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視頻標簽：三角形內角和,定理的證明
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版八上第七章第五節7.5三角形內角和定理的證明-陜西省 - 榆林
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北師大版八上第七章第五節7.5三角形內角和定理的證明-陜西省 - 榆林
教學目標
教學知識點:三角形內角和定理的證明。
能力訓練要求:掌握三角形內角和定理,并初步學會利用輔助線證明,同時培養學生觀察、猜想、和論證能力。
情感與價值觀要求:通過新穎、有趣的實際問題,來激發學生的求知欲。
2學情分析
(1)學生已經接觸過三角形內角和定理,并且進行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內角和定理提供了認知基礎。
(2)從學生的學習動機與需要上看,他們有探究新事物的欲望和好奇心,這為探究三角形內角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。
(3)學生在學習三角形內角和定理的證明過程中,其認知順序可能是建構型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式,他們利用原有圖式完全可以同化三角形內角和定理。
3重點難點
教學重點:三角形內角和定理的證明思路及應用。
教學難點:三角形內角和定理的證明方法。
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】創設問題情境
我們在七年級曾經把一個三角形的三個內角撕下來拼在一起得到一個平角,由此得到三角形的內角和是180°。
教師指出:這只是實驗得出的命題,不能當做定理,只有經過嚴格的幾何證明,證明命題的正確性,才能作為幾何定理,今后,在幾何里,常采用這種方法得到新知識。
那么如何證明此命題是真命題呢?能否用學過的舊知識作平行線,利用平行線的性質來證明呢?
(設計說明:從學過的知識引入符合學生的認知規律,且小學已知三角形三個內角和是180°。)
活動2【活動】學生自主探究
學生回憶證明一個命題的步驟:
①畫圖
②分析命題的題設和結論,寫出已知求證,把文字語言轉化為幾何語言。
③分析、探究證明方法。
(設計說明:有本章前面幾節作為基礎,學生有能力畫圖,寫已知,求證。)
活動3【導入】創設問題情境
教師引導:要證三角形三個內角和是180°,觀察圖形,三個角間沒什么關系,能不能象前面那樣,把這三個角拼在一起呢?拼成什么樣的角呢?
學生思考與180°有關的角后回答,可拼成:①平角,②兩平行線間的同旁內角。教師引導,要把三角形三個內角轉化為上述兩種角,就要在原圖形上添加一些線,這些線叫做輔助線,在平面幾何里,輔助線常畫成虛線,添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個角轉化為平角或兩平行線間的同旁內角呢?下面同學們利用準備好的三角形紙片拼一拼,畫一畫。
(設計說明:聯想前面撕角拼角的方法,學生能想到。讓學生體會轉化的數學思想方法,把新知識化為舊知識。)
活動4【活動】學生自主探究
學生通過自主探究,可以得出以下幾種輔助線的作法:
如圖1,延長BC得到一平角∠BCD,然后以CA為一邊,在△ABC的外部畫∠1=∠A。
如圖1,延長BC,過C作CE∥AB
如圖2,過A作DE∥AB
如圖3,過C作CD∥AB。
如圖4,在BC邊上任取一點P,作PD∥AB,PE∥AC。
學生可能還有其它畫法。
圖1
(設計說明:
學生通過觀察分析、歸納,使思維達到高潮,由感受性認識上升到理性認識。
請不同畫法的學生板演,并口述畫圖方法,敘述不恰當時,同學可改正,
畫法4,部分學生可能想到。)
活動5【活動】辨析與研討
通過以上分析、研究,讓不同做法的學生講解依據。
1、根據平行線的判定及性質,利用同位角把三角形三內角轉化為一個平角。
2、根據平行線的性質,利用內錯角和同位角,把三角形三內角轉化為一個平角。
3、根據平行線的性質,利用內錯角,把三角形三內角轉化為一個平角。
4、根據平行線的性質,利用內錯角把三角形三內角轉化為兩平行線間的同旁內角。
5、根據平行線的性質,利用內錯角、同位角或同旁內角把三角形三內角轉化為一個平角。
(設計說明:進一步搞清作輔助線的思路和合乎邏輯的分析方法,充分讓學生表述自己的觀點,這個過程對培養學生的能力極為重要,依據不充分,學生可爭論。)
活動6【活動】學生自主探究
根據以上幾種輔助線的作法,選擇一種,師生合作,寫出示范性證明過程。其余由學生自主完成證明過程。
(設計說明:目的是培養學生的思維能力和推理能力。)
活動7【活動】反思與評價
1、弄清證明命題的必要性及步驟。
2、如何將文字語言轉化為幾何語言。
3、三角形內角和定理的證明是借助于什么獲得(實驗、觀察、添加輔平行線),平行線是以后幾何中常作的輔助線。
4、添輔助線的技巧:通過平行線把三角形三個內角轉化為平角或兩平行線間的同旁內角,即把新知識轉化為舊知識去解決。
(設計說明:引導學生進行總結和概括,培養學生的歸納概括能力。)
活動8【講授】例題講解
例1:△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC邊上的高,如圖,求∠DBC的度數。
學生自主探索,教師巡視、診斷,不同解法的學生板演,學生辨析。
(設計說明:使學生靈活應用三角形內角和定理。用代數方法解決幾何問題(方程思想)是重要的方法。)
活動9【練習】思維拓展與練習
1、已知△ABC中,DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°, 求證:∠ADE=50°
2、△ABC中,∠A=n°,∠ABC、∠ACB的平分線交于點O,求證:∠BOC=90°+ n°
(設計說明:進一步使學生靈活應用三角形內角和定理。)
活動10【作業】課后作業
把三個內角集中在一起有很多種方法,下面提供其中的兩種,課后寫出證明方法。
(設計說明:拓展學生的思維。)
活動11【活動】課堂小結
我們證明了一個很有用的三角形內角和定理,證明思想是,運用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內角集中在一起,拼成一個平角。輔助線是聯系命題的條件和結論的橋梁,今后我們還要學習它。
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