視頻標簽：任意角的,三角函數

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視頻課題：高一數學人教A版必修四第一章閱讀與思考1.2任意角的三角函數-新疆省級優課

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1.2任意角的三角函數 
教材分析 
本節課為《普通高中課程標準教科書·數學（必修4）》（人教版A版）第12頁1.2.1任意角的三角函數第一課時.在初中，學生已學過銳角三角函數，知道直角三角形中銳角三角函數等于相應邊長的比值.隨著本章角的概念的推廣和引入弧度制后，將銳角三角函數推廣為任意角的三角函數，但它與解三角形已經沒有什么關系了.任意角在直角坐標系中有了“形”的定位，這一節給出從形到數的定義.任意角的三角函數是研究一個實數集到另一個實數集的對應關系，認識它要借助于單位圓的直觀幫助，這中間體現了數形結合的思想. 
學情分析 
學生已經掌握的內容及學生的學習能力： 學生已經學習了基本的銳角三角函數的定義，已經具備一定的自學能力。但在探究問題、合作交流的意識等方面發展不夠均衡，尚有待加強.結合教學內容以及學生的認知結構，本節課采用教師引領、學生思考的方式，逐步使學生完成從直角三角形中定義銳角三角函數到任意角的三角函數的定義的建構過程. 
教學目標 
（一） 知識與技能 
1. 掌握任意角的三角函數的定義 
2. 已知角終邊上一點，會求角的三角函數值 3. 三角函數的定義域 （二） 過程與方法 
1．借助于單位圓理解任意角的三角函數的定義 2．正確理解三角函數是以實數為自變量的函數 
3．通過對定義域的推導，提高學生分析、解決問題的能力 （三） 情感、態度與價值觀 
1．使學生認識事物是有聯系的，體會特殊到一般的過程 
2．感悟數學概念的合理性、嚴謹性、科學性，學習轉化的思想，培養學生一絲不茍的科學精神 
重點：任意角的三角函數的定義 
難點：任意角的三角函數的定義的建構過程 教學設計 
一、創設情境，提出問題 
我們知道函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型之一.客觀世界中存在著大量循環往復、周而復始的現象.例如，圓周運動，那么它的變化規律用什么函數模型描述呢？這就是我們今天要學習的內容：任意角的三角函數. 
 
                    
             
                    
                            問題1：在現實生活中有很多這樣的周而復始的循環現象，同學們能舉出一些例子嗎？ 
學生回答：鐘表，摩天輪，轉動的車輪等. 
中國的二十四節氣反映了一年天氣的周期性現象. 它是太陽的位置和季節的交替之間的內在的聯系.太陽從黃經零度起，每運行15度經歷一個節氣，一年運行360度，共24節氣.古人發現陽光下的影子的變化規律：夏至時，影子最短；冬至時，影子最長.古人利用直立的桿子和桿子的影子進行測量.直立的桿子和桿影正好構成一個什么三角形？直角三角形 【設計意圖】 從實際生活中發現周期性現象，讓數學生活化.反映周期性變化又從中自然引出學生已經學過的知識. 
二、 聯系舊知,問題導入 
問題2：在初中我們是如何定義銳角三角函數的？ 
在tRPOM中：b
a
cbcatan,cos,sin  
【設計意圖】從原有的認知基礎出發，為用坐標定義銳角三角函數作準備. 
問題3：在直角坐標系中，如何用角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數？ 
【設計意圖】引導學生用坐標法來研究銳角三角函數 如圖，把POM的頂點放到坐標原點，使OM 
和x軸非負半軸重合，則POM的終邊為射線OP,且點P的坐標為),(yxP，rOP為 
在tRPOM中，記=POM，則： 
x
y
rxry
tan,cos,sin 這樣，我們就用角終邊上點P的坐標表示出了銳角的三角函數. 
問題4：如果改變點P在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？ 
【設計意圖】說明這三個比值與終邊上點的位置無關 師生活動：教師先引導學生在終邊上移動點P 到另一個位置，然后讓學生分組討論，得到結果 
如圖，在終邊上將點P移動到點'P，做''
PM與x 
軸垂直于'
M點，則'
POMPOM∽, 因此， 
x 
y 
O 
P(x,y) 
M 
O '
P 
'
MM 
P 
y 
x 
 
                    
             
                    
                            =MPOP=sinMPOP，=OM
OP

=cosOMOP，=MPOM=tan.MPOM 這說明，角的三角函數不會隨著點P在終邊上位置的改變而改變. 
三．層層設問,不斷探究 
問題5：能否選取適當的P點而將表達式簡化？ 
師生活動：教師引導學生進行對比，學生通過對比發現當點P與坐標原點距離 為1時可以將表達式簡化. 
【設計意圖】體現單位化思想，并為引出單位圓奠定基礎 
在角的終邊上，若將點P選在使1OP的位置上，此時點P在單位圓（以坐標原點為圓心，以單位長度為半徑的圓）上，則： 
)0(tan,cos,sin
xx
y
xy  顯然sin,cos的表達式簡化了. 這樣我們就利用單位圓上點的坐標定義了銳角三角函數. 
探究:如果是一個任意角,能否用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數? 
銳角是任意角的一種簡單形式,在直角坐標系中可以用單位圓上點的坐標來表示任意角的三角函數. 
【設計意圖】 在直角坐標系中,角的終邊繞原點旋轉,可以很好地體現角的周而復始的變化規律.這種坐標表示方法不再受三角形的局限,可以推廣到任意角,這樣就得到了任意角的三角函數定義. 
任意角的三角函數的定義：[來源:學_科_網] 設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點
x,Py，那么： 
(1) y叫做的正弦，記作sin，即sin=y. (2) x叫做的余弦，記作cos，即cos=x. (3) 
y
x
叫做的正切，記作tan， 即tanx.y
x
（0）
 P(x,y)  
O x 
a的終邊 
y 
O 
 
                    
             
                    
                            正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們將他們統稱為三角函數. [來源
:學 
問題6：既然是函數,對于一個函數首先要研究什么?定義域 
師生活動：探究三個三角函數的定義域. 
sinα的定義域是R， cosα的定義域是R， tanα的定義域是{α|α≠
2

+kπ,k∈Z}. 【設計意圖】建立了角的弧度制,角的集合與實數集對應,引導學生用弧度制表示三角函數的定義域,揭示函數本質. 
問題7：我們求任意角的三角函數,實質是在求什么?
  
實質為求角α的終邊與單位圓交點的坐標或坐標的比值. 
四．例題講解,變式練習 
例1 求5
3
的正弦、余弦和正切值 
分析：關鍵是作角5
3
，進而寫出與單位圓交點坐標，利用定義求解. 
解：在直角坐標系中，作 53
AOB
，易知AOB     的終邊與單位圓的交點坐標為  13
(,
)22
  .所以， 
53sin,32 
51cos,32 
5
tan3.3
 
【設計意圖】 讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與圖形的聯系，體會數形結合的思想. 變式：若把角53改為
7
6
呢? 課本15頁 練習1：利用三角函數的定義求
6
7
的三個三角函數值. 答案：71sin
,6273cos,6273tan63
 o
B 
x53
y (1,0)A 
 
                    
             
                    
                            【設計意圖】：練習1與例題銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數的本質特征，引導學生從定義出發利用坐標平面內的點的坐標特征探究三角函數的有關問題的思想方法. 例2  已知角的終邊經過點0(3,4)P，求角的正弦、余弦和正切值. 分析：利用相似三角形將任意點轉化到單位圓上點，然后利用定義求值. 解:由已知可得5)4((-3)|OP|220
 
設角的終邊與單位圓交于點(,)Pxy  分別過點P、0p作x軸的垂線MP、0MP，則             004MP，MPy 
03OM，OMx 
OMP∽00OMP， 
于是  54
||1sin0
00
OPPMOPMPyy； 003
cos15
OMOMxxOPOP 
sin4tancos3
yx
 【設計意圖】將任意點轉化到單位圓上的點，應用定義解題，鞏固對定義的理解，培養轉化思想和數形結合思想.   
思考：一般的，設角終邊上任意一點的坐標為（x,y）,它與原點的距離為r,則
sin,cos,tanyxy
aaarrx

，你能自己給出證明嗎？ 【設計意圖】讓學生掌握三角函數的另一種定義，可由角終邊上任一點確定三角函數值.  
【設計意圖】 通過定義的應用，讓學生了解三種定義域及函數值在各象限的符號的變化規律，并從中進一步理解三角函數的概念，體會數形結合的思想. 練習：課本15頁練習2 
五．課堂小結,感悟升華 
通過本節課的學習,你有哪些收獲和體會? 學生回答 
1．知識：任意角的三角函數的定義；三角函數的定義域； 
 2．思想：化歸轉化的思想、數形結合的思想、特殊到一般的思想. 
o
 x
y 
(,)
Pxy(,)Pxy 
0(3,4)P (,)
Pxy0M (,)PxyM 
(,)Pxy
                    
             
                    
                            【設計意圖】 培養學生及時梳理，系統總結新知的習慣，掌握知識點的聯系和思想方法的靈活運用. 
作業：課本20頁 習題1.2 A組 1、2題 
板書設計 
1.2.1任意角的三角函數 
一、引入新課 
銳角三角函數坐標化 二、探究新知 
1.任意角三角函數的定義 2.探究三角函數定義域 
三、運用新知 
1.利用定義求三角函數值 例1 變式   
例 2 練習 
教學反思 
上述教學設計及具體教學實施過程后反思如下： 
1．教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數的理解上。很好地融合初中三角函數的定義引入在直角坐標系中，將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，能夠揭示函數的本質。 2．本教案的亮點是新知引入.為了突破任意角三角函數定義這一難點，教學中在直角坐標系中先用銳角的終邊上任一點坐標表示三角函數，再特殊化到用角終邊與單位圓的交點來表示銳角三角函數，在此基礎上定義任意角三角函數。揭示了新舊知識的內在聯系，符合學生的認知特點. 
3．通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數學與自然和社會的聯系、新舊知識的內在聯系，在體驗中領悟數學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

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