視頻標簽：解三角形應用,考海倫,秦九韶

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視頻課題：高中數學必修五第一章1.2解三角形應用舉例“閱讀思考海倫與秦九韶”貴州省 - 畢節

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§1.2  應用舉例－海倫與秦九韶公式教學設計 
 
一、教學內容與學情分析 
  本節課教學內容是，高中數學必修五第一章1.2解三角形應用舉例“閱讀思考海倫與秦九韶”.這是學生已經掌握三角形的相關面積公式的基礎上來拓展學習的海倫與秦九韶公式，本班部分學生的運算能力較為薄弱，甚至有的同學對學習數學沒有太大的興趣.本節課的設計是為了提高班上同學對數學文化的了解和一題多解的數學認識，從一定程度上提高他們對數學的學習興趣，也能啟到培養學生發現問題、提出問題和分析問題、解決問題的能力. 
二、教學目標 
(1) 理解海倫公式與三斜求積術公式的本質相同，證明三斜求積術公式. 
(2) 會用海倫與秦九韶公式，解決已知三角形三邊求三角形面積這類數學問題. 
(3) 培養學生發現問題、提出問題和分析問題、解決問題的能力，培養學生的猜想能力，發展學生的合情推理和概括能力. 
三、教學重難點 
(1) 重點：了解我國優秀的傳統數學文化，增強民族自豪感和民族文化自信心;秦九韶公式的證明及應用. (2) 難點：秦九韶公式的證明與應用.  
 
                    
             
                    
                            四、數學核心素養 
  這節課主要培養學生的抽象概括能力，邏輯推理能力，數學建模能力，運算求解能力. 
五、教學過程 
1、問題引領，合作探究. 
“我國南宋著名數學家秦九韶（約1202—1261），在他的著作《算數九章》卷五“田域類 ”里有這樣一個題目： 
“問有沙田一段三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知幾何.”意思是已知一個三 角形的三邊長分別為13里，14里，15里，則這個沙田的面積為多少？” 
你能利用已學知識來解決這個數學問題嗎？ 這個問題的主要目的：①學生探討，教師指導. 
                      ②培養學生的數學建模能力，運算能力，
抽象概括能力. 
                      ③引出海倫公式.cpbpappS                        其中2
c
bap
  
教師介紹：古希臘的數學發展到亞歷山大里亞時期，數學的 
應用性得到了很大的發展，其突出的一點就是三角術的發展 三角術是人們為了建立定量的天文學，以便用來預報天體的 運行路線和位置以幫助報時，計算日歷、航海和研究地理而 產生的.在解三角形問題中.一個比較困難的問題是如何由三 
 
                    
             
                    
                            角形的三邊a, b, c,直接求出三角形的面積.據說這個問題最 早是由古希臘數學家阿基米德解決的，他得到了公式:          cpbpappS其中2
c
bap
 但現在人們常常以古希臘的數學家海倫命名這個公式，稱此公式為 海倫公式. 
總結：海倫公式的提出為三角形和多邊形的面積計算提供了新的方法 和思路，在已知三角形的三邊而不知道高和角的情況下使用海倫公式 可以更快更簡便的求出三角形面積. 
2、學習中國文化，增強民族自信心 
我國南宋著名數學家秦九韶（約1202—1261）在他的著作《算 數九章》也提到了與海倫公式等價的從三角形的三邊求面積的公 式，他把這種方法稱為“三斜求積”，《算數九章》中的求法是： “以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大 斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方的積.”如果把以上 這段文字寫成公式，就是： 
                


2
22222241bacacS 教師介紹：  秦九韶，字道古.魯郡（今河南范縣）人.  中國古代
數學家.南宋嘉定元年（1208年）生；約景定（1261年）被貶至梅州，咸淳四年（1268）二月，在梅州辭世，時年61歲.《算數九章》 全書九章十八卷，九章九類：“大衍類”、“天時類”、“田域類”、“測望類”、“賦役類”、“錢谷類”、“營建類”、“軍旅類”、“市物類”，每類
 
                    
             
                    
                            9題（9問）共計81題（81問），該書內容豐富至極，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建筑、運輸，尤其是系統總結和發展了高次方程的數值解法與一次同余問題的解法，提出了相當完備.”正負開方術”和”大衍求一術”對數學發展產生了廣泛的影響，他被國外科學史家贊譽為“他那個民族，那個時代，并且確實也是 所以時代最偉大的數學家之一”.秦九韶所發明的“大衍求一術”，即現代數論中一次同余式組解法，是中世紀世界數學的成就之一，比西方1801年著名數學家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理論早554年，被西方稱為“中國剩余定理”秦九韶在《數書九章》中除“大衍求一術”外，還創擬了正負開方術，即任意高次方程的數值解法，秦九韶所發明的此項成果比1819年英國人霍納（W·G·Horner，1786—1837年）的同樣解法早572年.  
總結：從數學史角度看，世界上每一個民族都有自己的數學史，用自己本民族的語言敘述同一數學問題能從一定程度上提高學生的學習興趣，同時讓學生了解本民族的數學文化，增強對本民族數學文化的認同感，其次，讓學生通過等式變形，學會知識間的融會貫通，感受數學變中之不變的美感，東西方數學家為數學的發展都作出應有的貢獻，不同的表達方式，講述了相同的內容，學生可從中感受數學統一性之美. 
  
 
                    
             
                    
                             
3、師生探究，公式證明. 
古希臘數學家海倫運用平面知識，證明海倫面積公式.中國古代數學家秦九韶只給出公式，用來解決已知三角形三邊求三角形面積這類問題的計算.你能通過已學知識給出秦九韶面積公式的證明嗎？ 
教師介紹：證明方法有兩種(1)用以下三個公式cabSABCsin2
1

，1sincos2
2
cc，ab
cbac2cos2222
.來證明海倫公式. 
(2)用三角形面積公式ahSABC2
1和方
程思想來證明海倫公式. 
設計意圖：通過海倫公式定理的證明，加強知識的綜合運用，滲透
從特殊到一般的數學思想，使學生認識到中西知識背后蘊藏的深刻文化意涵.  
4、公式應用，體現價值. 
例1：南宋時期的數學家秦九韶獨立發現的計算三角形面積的“三斜求積術”，與著名的海倫公式等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減小，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即 



2
22222241bacacS 若ABC的周長為12:5:12sin:sin:sin,522CBA且                    用“三斜求積術”求 ABC面積=________;  
 
                    
             
                    
                                
例2：中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平
面內有一個三角形，邊長分別為a，b,c.三角形的面積可由公式                 

cpbpappS
求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式
也被稱為海倫-秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足             則此三角形面積的最大值=_________.  
六、師生小結 
(1) 海倫（Heron）:古希臘數學家主要著作有《量度論》，《體積求法》，《幾何》等，最著名的是已知三邊長求三角形面積的海倫公式： 
cpbpappS其中2
c
bap
 (2) 秦九韶:南宋著名數學家，代表作《算數九章》''三斜求積術“已知三邊長求三角形面積： 


222222241bacacS 七、思維深化，拓展延伸. 
若將海倫公式推廣到四邊形，即設四邊形ABCD的四邊長分別為a ，b， c, d,則這個四邊形的面積為： 
.2
,d
cbapdpcpbpappS

其中 思考：以上公式對任意的四邊形是否都成立？ 
設計意圖：這個問題可供有余力的學生課后鉆研，提高自學能力. 
 
                    
             
                    
                            八、課后作業 
[針對訓練]南宋時期的數學家秦九韶獨立發現的計算三角形面積的“三斜求積術”，與著名的海倫公式等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減小，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式 
即



2
22222241bacacS在ABC中，若,15,14,13ACBCABD在AC上，且BD平分ABC則ABC的面積=________; BD=____________. [針對訓練]南宋時期的數學家秦九韶獨立發現的計算三角形面積的“三斜求積術”，與著名的海倫公式等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減小，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式 
即


2
22222241bacacS已知ABC的三邊分別a,b,c.面積為S.若ACasin24sin2且 

A
abcBCasin27sinsin2則             
ABC的面積為=_______. 
 
設計意圖：加強學生對本節課知識的理解與回顧，培養學生的運算能力,學會知識之間的融會與貫通.

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