視頻標簽：橢圓及其,標準方程

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視頻課題：人教A版高二數學選修2-1第二章《橢圓及其標準方程》湖南省 - 益陽

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高二數學人教版選修２－１ 
《橢圓及其標準方程》教學設計  
               
一、 教學內容分析 
  《橢圓及其標準方程》是全日制普通高級中學教科書（選修2-1）數學第二
章《圓錐曲線與方程》第一節第三課時內容。本節在教材中的地位和作用：是圓錐曲線的基礎，學生并不清楚這種曲線的本質，隨著學生數學知識的逐漸完備，要學會探討這個問題的能力。從本節來講，一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的強化。另一個方面，也是圓錐曲線研究的開始，本節對以后的雙曲線和拋物線定義的研究，有著至關重要的作用。 
二、學生學習情況分析 
學生已經學習了圓的定義和圓的方程，曲線與方程，具備一定的分析、觀察等能力。在此之前，學生已經熟練掌握由圓的定義寫方程，對生活中的橢圓比較熟悉，為了找出與圓不同的地方，迫切需要學習橢圓的本質特征。但是在動手操作與合作學習等方面，發展不均衡，有待加強。 
三、設計思想 
為了培養不僅能“學會”知識，而且能“會學”知識的人才以及根據“創設情景、激發情感、主動發現、主動發展”的教學模式，在課堂設計上，教師應學會如何創設情景，激發學生學習的興趣；圍繞教材的重難點，比如本節的橢圓定義與標準方程的推導，教師應學會如何設計不同的活動環節，設置由淺入深、環環相扣的問題，通過教師適時的引導，通過生生間、師生間的交流互動，通過學生自己的發現、分析、探究、反思，使學生真正成為學習的主人，不斷完善自己的知識體系，提高獲取知識的能力，嘗試合作學習的快樂，體驗成功的喜悅。 
四、教學目標 
1．理解橢圓的定義，會根據定義判斷 軌跡是否為橢圓。 2.通過探究橢圓的標準方程的求法， 
3.營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學。引導學生用運動變化的觀點發現問題、探索問題、解決問題，培養學生的創新意識，體會數學的簡捷美、和諧美。培養合作學習的意識，體會成功帶來的喜悅。發展數學應用意識，認識數學的應用價值。 
五、教學重點和難點 
教學重點: 體會橢圓的形成過程，掌握橢圓的標準方程及其推導方法。 
 
                    
             
                    
                            教學難點：橢圓標準方程的推導（尤其是遇到的根式化
簡的過程與方法）  
六、教學過程設計 
（一）設置情景，導入新課 
請大家先看一看，（播放幻燈片生活中的橢圓）你看到了什么形狀？ 
能把你看到的形狀勾畫出來嗎？ 你還有哪些生活經驗能生成橢圓？ 
手電筒也可以生成橢圓嗎，請大家注意觀察（出現橢圓與圓的形狀）   設計意圖：從行星軌跡到生活中的橢圓，學生在感嘆大自然的神奇的同時，激發了學習興趣。 
（二）引導探究，獲得新知 
師： 圓是怎樣生成的？如果我不小心把繩的兩端分開了，又能得到什么圖形？請大家在紙板上操作一下。 
設計意圖：不僅回顧了圓的定義，而且為如何畫橢圓奠定堅實基礎。 
師：認真觀察P點的運動過程，你們有什么發現？（利用幾何畫板軟件同步動態演示） 
生：       等于繩長，所以點P在運動時，這兩條線段的和始終等于繩長。 師：這位同學觀察很敏銳，直接抓住關鍵地方！ 師：那這樣畫出來的圖象是？ 眾生：橢圓。 
師：你能類比圓的定義得到橢圓的定義嗎 
定義：平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（ 大于    ）的點的軌跡叫做橢圓。 
師：很好！如果我們調整一下這兩個的位置，使得這兩個點的長度剛好等于繩長，會得到什么樣的圖形？大家再合作畫一次。 生：是一條線段。 
師：沒錯，我們得到的軌跡一條線段。 師：為什么是線段呢 
生：到這兩定點的距離之和相等等于繩長，筆只能在線段之間移動。 
師：非常好，那我們再調整一下這兩個點的長度，比繩長要大，能得到什么軌跡？ 生：畫不了，沒軌跡。 
師：現在我們來總結一下，你剛剛的作圖，調整兩點間的距離會得到不一樣的軌跡。 
 
                    
             
                    
                            生：繩長大于這兩定點的距離，是橢圓；等于兩點間的距離是線段；小于這個距離沒有軌跡。 
設計意圖：強調“在操作中促進學習”，體現數學實驗在學習數學中的應用價值，同時激發學生學習計算機知識的興趣。至此本節的難點得以突破。 活動設計給出三個實例，讓學生判斷。 
例1：(1)在平面內，若動點P到A（－3， ），B（3，0）的距離之和為8，則P點的軌跡是（ 橢圓 ）  
(2)在平面內，若動點P到A（－1， ），B（1，0）的距離之和為1，則P點的軌跡（   不存在  ） 
(3)在平面內，點P到A（－4，0 ）與到B（ 4，0 ）的距離之和為８，則P的軌跡為（線段AB） 
設計意圖強調“在操作中促進學習”，體現數學實驗在學習數學中的應用價值，同時再次通過數據和定義來判斷軌跡，至此本節的難點得以突破。 
活動設計 ：鞏固提升，讓學生先利用平面之間的關系找出兩線段的長度之和為定值且比兩定點的距離要長。 
（三）啟發引導，推導方程 
之前我們研究過圓及圓的標準方程，那么橢圓有方程嗎?如何推導橢圓的標準方程呢？讓學生進一步運用研究直線與圓的方程的方法——坐標法，去推導橢圓的方程。前兩節課我們也學習了求動點的軌跡方程的方法步驟，請學生回顧，并在本環節就按如下幾個步驟進行解決問題： 
1．建立直角坐標系，設出動點的坐標 我啟發學生類比求圓的方程的建系方法，建立適當的直角坐標系。學生可能會有如下幾種建系方案： 
方案1：以定點F1為原點，兩定點的連線為X軸； 方案2：以定點F2為原點，兩定點的連線為X軸； 
方案3：以兩定點的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸； 方案4：以兩定點的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸。 
  
方案１       方案２       方案３        方案4 2.寫出動點P滿足的集合 
這里我啟發學生根據橢圓的定義，寫出動點M滿足的集合，即： P＝｛M|│MF1│+│MF2│ =2a｝ 
如果學生有困難，可以安排進行小組討論交流。 3.坐標化 
 
                    
             
                    
                            引導學生在設點的基礎上,將前面得到的關系式用坐標表示出來。這里學生不會有太大的困難,絕大多數學生都能得到方程: 
     
移項再平方                                     即:                   
兩邊同時平方,得
)()(22222222caayaxca ∵0ca，∴022ca，令2
22bca 
則：2
22222baxaxb 
兩邊同時除以2
2ba, 
得到       )0(122
2
2babyax    圓的標準方程⑴ 
 它表示：① 橢圓的焦點在x軸上 
     ② 焦點坐標為F1（-c，0）、F2（c，0）  
     ③ 2
2
2
bca  
小結：這樣用坐標法推導出了橢圓的標準方程，也是求曲線方程的一般方法，總結步驟為：1、建系設點2、寫出動點滿足的集合3、列式4、化簡 
設計意圖：1、通過方程的推導，學會根據圖形的對稱性建立適當的坐標系，學會用解析的方法來解決問題，滲透數形結合的數學思想。培養學生的發現、探究、研究和計算能力； 
2、設置問題，引導學生獨立思考、使之成為知識的發現者； 
思考：當橢圓的焦點在y軸上時,它的標準方程是怎樣的呢? 學生經過觀察思考會發現，只要交換坐標軸就可以了，從而得到了焦點在Y軸上的橢圓的標
準方程：)0(122
22bab
xay          橢圓的標準方程⑵   
它表示:① 橢圓的焦點在y軸 
       ② 焦點是F1（0，-c）、 F2（0，c）       ③ 2
2
2
bca（四）拓展引申，對比分析
 
（五）應用實例，鞏固練習 
     例２：橢圓的兩個焦點的坐標分別是（－２，0）（２，0），橢圓過點Ｐ（５
２, 
３２
）求
橢圓的標準方程？且 ＰＦ１Ｆ２的周長是多少？。
  
  
 
   
  （周長為4+2   ） 
點評：求橢圓的標準方程的方法 
         （1）定位：焦點在x軸上，或是y軸上，確定方程形式 
（2）定量：根據關系式2
22cab確定22ab和 
練習1、已知橢圓  
  
  
 
    
  上一點P到橢圓的一個焦點F1的距離為3，則P到另一個焦
點F2的距離為(7),  
2、求適合下列條件的橢圓的標準方程 (1)a=  ,b=1,焦點在x軸上 
(2)焦點為        ,       且a=5. 思考： 
如右圖所示，C(2,0)為圓A：            半徑上一點，M在圓上，作MC的中垂線交AM于P，當M在圓上運動時，P的軌跡為？ 學生可獨立完成也可以合作交流。 (提示)∵PC+PA=PM+PA= R >AC，  ∴P點軌跡為橢圓。  
演示《幾何畫板》得出軌跡為橢圓。并且由 c=2,a=3,可得  
  于是Ｐ的軌跡方程為  
  
   
  . 
設計意圖著重培養學生分析、歸納等能力，用多媒體技術驗證軌跡，滲透信息技術的應用。設計意圖著重培養學生分析、歸納等能力，用多媒體技術驗證軌跡，滲透信息技術的應用。歸納小結，布置作業 
 
                    
             
                    
                            （六）我的收獲： 
（1）兩種類型的橢圓方程的比較（注意板書內容） （2）總結判斷焦點位置的方法。（看大小） （3）求曲線方程的方法：坐標法及其步驟 （4）數形結合、類比、方程、轉化與化歸 
（七）作業 １、預習例２  ２、書面作業：  
（１）課本４２面第２題  （２） Ｂ組第一題   
３、查找生活的橢圓并利用信息技術知識探究與橢圓有關的知識  七、板書設計 
九、教學反思 
導入可以更加形象，利用視頻導入更能激發學生的積極性，教學中的例題可以采用學生易錯題來講解，盡量使用教學平臺，比如利用智學網上的統計結果，給教與學一個直觀建議。

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