） 學生思考后回答 （需要在實際情況中對結論進行檢驗，若哪組的結論最符合實際情況，則對應的數學模型就可以使
用。） 學生思考后回答 （旋鈕轉到29度時，燒水燃氣用量最節省，約為0.12立方厘米）
學生思考后回答 （可能假設過程出現錯誤，需修改假設，重新建模）
活動意圖說明
通過學生對具體問題建模過程的參與，讓學生了解數學建模的概念，體會數學模型是數學應用的重要形式；并在探究過程中，理解運用數學知識解決實際問題的方法；初步培養學生數學建模意識，提高學習數學的興趣。
環節三：歸納總結
教師活動3
以上，我們完成了對如何使用燃氣最節省的探究，也經歷了數學建模的全過程。
活動3-1：小組合作，結合以上探究過程繪制數學建模的過程圖？
學生活動3
學生小組討論后繪制數學建模的過程圖并上傳到作品庫，各組可在作品庫中查看其它小組內容。 （以下為學生作品）： 第一組作品：
教師歸納總結：
數學建模需要我們用數學的眼光觀察實際情境，從而發現和提出問題，用數學的方式收集數據，其中包括必要的假設和實驗獲取數據，利用數學思維建立函數模型，用數學知識求解模型，最后用實際情況檢驗結果，若符合實際則用數學語言表達實際結果，若不符合實際則要重新建立模型。
第二組作品：
第三組作品：
第四組作品：
第五組作品：
觀察實際情
發現和提出問題
收集數據
建立函數模型
檢驗結果
實際結果
符合實際
不符合實際活動意圖說明
通過學生對整個探究過程的歸納總結，初步掌握數學建模的過程，能夠借助或引用已有數學建模的結果說明問題，體會數學的重要意義。
環節四：布置作業
教師活動4 布置作業：
請同學們仿照上述過程開展一次建立模型解決實際問題的活動，可以從下列選題中選一個：
1、用微波爐或電磁爐燒一壺開水，找到最省電的功率設定方式；
2、在室溫下，泡制一杯最佳口感茶水所需時間； 3、給定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干凈。
也可以根據自己的興趣，與老師協商后確定一個課題進行研究。
要求：在班級中組成3—5人的研究小組，美味同學參加其中一個小組。擬定研究課題，確定研究方案，規劃研究步驟，編制研究手冊，然后在班里進行一次開題報告。
學生活動4
活動意圖說明
讓學生通過親身參與，深入體會數學建模的過程，能運用所學知識解決簡單的實際應用，逐步培養學生數學建模意識，提高學習數學的興趣。
6、板書設計
7、學習效果評價
在數學建模活動中，學生是認知活動的主體，教師是幫助者、促進者、引導著。在建模的教學中，方法的探究、實施、調整和反思應盡量由學生自主或合作探究完成， 同時在評價學習效果時，無需過多的強調解決的正確性，應主要考查學生使用的數學方法是否得當，求解過程是否合乎常理，建模的結果是否有一定的實際意義。
走近數學建模
數學建模過程 不符合實際 觀察實際情景 發現和提出問題收集數據建立函數模型求解函數模型檢驗 實際結果 結果 符合實際
8、教學反思
本節課的教學目的旨在通過學生對數學建模全過程的參與，理解運用數學知識解決實際問題的方法，掌握數學建模的過程：實際情景、提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結果、完善模型；從而提高學習數學的興趣，并能夠借助或引用已有數學建模的結果說明問題，從而解決簡單的實際應用問題。 本節課存在的問題及改進措施：
（1）教師經驗不足，對數學建模活動的實踐教學把握不夠準確。應加強自身對數學建模活動課的說課、磨課等教學研究，認真做好教學實踐，不斷提高此類課程的教學技能。 （2）學生對數學建模比較陌生，信息技術應用水平不高。學生應該拓展自己的視野，不能局限于教材和考試，要依托教材，學會利用網絡資源，多涉獵中學數學建模相關內容，提高自己生活問題數學化的能力，嘗試用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
