視頻標簽：橢圓及其標準方程

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視頻課題：人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》四川省樂山

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人教A版高中選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》四川省樂山

《橢圓及其標準方程》教學設計說明

一、教材所處的地位和作用
    本節內容是選修2-1第二章圓錐曲線的第二節，主要學習橢圓的定義和標準方程。從知識上說，本節既是對“曲線與方程”的復習鞏固又是下一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，它既可以類比圓的研究過程和方法，又為我們后續研究雙曲線和拋物線提供了基本模式和理論基礎�？梢�，本課具有承前啟后的作用。
本節對橢圓定義和方程的研究滲透了函數與方程、數形結合的重要數學思想。在橢圓定義和方程的探究過程中，主張學生積極有效參與，在表達，交流，質疑，反思，探究，遷移，重組，修正，創造的過程中展開學生思維活動，著眼學生發展，還課堂以生命力，還學生以活力。
二、教學目標的確定
    在學習本節知識以前，學生已經學習了《直線和圓的方程》，初步了解了用坐標法求曲線的方程的基本步驟，已具備了一定的分析能力、計算能力，概括歸納的能力和語言轉換能力。在本節學習中，橢圓定義的歸納、方程的推導化簡學生仍會遇到困難，需要老師引導。因此，根據新課標強調的知識與技能，過程與發展，情感態度與價值觀目標制定如下教學目標：

1. 掌握橢圓的定義，標準方程，會用定義法和待定系數法求橢圓方程；
2. 培養學生發現，探索的研究能力；通過橢圓定義的形成和標準方程的推導，建立類比化歸的數學思想，加強學生的數形結合意識，提高學生的邏輯推理與分析探究能力；
3. 學會主動探究、合作學習、加強團隊協作，感受數學的生機和樂趣；在橢圓標準方程的獲取過程，培養學生發現問題，分析問題，解決問題的能力，在參與中感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性，形成科學的態度。

三、如何突出重點，突破難點
1.教學重點
掌握橢圓的定義，標準方程，理解坐標法的基本思想。采用了學生實驗，小組探索，合作發現的方式來突出重點。通過實驗→發現→總結→質疑→再實驗→再總結→沉淀定義。讓學生在實驗中探究，在探究中發現。
2.教學難點
橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用。采用先做后說，師生共作的方式突破難點。先學生動手，分組討論分享化簡思路及化簡過程中的障礙。再由教師引導分析常見思路，平方去根號（直接平方，移項后再平方）的優劣，提出雙根號內結構對稱時有理化去根號的化簡思想，并與平方法對比，優化計算路徑。
四、教法設計與學法指導
1.教法設計
采用問題教學法，即老師通過問題誘導→啟發討論→探索結果→歸納總結，具體做法如下：(1).引導學生親自動手嘗試畫圖，發現橢圓的形成過程，通過學生觀察，類比，讓學生參與知識的獲取，歸納，完善的全過程，得到橢圓的定義及其應注意的條件，提高學生的綜合分析能力。(2).由復習鞏固出發，問題思考→研究討論→演算分析→點撥引導→轉化化簡，得到橢圓在X軸上的標準方程。教師邊提問邊分析，充分調動學生學習自主性和積極性，并從中體會獲取知識，攻克困難的喜悅。(3).使用多媒體輔助教學，幾何畫板，增強動感和直觀感，加大課堂信息量，提高學生的學習興趣和學習效率。
2.學法指導
通過恰當情境，激活學生探索的動機及發現的欲望，讓學生動手實踐，組內合作，分享思路，主動探究，在積極有效的主動參與中完成知識的自主建構。
五、教學過程的設計與說明
1.教學過程
基本線索：從生活中的幾何圖形出發認識橢圓圖形→通過實驗畫出橢圓圖形→分析圖形形成的實質→類比圓的定義思考并歸納出橢圓的定義→建立坐標系尋找橢圓焦點在X軸上的標準方程→初步簡單的應用→課后鞏固和思考→名人名言結束。
2.設計說明
《課標》對橢圓概念的要求是“讓學生經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握它的定義，標準方程，幾何圖形及簡單性質。”同時，《課標》還要求“教師要創造適當的問題情境，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程。”本堂課的教學設計都是基于這些原因，并圍繞著的教學目標，重難點展開。在設計中，力求做到：關注學生的已有知識儲備和生活經驗，注重新舊知識的有機聯系；正確處理數學學科和相關學科的關系，輔之以信息技術；生動呈現知識的發現和發展過程，在問題解決中，通過我+我們的形式獲取新知，完善自我，發展自我。
 
橢圓及其標準方程
四川省樂山第一中學校  岑雪蓮
一、教學內容解析
1.教材所處的地位和作用：
本節內容是選修2-1第二章圓錐曲線的第二節，主要學習橢圓的定義和標準方程。從知識上說，本節既是對“曲線與方程”的復習鞏固又是下一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，它既可以類比圓的研究過程和方法，又為我們后續研究雙曲線和拋物線提供了基本模式和理論基礎。可見，本課具有承前啟后的作用。
本節對橢圓定義和方程的研究滲透了函數與方程、數形結合的重要數學思想。在橢圓定義和方程的探究過程中，主張學生積極有效參與，在表達，交流，質疑，反思，探究，遷移，重組，修正，創造的過程中展開學生思維活動，著眼學生發展，還課堂以生命力，還學生以活力。

2. 在高考中的地位：

圓錐曲線在高考中能力要求較高。而橢圓是圓錐曲線中的高頻考點，涉及橢圓的定義，直線與橢圓等一系列問題。
二、教學目標分析
1.知識與技能目標：
(1)掌握橢圓的畫法和定義；
(2)掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力。
2.過程與方法目標：
(1)經歷橢圓的形成過程，培養學生發現，探索的研究能力；
(2)通過橢圓定義的形成和標準方程的推導，建立類比化歸的數學思想，加強學生的數形結合意識，提高學生的邏輯推理與分析探究能力。
3.情感態度價值觀目標：
(1)在定義的學習中通過主動探究、合作學習、加強團隊協作，感受數學的生機和樂趣；
(2)親手嘗試橢圓標準方程的獲取過程，培養學生發現問題，分析問題，解決問題的能力。在參與中感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性，形成科學的態度。
三、教學問題診斷分析
1.教學重難點，易錯易漏點
教學重點：掌握橢圓的定義，標準方程，理解坐標法的基本思想。
教學難點：橢圓標準方程的推導與化簡，坐標法的應用。
易錯易漏點：橢圓定義中2a>2c的條件限制；標準方程中的a和定義里的2a；焦點位置的判斷。

2. 學情分析

在學習本節知識以前，學生已經學習了《直線和圓的方程》，初步了解了用坐標法求曲線的方程的基本步驟。對幾何圖形的認知，學生頭腦中雖然有一些橢圓的實物實例，但并沒有上升到“概念”的水平。他們渴望將感性認知理性化，渴望通過自己的動手，觀察，分析，得到概念，通過對比產生頓悟。在學習上，學生已具備了一定的分析能力、計算能力，概括歸納的能力和語言轉換能力。他們思維比較活躍，喜歡動手，樂于思考。但是，對于理論性的知識學習興趣不是非常大，對繁瑣的計算也不能較好的完成。
四、教學支持條件分析
硬件：多媒體課件，細繩，繪圖紙。
軟件：對生活中各種不同幾何圖形的認識；對用坐標法研究幾何問題有初步的了解；掌握坐標法求曲線的方程的基本步驟；對圓的圖形與定義的正確理解和掌握。嚴謹的學習態度，濃厚的學習興趣和過硬的運算能力。
五、教學過程設計

教學 環節	教師為主活動	學生為主活動	設計意圖
創設問題情境引入課題	【啟發誘導】   從新知是生長在舊知的基礎上出發，引導學生思考學習了圓接下來將要學習的幾何圖形? 【觀察課件】 觀察一些圖片，從學生刻印在腦海中的原有直觀材料出發，得到“橢圓”的直觀定義。 【生活感知】    觀察圓柱形水杯，隨著傾斜程度不同水面形狀的變化 【實驗】    圓和橢圓形成的兩個實驗。         引出課題——橢圓及其標準方程。	感知生活中圓與橢圓的聯系和區別       學生以組為單位協作完成實驗，教師巡視指導。并讓其中兩組同學黑板上分享實驗成果。	通過對生活中接近圓的圖形的舉例，激發學生的探究心理，讓學生明白新舊知識的聯系。   通過實驗觀察，動手操作，讓學生從形上認識橢圓，并體會實驗的本質，為定義學習做好鋪墊。
形成概念	用現代多媒體技術將實驗重新呈現給學生，并讓他們從圖形的形成過程揭示變中的不變量。 【提問】實驗一:圓的形成是否能揭示出了圓的定義？     【提問】那么從實驗二中能否類似的歸納出橢圓的定義呢？ 預設：這里學生通常會忽略掉距離和與|F1F2|的大小限制，而直接給出，平面內到兩定點F1,F2的距離和等于定長的點的軌跡。 【提問】現在回到黑板上兩組同學們分享出來的橢圓，觀察它們的形狀是否相同？如果不同是什么在影響？怎樣影響？     【提問】F1,F2之間的距離可以無限制的增大嗎？ 【提問】通過剛才的分析，同學們是否發現剛才歸納的橢圓定義的問題？ 經概括總結后得到：【多媒體】 平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點F1,F2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距。 通常記：|MF1|+|MF2|=2a; |F1F2|=2c 注意：2a>2c 軌跡為橢圓       2a=2c 軌跡為線段F1F2       2a<2c 無軌跡	預設：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡。             回答：形狀不同；F1,F2之間的距離；距離越小越接近于圓，距離越大越扁平。 回答：不能。                       記筆記，認真思考。	以實驗為載體，讓學生在做中學習，給他們提供一個自主探究獲得知識的機會。使學生經歷概念的生成和完善過程，提高概括能力和語言表達能力，加深對知識的理解和掌握，養成嚴謹的科學作風。
標準方程推導	形上認識了，就該從數的角度去解析橢圓，接下來我們該研究橢圓的方程。 【提問】要研究方程，我們首先要把橢圓放入坐標系中，如何放呢？   【多媒體】 ①建系，設點： 以F1F2所在直線為X軸，以線段F1F2的中垂線為Y軸，建立坐標系。 設|F1F2|=2c，c>0,M(x,y)為橢圓上的任意一點，則F1(-c,0)、F2(c,0)．又設M與F1，F2的距離的和等于2a． ②  集合表示： 由橢圓定義得：動點M的集合為：P={M||MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|<2a}③  坐標化： 動點M坐標的方程表示： ④  化簡： 【思考】如何化簡上式？ 預設：學生會選擇直接平方或移項后平方的化簡方式。且在給定的時間內不一定能化出結果。     多媒體分享：有理化（注意：雙根號內式子的結構特征）和平方相結合消根號: 從方程形式的簡潔，易記出發引導學生引入b,最終整理方程最終得到：   ⑤由曲線和方程的關系知，方程為橢圓的方程。我們稱為焦點在X軸上的橢圓的標準方程。	預設：以F1F2所在直線為X軸，以線段F1F2的中垂線為Y軸。                             學生以組為單位討論出化簡方案，嘗試化簡。各組交流化簡過程中遇到的問題和最終的解決方法。分享化簡結果。   觀察方程的特點，得出標準方程。     記筆記	讓學生認識到坐標法研究曲線的一般方法和思路。 強調恰當坐標系在求方程中的重要性。清楚不同坐標系對方程，幾何特征的影響。                   讓學生在協作，交流中成長。學會在嘗試中發現問題，分析問題，解決問題。既提高學生的學習能力，又培養嚴謹的數學演算習慣。
知識運用	例：已知圓O:(x+1)2+y2=16, 圓內一個定點F(1,0),A是圓上任意一個點,線段AF的垂直平分線l和半徑OA相交于點M，當點A在圓上運動時, 求動點M的軌跡以及軌跡方程? 預設：學生在用定義判斷曲線類型時會忽略掉：2a>2c或是仍然選用求曲線方程的方法求解。 幾何畫板展示本題,從圓中衍生出橢圓的動態過程。	思考，組內交流，解答，分享結果。	本題是教材課后作業改編，目的：加深學生對橢圓定義的理解與運用，學會用橢圓定義求曲線類型。 形象展現新舊知識的有機聯系，起到點題的作用。
歸納小結	【總結】 1.橢圓的定義； 2.焦點在X軸上的橢圓的標準方程。	學生小結歸納，不足的地方老師補充說明。	讓學生自己小結，不僅僅總結知識，更重要的是總結數學思想方法，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣。
作業與思考	【作業】1.教材P42  1，3，4 2.推導焦點在Y軸上的橢圓的標準方程 【思考】a,b,c的幾何意義？		既起到鞏固新知的作用又為下次課做好鋪墊。
結束	最后用雨果的一句話結束本節課的學習：人并不是只是一個圓心的圓圈；它是一個有兩個焦點的橢圓，事物是一個點，思想是另一個點。		數學課不僅要注重智慧的獲得，還要注重情感的發現。

六、目標檢測設計
   《課標》要求“教師要創造適當的問題情境，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程”
    教學中通過：學生直觀感知生活中的橢圓圖形；親自動手實驗畫出圓與橢圓；教師逐步引導從實驗中提取不變量，從圓定義出發用類比的方法得出橢圓定義并引導學生完善定義；在標準方程的化簡中對比不同化簡方法的優劣；遇到困難時的鼓勵和引導；發現問題解決方法時的表揚和肯定，來完成本節課的三大教學目標。
 
 

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