視頻標(biāo)簽：圓與方

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視頻課題：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《“圓與方”》北京市西城區(qū)

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《“圓與方”》北京市西城區(qū)展覽路第一小學(xué)

教學(xué)背景分析 
“圓與方”這部分內(nèi)容是學(xué)生在認(rèn)識(shí)了正方形、圓及其面積的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。它既與前面的內(nèi)容有密切的聯(lián)系，又是對(duì)前面知識(shí)的總結(jié)與提升。“圓與方”是學(xué)生第一次真正意義上將直線型圖形與曲線型圖形相結(jié)合，它既能使學(xué)生在探究過程中體會(huì)圖形的分割搭配之美，又能在視覺上有直觀的感受。 “圓與方”在中國(guó)文化中有著深厚的基礎(chǔ)，中國(guó)自古就有“天圓地方”之說，這體現(xiàn)了中國(guó)文化的中庸之道。生活中我們經(jīng)常可見建筑物、裝飾物中利用了圓與方的關(guān)系，產(chǎn)生的美妙效果，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。 
我翻閱了北師大版、蘇教版有關(guān)“圓”的教學(xué)內(nèi)容，這兩個(gè)版本的教材都只是在練習(xí)中出現(xiàn)了計(jì)算“正方形內(nèi)最大的圓的面積”的練習(xí)，可見這兩個(gè)版本的教材對(duì)于圓與方的內(nèi)容只是定位在能夠正確求出組合圖形的面積這樣的水平。而人教版教材安排了學(xué)生解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓的面積差這一實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程。教材之所以這樣安排，不僅僅是讓學(xué)生通過尋找圖形之間的聯(lián)系解決問題，更重要的是在解決具體問題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)更為一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。 
課前，我對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，設(shè)計(jì)了三道前測(cè)題。（1.計(jì)算圓的面積。2.畫一畫寫一寫,找出下面圖形之間的聯(lián)系。3.試著求出圓中方中正方形的面積。） 
從前測(cè)的結(jié)果可以看出，100%的學(xué)生能正確求出圓的面積，近83%和37%的學(xué)生能正確指出方中圓、圓中方中的圖形關(guān)系，只有13%的學(xué)生能正確求出圓內(nèi)最大正方形的面積。 
可見學(xué)生對(duì)圓與方的認(rèn)識(shí)，更多的只是停留在對(duì)單一圖形的直觀認(rèn)知上，不能用聯(lián)
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系的眼光去看待這兩個(gè)圖形，并找到兩個(gè)圖形之間的關(guān)系。尤其對(duì)于圓中方，基于學(xué)生原有的思維定式，不能將找到的聯(lián)系合理運(yùn)用來解決問題。對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，應(yīng)設(shè)計(jì)什么樣的教學(xué)活動(dòng)來突破難點(diǎn)，完善學(xué)生的認(rèn)知呢？是否可以通過學(xué)生的動(dòng)手操作使其對(duì)圖形之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)有所感知呢？所以我設(shè)計(jì)了請(qǐng)學(xué)生在圓上找點(diǎn)連線組成與圓有聯(lián)系的新圖形的活動(dòng)，學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷了不斷調(diào)整的探究過程，由最初的無意識(shí)連接圖形到逐漸去尋找聯(lián)系，根據(jù)聯(lián)系來連接新圖形，使學(xué)生對(duì)圖形之間的聯(lián)系有了更深層次的理解。 
問題解決是一種在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中形成的數(shù)學(xué)能力。這種數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)必須著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素質(zhì)之一。通過五年級(jí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了問題解決的基本步驟，會(huì)用“閱讀與理解”、“分析與解答”、“回顧與反思”的思路去思考問題，解決問題。那么在本節(jié)課的教學(xué)中，怎樣才能使學(xué)生在問題解決方面有新的發(fā)展呢？我設(shè)計(jì)了在“閱讀與理解”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)既關(guān)注文字信息同時(shí)也關(guān)注圖形中所蘊(yùn)含的信息，使學(xué)生理解信息更全面。“回顧與反思”環(huán)節(jié)中通過回顧問題解決的全過程，引導(dǎo)學(xué)生猜想驗(yàn)證，在反思中得出一般性地規(guī)律。 
 教學(xué)目標(biāo) 
1.學(xué)生在“方與圓”的問題情境中，發(fā)現(xiàn)正方形和圓面積之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，激發(fā)學(xué)生自主探究的欲望。 
2.通過觀察，操作，猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷問題解決的全過程，積累問題解決的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力。 
3．學(xué)生在解決問題的過程中，進(jìn)一步感受平面圖形學(xué)習(xí)的價(jià)值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。  
教學(xué)重點(diǎn) 
教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷問題解決的全過程，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)。 
教學(xué)難點(diǎn) 
教學(xué)難點(diǎn)：探究圖形之間的關(guān)系，得出一般性規(guī)律。
 
教學(xué)過程（文字描述） 
設(shè)計(jì)意圖 
 
                    
             
                    
                             
 
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問：有什么困難？ 正方形的邊長(zhǎng)不知道，找不到正方形邊長(zhǎng)與圓之間的關(guān)系。 B.小組討論后獨(dú)立解答。 
（提示：看看能不能添加輔助線，找找圖形之間的關(guān)系。） C．交流 
展示學(xué)生的圖和做法。 
對(duì)比畫輔助線的不同方法，他們的共同之處是什么？ 
（畫輔助線，分割圖形，找到圖形之間的聯(lián)系或分割成三角形來計(jì)算正方形的面積。） 
小結(jié)：這幅圖，正方形的邊長(zhǎng)與圓之間沒有直接的關(guān)系，通過畫輔助線的方式找到圓與正方形之間的聯(lián)系，抓住聯(lián)系就確定了計(jì)算圓和正方形面積的核心要素。 3.回顧與反思。 
（1）師：同樣是圓與方組合的圖形，為什么第一幅圖同學(xué)們很順利解答，而第二幅卻遇到了困難？困難是什么？我們?cè)趺唇鉀Q的？ 
這兩個(gè)問題在解決方法上，有什么相同的地方嗎？ A都是找到圖形之間的聯(lián)系解決問題，如果不好找聯(lián)系，可以試著畫出輔助線來幫助思考和解決。 
B都是用大面積減小面積的方法去求陰影部分面積。 （2）探究一般性規(guī)律。 
師：剛才我們解決了半徑是1米時(shí)，正方形與圓面積差的問題，對(duì)于這個(gè)問題是否可以繼續(xù)研究？  
 
干預(yù)學(xué)生，小組內(nèi)解決困難。 
 
 
引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注通過添加輔助線，尋找圖形之間的聯(lián)系。  
     
第一次反思：對(duì)問題解決本身的回顧反思。       
 

預(yù)設(shè)：猜想半徑發(fā)生變化，面積差是否會(huì)變呢，會(huì)怎么變呢？ 問：我們可以怎么研究？ 預(yù)設(shè)：1、設(shè)數(shù)  2、設(shè)字母 
小組合作：算算當(dāng)r=2、3、4、5時(shí)，S=？面積差變了嗎？發(fā)生了怎樣的變化？ 你發(fā)現(xiàn)什么了？ 學(xué)生匯報(bào) 預(yù)設(shè)： 
A：面積差隨著半徑增大而增大 
B：縱向觀察，半徑為2時(shí)，面積差是半徑為1時(shí)的4倍，半徑為3時(shí)，面積差是半徑為1時(shí)的9倍„„ C：用字母研究：4r2-πr2=0.86r2 
師：得到什么結(jié)論？（不論半徑是幾，面積差都是半徑平方的0.86倍。） 
驗(yàn)證結(jié)論（用r=2、3、4......代入字母表達(dá)式中驗(yàn)證結(jié)論）  
小結(jié)：我們利用圖形之間的聯(lián)系解決了課前的困難，發(fā)現(xiàn)陰影面積等于半徑平方的0.86倍，看來不論半徑是幾，利用這個(gè)規(guī)律都可以很快得到面積之差。 
（3）課下自主解決圓中方圖形中陰影面積的規(guī)律。 三、欣賞圓與方的文化。 出示圖片欣賞。 
四、全課總結(jié)，認(rèn)識(shí)升華。 
談收獲。（知識(shí)的、研究方法的、問題解決的過程） 
第二次反思：對(duì)問題進(jìn)行深層次探究。             
   
培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。 
 

師：正方形與圓之間還有許多值得探究的問題，同學(xué)們可以在課下繼續(xù)研究。
 
反思 
“圓與方”這部分內(nèi)容是人教版新增加的例題，以往這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)一般都是以練習(xí)的形式進(jìn)行，目的只定位在能夠正確求出組合圖形的面積這樣的水平。人教版教材安排了學(xué)生解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓的面積差這一實(shí)際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程。教材的安排不僅僅是讓學(xué)生通過尋找圖形之間的聯(lián)系解決問題，更重要的是在解決具體問題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)更為一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。 
一、注重學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng) 
問題解決是一種在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中形成的數(shù)學(xué)能力，這種數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)必須著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素質(zhì)之一。通過五年級(jí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了問題解決的基本步驟，會(huì)用“閱讀與理解”、“分析與解答”、“回顧與反思”的思路去思考問題、解決問題。那么本節(jié)課的教學(xué)可以使學(xué)生在問題解決方面有哪些新的發(fā)展呢？在“閱讀與理解”環(huán)節(jié)，可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)既關(guān)注文字信息同時(shí)也關(guān)注圖形中所蘊(yùn)含的信息，使學(xué)生理解信息更全面。“回顧與反思”環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了引導(dǎo)學(xué)生回顧問題解決的活動(dòng)。同時(shí)對(duì)于題目的回顧與反思不僅僅停留在對(duì)解決問題方法的總結(jié)上，而是拓展提升，引導(dǎo)學(xué)生從這道題拓展到探尋“半徑發(fā)生變化后面積差會(huì)如何變化，面積差與圓之間會(huì)存在什么樣的規(guī)律”。這樣的設(shè)計(jì)使簡(jiǎn)單內(nèi)容的研究更深入，在研究中學(xué)生得到解決這一類問題的普遍規(guī)律，學(xué)生的“回顧與反思”更有價(jià)值也更有深度了。    
 
                    
             
                    
                             
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二、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)困難，適時(shí)干預(yù)，建立關(guān)聯(lián)。 
學(xué)生對(duì)圓與方的認(rèn)識(shí)，更多的只是停留在對(duì)單一圖形的直觀認(rèn)知上，不能用聯(lián)系的眼光去看待這兩個(gè)圖形，并找到兩個(gè)圖形之間的關(guān)系。尤其對(duì)于圓中方，基于學(xué)生原有的思維定式，很難找到圖形之間的聯(lián)系并合理運(yùn)用來解決問題。 
教師采取了在“方中圓”這個(gè)簡(jiǎn)單問題的處理過程中幫助學(xué)生提煉解題關(guān)鍵點(diǎn)---就是找到圖形之間的聯(lián)系，并轉(zhuǎn)化為組合圖形的面積計(jì)算方法來計(jì)算。力求幫助學(xué)生掃清學(xué)習(xí)的障礙，分散教學(xué)的難點(diǎn)。在后面解決“圓中方”問題時(shí)，對(duì)于學(xué)生的困難適時(shí)干預(yù)，并采用小組合作、討論來解決問題。隨后教師通過對(duì)兩道題目解決問題過程的回顧，組織學(xué)生對(duì)比反思，探尋出現(xiàn)困難的原因及解決困難的策略。 
三、欣賞生活中的數(shù)學(xué)之美。 
“圓與方”是學(xué)生第一次真正意義上將直線型圖形與曲線型圖形相結(jié)合，它既能使學(xué)生在探究過程中體會(huì)圖形的分割搭配之美，又能在視覺上有直觀的感受。在課堂中適時(shí)出現(xiàn)生活中的一些蘊(yùn)含圓與正方形組合的圖片，從生活引入，把生活現(xiàn)象抽象出數(shù)學(xué)圖片，聯(lián)系生活實(shí)際學(xué)數(shù)學(xué)。在課的最后適時(shí)拓展圓與方的文化內(nèi)涵，了解中國(guó)自古就有“天圓地方”之說，建筑物、裝飾物中利用了圓與方的關(guān)系產(chǎn)生的美妙效果，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)之美。

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