視頻標(biāo)簽：相似三角形判定,定理的證明

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)4.5《相似三角形判定定理的證明》甘肅省 - 白銀

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第四章  圖形的相似 
4.5* 相似三角形判定定理的證明 
 
一、學(xué)情分析 
在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的定義，并探索了相似三角形相似的條件，但未對(duì)其進(jìn)行證明。本節(jié)課證明相似三角形判定定理的要重點(diǎn)用到是“平行線分線段成比例定理及其推論”，學(xué)生已在之前詳細(xì)的學(xué)習(xí)，并能靈活運(yùn)用。難點(diǎn)在于輔助線的添加，對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。另外本節(jié)課還用到很多的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)學(xué)生的要求比較高。 
二、教學(xué)目標(biāo)    知識(shí)與技能： 
學(xué)會(huì)證明相似三角形判定定理，并理解其證明過(guò)程 
過(guò)程與方法： 
通過(guò)師生合作、生生合作，在教師引導(dǎo)下完成證明，并體驗(yàn)所運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、類比等，領(lǐng)悟輔助線的添加辦法。 
   情感態(tài)度與價(jià)值觀： 
       通過(guò)交流合作，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作的精神和意識(shí)，逐步突破，完成證明，
感受成功帶來(lái)的喜悅，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，敢于挑戰(zhàn)的勇氣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 
三、教學(xué)過(guò)程 （一）：復(fù)習(xí)引入 
1.設(shè)問(wèn)：在上節(jié)課中，我們通過(guò)類比兩個(gè)三角形全等的條件，從條件最少出發(fā)，依次探究了三角形相似的條件，并進(jìn)行了一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用，不知道同學(xué)們掌握的如何？首先來(lái)看一道題目。 
  
小試牛刀 
     
已知：如圖，在 △ABC 和△A'B'C' 中， 
（1）當(dāng)∠A = ∠A'時(shí)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ABC ∽△A'B'C'． 
（2）當(dāng)             時(shí)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ABC ∽△A'B'C'． 2.一起來(lái)總結(jié)一下相似三角形的判定方法有哪些？ （1）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 
（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似 （3）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 
（說(shuō)明：通過(guò)復(fù)習(xí)，回顧上節(jié)所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的熱身，為本節(jié)課的證明做鋪墊。） 
3.然而，這三種判定方法都沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)格的證明，本節(jié)課我們將對(duì)它們一一證明。 （板課題，看目標(biāo)） 
（二）探究新知 
第一環(huán)節(jié)  證明兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 
1、先來(lái)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。如何對(duì)文字命題進(jìn)行證明？首先
要干什么？ 
（畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知，求證） 第一步：教師畫(huà)圖 
C'
A'
A
BC
B'
 
第二步：引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出已知，求證。 
已知：如圖，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。 求證: △ABC∽△A’B’C’。 
2、想一想，目前證明兩個(gè)三角形相似的方法有什么？（只有定義）所以證
A′ 
B′ 
C′ B 
C A 
 
'
'''C
AACB
AAB
                    
             
                    
                            明兩個(gè)三角形相似只能依靠定義來(lái)證。還記得相似三角形的定義嗎？ （說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生明確證明的依據(jù)，并復(fù)習(xí)相似三角形的定義：三角對(duì)應(yīng)相等、且三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形） 3、根據(jù)定義來(lái)證明兩個(gè)三角形相似，必須得證什么？ 
（說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生分析，根據(jù)定義證相似，必須證明兩個(gè)三角形的“三角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例”，并明確兩者缺一不可） 
4、根據(jù)定義思考，先看已經(jīng)具備了什么條件， 還需要什么條件？你有什么想法？ 
（引導(dǎo)學(xué)生思考，容易得出“三角對(duì)應(yīng)相等”，只需再證“三邊對(duì)應(yīng)成比例”即可，此處讓學(xué)生回答） 
5、想一想，證明線段成比例的方法有哪些？ 
（說(shuō)明：復(fù)習(xí)平行線分線段成比例定理及其推論，并討論其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：作比的線段在同一條直線上） 
圖二
圖一
A
B
C
D
E
F
E
DCB
A
c
ba 
6、要證的兩個(gè)三角形不具備上述特點(diǎn)，應(yīng)該怎么辦？ 
（說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生用“移”的辦法轉(zhuǎn)化，如圖，最終得出三邊對(duì)應(yīng)成比例） 
(A'
)C'
AB
C
B'(C')
A'
A
B
CB'
 
7、“移”的過(guò)程能用尺規(guī)完成嗎？能不能只移一次？ 
（說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生最終完成輔助線的添加，并完成證明） 
 
                    
             
                    
                            C'
A'
A
B
C
E
DB'
C'
A'
A
B
C
F
E
DB'
 
8、總結(jié)證明思路 
 首先構(gòu)造與△A’B’C’全等的三角形ADE，再證明△ADE∽△ABC，最后利用傳遞性得出△△A’B’C’∽△ABC。證明相似的主要辦法是利用了平行線分線段成比例定理。（證明過(guò)程課下自行完成） 
第二環(huán)節(jié)  證明兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似 1、接下來(lái)證明第二條判定，仍然是先畫(huà)出圖形、寫(xiě)出已知求證。 
C'
A'
A
BC
B'
 
2、設(shè)問(wèn)：只能依靠定義來(lái)證明嗎？ 
（說(shuō)明：旨在引導(dǎo)學(xué)生思考，除了定義，也可以用剛才證明的判定定理，從而滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并未簡(jiǎn)化證明做鋪墊） 3、能類比剛才的做法嗎？ 
（學(xué)生獨(dú)立思考，教師畫(huà)圖，分析證明思路，討論證明方法的可行性） 4、發(fā)現(xiàn)證明DE∥BC比較困難，應(yīng)該怎么辦？ 
（學(xué)生獨(dú)立思考，并交流作答。會(huì)產(chǎn)生兩種證法：證法一、 先構(gòu)造與△A’B’C’全等的三角形ADE，再用反正法證明DE∥BC；證法二、 先再AB上截取AD= A’B’，先過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，再證明△A’B’C’≌△ADE。顯證明然，證法二是在
 
                    
             
                    
                            發(fā)現(xiàn)證明DE∥BC比較困難時(shí)比較好的一種選擇，既然證明DE∥BC比較困難，不妨先讓其平行，這是一種常見(jiàn)的解題思路） 
5、總結(jié)證明思路 
（三）鞏固練習(xí) 
類比前兩個(gè)判定定理的證明，獨(dú)立完成第三個(gè)判定的證明，并交流做法 
(四)課堂小結(jié) 
談收獲：（1）證明思路（2）思想方法 
（五）布置作業(yè) 
課后習(xí)題第4小題 
（六）教后反思 
本節(jié)課為北師大版九年級(jí)上第四章第五節(jié)內(nèi)容，要求學(xué)生將已有的全等三角形的判定方法，相似三角形的定義，平行線分線段成比例等知識(shí)儲(chǔ)備靈活運(yùn)用，經(jīng)歷從特殊到一般，從猜想-實(shí)踐-證明的過(guò)程，感受圖形世界的豐富多彩，體會(huì)數(shù)學(xué)類比的思想方法，并學(xué)會(huì)選擇最優(yōu)方法進(jìn)行問(wèn)題的解決。是不可多得的訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一節(jié)好課。整個(gè)課堂下來(lái)，給學(xué)生思考的時(shí)間還是太少。 

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