視頻標簽：函數(shù)模型,應用實例

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學人教A版必修一3.2.2 函數(shù)模型的應用實例

教學設計、課堂實錄及教案：高中數(shù)學人教A版必修一3.2.2 函數(shù)模型的應用實例

1、 指導思想 
    《普通高中數(shù)學課程標準》在“課程的基本理念”部分指出： 
發(fā)展學生的數(shù)學應用意識.通過三個經(jīng)濟問題，學生體會財經(jīng)素養(yǎng)是最大的財富，經(jīng)歷“數(shù)學建模”的過程，總結(jié)函數(shù)建模的方法. 
注重信息技術與數(shù)學課程的整合.本節(jié)課學生使用CASIO圖形計算器進行函數(shù)擬合. 2、理論依據(jù) 
    本節(jié)課的理論依據(jù)是建構主義學習理論. 
建構主義學習理論強調(diào)以學生為中心，認為學生是認知的主體，教學活動的積極參與者、是知識意義的主動建構者.本節(jié)課在建構主義學習理論的指導下，教師通過創(chuàng)設符合教學內(nèi)容要求的情景和提示新舊知識之間聯(lián)系的線索，幫助學生建構新知識的意義；盡可能組織協(xié)作學習，展開討論和交流，并對協(xié)作學習過程進行引導，使之朝有利于意義建構的方向發(fā)展. 
2 
教學背景分析 
1、學習內(nèi)容分析 
本節(jié)課內(nèi)容出自《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學1必修(A版)》中第三章“函數(shù)的應用”3.2.2《函數(shù)模型的應用實例》. 
本節(jié)課是對基本初等函數(shù)性質(zhì)的延續(xù)和發(fā)展，同時總結(jié)了一些函數(shù)建模的方法：配對比較、函數(shù)擬合、構造新函數(shù)等，為以后的函數(shù)建模奠定了基礎.函數(shù)擬合要求學生能夠?qū)ΜF(xiàn)實情境中收集的數(shù)據(jù)進行觀察分析，選擇較為接近的函數(shù)模型，結(jié)合實際問題比較模型的優(yōu)劣，最后應用所選擇的模型解決實際問題.函數(shù)建模的方法和函數(shù)擬合的思想在現(xiàn)實生活中的應用非常廣泛. 2、學情分析 
（1）學生具備的認知基礎： 
①一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)； ②數(shù)、式、形三者相互轉(zhuǎn)化的初步意識； 
③會利用圖形計算器進行基本初等函數(shù)的函數(shù)擬合. （2）學生欠缺的知識和能力： 
①專業(yè)術語：比如整存整取、基準利率、通貨膨脹率等； ②判斷實際問題應該選用的函數(shù)模型和解決方法. 學生能夠應用圖形計算器解決簡單的數(shù)學問題。通過課前的問卷調(diào)查，從數(shù)據(jù)反映出來的狀況如圖所示： 
調(diào)查發(fā)現(xiàn)，我所授課兩個班的52名學生，35個學生（67.3%）能尋找到變量間確定的數(shù)量關系；42個學生（80.8%）第一題正確，有了初步的模型積累，能夠調(diào)用已有知識和現(xiàn)實問題對接；17個學生（32.7%）第二題全部正確，能夠比較靈活地進行三種語言的轉(zhuǎn)換；30個學生（57.7%）對應用題有畏難心理. 3、前期教學狀況、問題、對策 
    前期教學的狀況是：學生積累了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)模型，但不能有效對接具體情境；學生在專業(yè)術語、抽象符號、數(shù)學公式的解釋、三種語言的轉(zhuǎn)換、需要歸納和類比的內(nèi)容等方面存在著閱讀障礙4、教學方式：啟發(fā)式. 
5、教學手段：學習工作紙、ppt、圖形計算器. 
6、技術準備：多媒體設備、CASIO fx－CG20圖形計算器. 
借助圖形計算器的做圖功能，可以直觀的反映數(shù)據(jù)之間的關系；快速計算基本初等函數(shù)擬合的殘差平方和、相關系數(shù)等參數(shù)，為選擇合理函數(shù)模型提供依據(jù). 
 教學目標(內(nèi)容框架) 
根據(jù)課程標準，基于上述分析，我確定本課時教學目標如下： 知識與技能： 
1、 選擇合理的模型表達變量間的數(shù)量關系； 2、 會用函數(shù)擬合的方法解決實際問題； 
3、 嘗試根據(jù)散點圖的特征構造新函數(shù)，解決實際問題. 
過程與方法：經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程，體會配對比較、函數(shù)擬合等函數(shù)建模的方法. 
情感態(tài)度與價值觀：體會函數(shù)建模在經(jīng)濟生活中的應用價值.     根據(jù)教學內(nèi)容解析和學情分析，我確定本節(jié)課的教學重點和難點如下： 教學重點：利用函數(shù)擬合的方法解決實際問題. 教學難點：構造新函數(shù)，設計相應的擬合方案. 突破難點的關鍵在于對散點圖的圖形特征的觀察. 
教學過程(文字描述) 
教學流程圖  
 
 
配對比較 函數(shù)擬合 
基本初等函數(shù)擬合 
構造新函數(shù)擬合 
總結(jié)提升 
 

下面我將對每一階段教學中計劃解決的主要問題和教學步驟作出說明. （一）教育儲蓄 
例1：你的父母為你儲蓄一筆大學教育資金，第三年末取出.一年期整存整取的定期年利率為1.5%，三年期整存整取的定期年利率為2.75%.假設央行現(xiàn)行基準利率不變.現(xiàn)有二種方案供你選擇： 
方案一：選擇一年期整存整取，每年的年末將本金和利息取出后，馬上將之做為本金全部存入銀行.依次類推，直至第三年末； 
方案二：選擇三年期整存整取． 請問哪種投資方案好？ 
預設學生活動1：本息合計多的方案好；      預設學生活動2：資金提取靈活的方案好. 
解釋：整存整取、三年期整存整取. 
比較：哪種方案好？若從本息合計多的角度考慮，結(jié)果如下表所示，     
配對比較： 
方案1對應的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)，其增長方式為指數(shù)爆炸；方案2對應的函數(shù)模型是一次函數(shù)，其增長方式為直線上升. 
評價：這兩種儲蓄方式對現(xiàn)實生活的啟示？  
【設計意圖】建立模型時，如果能夠?qū)ふ业阶兞块g的確定的數(shù)量關系，那么調(diào)用模
型積累，進行配對比較. 
（二）美國宏觀經(jīng)濟 
家庭財富的增長除了合理決策之外，還和國家的宏觀經(jīng)濟形勢息息相關.市場經(jīng)濟發(fā)達的美國，它的宏觀經(jīng)濟情況如何呢？ 
例2：美國1999—2008年的通貨膨脹率和聯(lián)邦基準利率如下表所示： 通貨膨脹率% 4.13 4.86 1.90 2.20 1.77 1.81 4.06 3.96 4.31 1.07 美國聯(lián)邦基準利率% 
4.97 
6.24 
1.49 
1.67 
1.13 
1.35 
3.22 
4.67 
5.02 
1.02 
建立一個能基本反映這一時期內(nèi)，美國聯(lián)邦基準利率隨美國通貨膨脹率變化的函數(shù)模型. 解釋：什么叫通貨膨脹率上升？

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