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視頻標簽：直線與平面平行的判定
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版必修二第二章第二節2.2.1直線與平面平行的判定_安徽省優課
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人教A版必修二第二章第二節2.2.1直線與平面平行的判定_安徽省優課
平行關系的判定（第一課時）
【教材分析】
本節教材選自北師大版數學必修Ⅱ第一章第五節，本節內容在立體幾何學習中起著承上
啟下的作用，具有重要的意義與地位．之前的課程已學過空間點、線、面的位置關系及4個公理．結合有關的實物模型，通過直觀感知、合情推理、探究說理、操作確認，歸納出直線與平面平行的判定定理．本節課的學習對培養學生空間感與邏輯推理能力起到重要作用，特別是對線面平行的性質、面面平行的判定與性質的學習作用重大．
【學情分析】
通過前面課程的學習，學生對簡單幾何體的結構特征有了初步認識，對幾何體的直觀圖及三視圖的畫法有了基本的了解，對空間圖形的基本關系也有了大致的了解，初步具備了最樸素的空間觀念．由于剛剛接觸立體幾何不久，學習經驗有限，對高一年級的學生而言，學習立體幾何所應具備的語言表達能力及空間想象能力相對不足，他們從具體實例中抽象概括出問題的數學本質的能力相對欠缺，對判定定理的探索發現還存在一定的困難，需要教師的教學引導．
【教法分析】
新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發展的過程．
本節課的教學遵循從具體到抽象的原則，適當運用多媒體輔助教學手段，借助實物模型，通過直觀感知，合情推理，探究說理，操作確認，歸納出直線與平面平行的判定定理，將合情推理與演繹推理有機結合，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示直線與平面平行的判定定理、理解數學概念，領會數學思想方法，養成積極主動、勇于探索、自主學習的學習方式，發展學生的空間觀念和空間想象能力，提高學生的數學邏輯思維能力．
【教學目標】
1．知識與技能：
通過直觀感知——觀察提煉——操作確認的認識方法初步理解并掌握直線與平面平行的判定定理．初步掌握直線與平面平行的畫法并能準確使用數學符號語言、文字語言表述判定定理．培養學生觀察、探究、發現的能力和空間想象能力、邏輯思維能力．
2．過程與方法：
通過對空間直線與平面平行的判定定理的感知、提煉、論證以及應用的過程，培養學生發現規律、認識規律并利用規律解決問題的能力．
在定理的獲得和應用過程中進一步滲透化歸與轉化的數學思想，滲透立體幾何中將空間問題降維轉化為平面問題的一般方法．
3．情感態度價值觀：
通過本節課的學習，進一步培養學生從生活空間中抽象出幾何圖形關系的能力，提高演繹推理、邏輯記憶的能力．讓學生在觀察、探究、發現中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態度，提高學習的自我效能感．通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識．
【教學重點】
直線與平面平行的判定定理的初步理解和簡單應用
2
α a
【教學難點】
從具體情境發現并歸納出直線與平面平行的判定定理以及對定理的理解
【教學過程】
（一） 復習回顧、鋪陳蓄勢
【教學實錄】教師簡單回顧了之前學習的課程內容后，面向全體同學提出問題1：根據公共點的情況，空間中直線a和平面有哪幾種位置關系，并請一位學生代表上黑板作圖表示直線與平面的位置關系，其余同學在座位上同步完成．
接著，多媒體幻燈片展示了空間直線與平面的三種位置關系的三種語言表示．同時強調：我們把直線與平面相交或平行的位置關系統稱為直線在平面外，用符號表示為a． 引導學生回顧總結空間直線與平面的三種位置關系是按照直線與平面的公共點的個數來分類的．
直線在平面內的情形公理1已經解決，直線與平面相交的情形將在后續課程中研究，本節課我們將研究直線與平面平行這一位置關系．
面向全體同學提出問題2：根據直線與平面平行的定義（沒有公共點）來判定直線與平面平行你認為方便嗎？談談你的看法．帶領同學體會本節課學習的必要性，引出課題．
設計意圖：教學預設以生本教育觀為指導，充分尊重學生的學習主體地位．從建構主義理論來看，學生原有認知結構是新授課的基礎．本節課學生已有的知識儲備是直線與平面平行的定義．教學預設從數學學科內部發展的順序來說明本節課學習任務的確定，從數學學科內部發展的需要來引起認知沖突并說明本課學習的必要性，邏輯性強，利于知識系統的主動建構．
（二）列舉實例、直觀感知
面向全體同學提問：在日常生活中，哪些實例給我們以直線與平面平行的印象呢？ （師生充分交流，學生容易指出教室的日光燈與地面平行、黑板的邊緣與地面平行、足球場上球門的橫梁與足球場平行等等．）
設計意圖：使學生有充分的具體情境下的認知體驗，為后續內容做好鋪墊，引導學生學自己身邊的數學，學有用的數學．通過充分的直觀感知，努力促進學生空間觀念的構建．
列舉身邊的實例后，面向全體同學拋出問題1：單憑感覺可靠嗎？ （讓學生單憑直觀感覺，判斷直線a與平面α是否平行） 進而給出問題2：該怎樣判定直線與平面平行呢？
設計意圖：問題1是為了設置一個有爭議的情境，眼見不一定為實，進而調動學生的探究欲望．問題2是為下面動手操作、合作探究，發現判定定理作了一個引子，埋了一個伏筆．
（三）動態演示、抽象概括
從同學們列舉的日光燈的實例出發，學生容易發現如果將日光燈平穩．．下降，最終日光燈管會平穩．．
地落到地面內來，通過多媒體動態演示這一過程．將原來日光燈所在直線記作a，平移到地面（記作平面α）內之后記作直線b，同學們可以發現a//b（強調直線a，b沒有公共點）．
教師引導學生發現直線a與b沒有公共點．在平面α內平移b，得到直線c，不難發現a//c（強調直線a，c沒有公共點）．
緊接著，提出問題，直線a能與平面α內的無數條直線都平行嗎？（能）
3
符號語言：////abaab
圖形語言： 教師追問，直線a與平面α內的這無數條直線有公共點嗎？（沒有） 教師帶領全體同學思考一個問題：“反過來，直線a與平面α內的無數條直線都平行，則a與平面α平行嗎？”
（此處可能是需要突破的地方，視學生反應情況可以輔以幾何畫板軟件展示無數條直線無限細密地“鋪滿”平面．）
教師追問，直線a與平面內的無數條直線都平行，a與這些直線有公共點嗎？（沒有）
結合幾何畫板的展示過程，提問：直線a與平面α有公共點嗎？（沒有）
教師繼續追問：直線a與平面α沒有公共點意味著什么？（a//α）
教師充分肯定同學們的發現后，揭示數學本質：平面α內的任一點均在直線a的某條平行線上，于是，直線a與平面α沒有公共點，即a//α．
之后，教師追問：“需要平面外的直線a與平面α內的無數條直線都平行嗎？”（不需要�。┳穯枺�“幾條就可以了？”（一條�。� “為什么？”（平面內的無數條直線都可以通過平面內的一條直線平移得到）
教師此時可抓住時機，面向全體同學發問：大家能得到空間直線與平面平行的一個判定方法嗎？
定理5．1 （直線和平面平行的判定定理）平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線和此平面平行． （四）動手操作、實驗確認
接下來，教師引導學生通過動手實驗操作，進一步確認定理的正確性．
教師取出預先準備好的兩張矩形紙板板，請兩位同學走上講臺，將其中一個矩形的一邊放在另一個矩形上并轉動，觀察該矩形的對邊與另一個矩形所在平面的位置給人以平行的感覺，并能說明定理的正確性．教師引導一位同學將矩形折去一個角后，折痕所在直線與另一個矩形所在平面就不平行了．這樣，從反面驗證了定理的正確性．
進一步地，讓全體同學將課本按如圖所示的方式直立地放在桌面上，并借助多媒體動畫演示，引導學生探究思考書頁的邊緣所在直線與桌面、與另一張書頁所在平面的位置關系，進一步鞏固對定理的理解．
然后，請同學們考慮該定理用符號語言應當怎樣表述？并請一位同學上黑板板演，教師及時糾正．
經歷了前面的探究過程，學生不難指出該定理前提條件的三個關鍵詞：“平面外”、“平面內”、“平行”．
接下來，請同學們指出我們在“空間圖形的基本關系”一課中用圖形表示空間直線與平面平行的合理性．為防止學生因為思維定勢造成的負遷移，教師通過實物展示空間直線與平面平行的其它情形（將上圖中直線a，b作水平旋轉得到如圖所示的情形）．
4
強調只要在平面內找到一條．．
直線與平面外的直線平行即可． 最后，教師引導學生指出此處滲透的處理立體幾何問題的基本思想：將空間問題降維轉化為平面問題解決（線線平行線面平行）．
設計意圖：定理的發現與論證過程采用了“觀察模型—直觀感知—理性分析—抽象概括—操作確認—思考探究”的方式展開．新課程教材中回避了定理的理論證明，但考慮到數學的理性精神及良好的學情狀況，在定理的生成過程中仍然強調了“說理”．在教師的引導下，經過推理，定理生成．考
慮到學生主體未能直接動手操作，印象未必深刻．為此，設計了兩個學生活動，讓他們在動手操作中體會定理的正確性，給他們充分的思考時間與空間，讓他們主動建構新知．
定理生成后，①教師強調三種數學語言的轉化，利用判定定理反觀線面平行的圖形表示的合理性，并通過直觀演示，防止學生出現思維定勢；②教師及時給出關于直線與平面平行的兩個假命題，繼續從反面強調定理成立的三個要素缺一不可．以上的教學預設與生成都是從學生的最近發展區設計問題，幫助學生主動辨明定理的實質，教師在其中板演的角色仍然是一個組織者和引導者，學習的主體是學生． （五）定理運用、形成技能
（多媒體幻燈片演示） 想一想：
判斷下列命題的真假并說明理由：
①若一條直線不在平面內，則該直線與此平面平行（ ） ②若一條直線與平面內的無數條直線平行，則該直線與此平 面平行（ ）
③如圖，a是平面α內的一條給定的直線，若平面α外的直 線b不平行于直線a，則直線b與平面α就不平行（ ） （教師帶領全體同學辨析） 證一證：
已知空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，判斷并證明 EF與平面BCD的位置關系．
全班同學嘗試解答的同時，請一位同學上黑板解答，教師及時規范學生的答題，適時點評．師生共同總結出運用定理的關鍵是找線（平面內）線（平面外）平行．
面向全體同學提問，初中平面幾何中，我們學習了哪些判定直線與直線平行的方法？
（利用三角形的中位線、梯形的中位線、平行四邊形的對邊、平行線分線段成比例定理的逆定理、同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補„„）
教師可以順勢給出一個簡單的變式：如圖，將△ABD改為梯形BDHG，E、F分別是BG、DH的中點，判斷并證明 EF與平面BCD的位置關系．
最后，如果學情允許，給出如下的 操作思考：
如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P 是棱A1B1的中點，過點
5
P 畫一條直線使之與截面A1BCD1平行．
問題提出后，給學生足夠的時間充分討論，學生取BB1的中點，C1D1的中點得到畫法應該不困難．難點是取CC1的中點得到畫法．這里，到底講到什么程度，也應當視學情而定，尊重課堂教學的生成．
設計意圖：“想一想”的設置是為了進一步從反例出發促使學生對判定定理的準確理解．“證一證”是為了讓學生通過動手嘗試證明問題，掌握運用定理解決問題的一般方法，并進一步從實踐操作層面體會運用定理需滿足的三個要點缺一不可，學生經歷了解題過程后主動發現運用定理的關鍵是找平行線．“操作思考”更是借助一題多解關注不同層次的同學的不同發展需求，讓不同的同學獲得不同的發展． （六）收獲感悟、總結提高
先由學生口頭總結，然后教師歸納總結： （多媒體幻燈片展示）
一、直線與平面平行的判定定理； 二、證明直線與平面平行的方法； 三、運用判定定理時的幾個要點； 四、運用定理的關鍵：找平行線； 五、立體幾何的基本思想：化歸． （七）分層作業 共同進步
基本作業：1、如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD
上的點．若AEAF
ABAD
，判斷并證明EF與平面BCD的位置關系．
拓展提高：1、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的點，試確定點E的具體位置使AC1//平面BDE．
2、嘗試嚴格地證明直線與平面平行的判定定理．
附：板書設計
平行關系的判定
多媒體投影區域
直線與平面平行的判定
想一想
證一證
操作思考 小結 作業
反思與改進
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
