視頻標簽：冪函數

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教A版高中數學必修一2.3.1冪函數_天津市 - 濱海新區

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人教A版高中數學必修一2.3.1 冪函數_天津市 - 濱海新區

 
   課題：§2.3冪函數
一、教學內容及其解析           
（一）內容
教材內容是人教A版教材《數學（必修1）》2.3冪函數。
函數是刻畫一個變量隨著另一個變量的變化狀態，給出一個數集到另一個數集的對應關系，它是覆蓋面廣、有統率作用的概念。而基本初等函數（I）指數函數、對數函數、冪函數的概念與基本性質，又是為學習一般函數提供了方法和工具，在初中接觸了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等簡單的函數的又一次再認識過程。為后面的選修系列的導數及其應用的學習打下堅實的基礎。而冪函數的學習將一次函數、二次函數、反比例函數等形式的函數推向一個高度，研究一般形式函數性質的方法提供一種模型。
了解五種冪函數，體會建立和研究一個函數的基本過程和方法，同時會運用它們解決一些實際問題;體會研究問題從特殊到一般的過程。
（二）解析
教材將冪函數放在指數函數和對數函數之后,主要考慮到冪函數在以下幾方面的作用：第一，是冪函數在實際中的應用.第二，學生在初中已經學習了y=x、y=x2、y=x-1三個簡單的冪函數，對它們的圖象和性質已經有了一定的感性認識.現在明確提出冪函數的概念，有助于學生形成完整的知識結構.第三，冪函數是基本初等函數（Ⅰ）研究的最后一個函數，在指數函數和對數函數之后，冪函數的學習與探究過程可體現類比的學習方法，滲透分類討論數形結合的數學思想，培養歸納、概括的能力，并使學生進一步體會并掌握研究基本初等函數的一般思路與方法.
二、教學目標及其解析
（一）目標
1、能從五個具體冪函數中認識冪函數的一些性質，畫五個冪函數的圖象并由圖象概括其性質，培養學生的動手能力；
2、教學中通過冪函數中的變化，引起冪函數的圖象和性質的變化，體現變化的觀點，滲透學生辯證思維的方法；
3、引導學生在學習過程中能夠從個性中歸納出冪函數的共性，從整體上觀察、分析冪函數的圖象和性質，培養學生數學觀察能力。
（二）解析
遵循教師主導作用和學生主體地位相統一的教學原則，本節課采用引導發現式的教學方法達到提高教學效果和教學質量的目的。從教與學的實際情況出發在教學過程中深入挖掘課本資源，通過從生活情境中抽象出，，調動學生的學習興趣。整節課教學材料的選擇安排符合學生的認知規律，可以有效提高學生數學思維的參與度，幫助學生逐步學會思考。
圍繞本節課的教學重點，教學過程中以問題為驅動，逐層遞進，使學生對知識的探究由表及里，逐步深入。通過思考題，以“問題串”形式組織教學，通過探究，引導學生思考、歸納、總結。
例題、練習、變式題的設置從淺入深，課后作業分層設置為鞏固型、思維拓展型兩個階段，為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會。
三、教學問題診斷分析
1、在教學中學生首先遇到的困難可能就是高一學生雖然思維活躍，求知欲強，但在思維習慣上還有待引導。對函數的一般性質探究不完善，定義域、值域、單調性、奇偶性、定點問題沒有自主探究意識，需要老師引導。
2、在教學中學生可能遇到的另一個困難是冪函數性質的應用，特別是單調性的應用，比較大小選擇構造函數法，要分清是否是冪函數？是否是指數函數？是否是增函數？是否是減函數？
四、教學支持條件分析
在本堂課中,可以根據教學實際情況的需要，利用計算機或圖形計算器中的有關教學工具軟件幫助分析或思考下列有關問題：

1. 利用幾何畫板或圖形計算器畫出函數，，的各自圖象，再合在一個坐標系中，觀察圖像特征。
2. 利用幾何畫板或圖形計算器演示，隨著的正負變化，觀察圖形的變化，區分的圖形特征。

五、教學過程設計

• 問題情境

問題1首先請同學們寫出下列y關于x的函數解析式：
①正方形邊長x、面積y
②正方體棱長x、體積y
③正方形面積x、邊長y
④某人騎車x秒內勻速前進了1m,騎車速度為y
⑤某人購買了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支付的錢數y
問題2上面5個函數是否為指數函數？上述函數解析式有什么共同特征？（教師將解析式寫成指數冪形式，以啟發學生歸納）
共同特征：1.冪的形式         
          2.冪的底是變量
          3.冪的指數是常數
【設計意圖】從五個例子中抽象出，，這五個函數，觀察共同特征，培養學生歸納概括能力，從生活情境引入新知可以激發學生的學習興趣。教學過程中，冪函數的定義由學生自己發現并總結，同時在五個例子中得以應用，形成呼應。知識的形成并非強加給學生，而是讓學生自主發現探索，符合最近發展區原則。
 
（二）新課講解
1.冪函數的定義：一般地，函數 稱為冪函數（power function），其中是自變量，是常數。（對于冪函數，我們只討論   =1，2，3， ，-1時的情形。）
為了加深對定義的理解，請同學們做下面兩道練習題
1.①y=②y=2x²③y=x²+x④y=0.2^x⑤y=x⁰⑥y=1屬于冪函數的是________.
2.若函數是冪函數，則值為________.
規律總結①的系數為1     ②底數為單一的   ③指數是常數
【設計意圖】每個概念的理解都應從兩方面進行辨析,知道什么樣的函數是冪函數？什么樣的函數不是冪函數？冪函數的特征讓學生自己發現，自己總結，符合學生的認知心理，理解更深刻。
2.冪函數的圖象
我們已經對冪函數的概念有了比較深刻的認識，回憶我們前面學習的指數函數、對數函數，我們在得出定義之后，接下來需要研究什么內容了呢？（引發學生作圖研究函數性質的興趣）
在初中我們已經學習了冪函數,-1的圖象和性質，請同學們在坐標系（1）中畫出它們的圖象。（學生先畫教師利用多媒體展示）
（1）.函數的圖像

 
 
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 
                                     （1）                                                         
根據你的學習經歷，你能畫出函數的圖象嗎？（讓學生回憶基本作圖方法描點法）下面請同學們填完表格，然后分別在坐標系（2）和坐標系（3）中作出這兩個函數圖像。（學生作圖，教師巡視。教師利用多媒體演示,。）
 

x	y
-1.5	-3.375
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5	3.375

（2）.的圖像
 
 
                                                   
 
 
                                                
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
（3）.的圖像

x	y
0
0.5	0.707
1
1.5	1.225
2

             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
為了便于研究它們的性質，下面我們把這5個圖像放在同一坐標系中。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.冪函數的性質
觀察函數^-1的圖象，將你發現的結論寫在下表內。（小組討論解決）

函數					-1
定義域
值域
奇偶性
單調性
公共點

 
思考：觀察五個冪函數的圖象和上面的表格，你能發現它們的性質有哪些異同點嗎？
（1）.函數^-1圖象都通過點(1,1)；
（2）.函數是偶函數,函數是奇函數；
（3）.在區間(0,+∞)上，函數是增函數，^-1是減函數；
（4）.在第一象限內,函數^-1圖象向上與Y軸無限地接近,向右與X軸無限地接近。
【設計意圖】借助多媒體工具輔助教學，強化對于冪函數性質的理解，實現數與形的結合。作圖方法步驟及結果的呈現，為學生提供一種規范的解題作圖思路和具體操作方法，做到事事有章可循，從而培養學生嚴謹的思維方式。
4.性質的應用
下面我們一起來嘗試冪函數性質的簡單應用
已知冪函數，求它的定義域，指出其奇偶性，單調性.

【設計意圖】本環節強化了學生活動，由冪函數定義得到m=0，通過類比研究函數的一般性質：定義域、值域、單調性、奇偶性、定點等問題，學生自主作圖得到函數圖象的過程完全讓學生完成，從而體現學生的主體地位，在學生參與的過程中，教師要適時表揚，適時提出新的問題，激發學習興趣，培養學生嚴謹的科學習慣。
 
典型例題
例1．
用定義證明函數的單調性的步驟:
(1).  設x1, x2是某個區間上任意二值，且x1＜x2;
(2).  作差 f(x1)－f(x2)，變形
(3).  判斷 f(x1)－f(x2) 的符號
(4).  下結論.

 
 

                                            
 
 

 
 

 
 
 

規律總結：若給出的函數是有根號的式子,往往采用有理化的方式
 
例2：比較下列各組中值的大小，并說明理由：
（1）1.1^0.5，1.4^0.5（2）（-3.14）^-1，（3）1.4^0.5，1.4³
【設計意圖】比較冪值大小關鍵看是指數相同還是底數相同，若指數相同利用冪函數的性質，若底數相同利用指數函數的性質。
（三）當堂達標：
1下列函數中不是冪函數的是                                (    )
A.           B.             C. y=2x        D.y=x^-1
2. 如圖所示，曲線是冪函數在第一象限內的圖象，已知分別取四個值，則相應圖象依次為：          
3.若冪函數y=f(x)的圖像經過點，則f(25)=______________
4.比較下列各組數的大小：
（1）0.75_____ 0.76
（2）（-3.14）²_____
5. 冪函數y=(m-m-1)x在區間上是減函數，求m的值為____________.
 (四)小結：今天的學習內容和方法有哪些？你有哪些收獲和經驗？（先讓學生總結，教師補充強調）
內容：冪函數的定義、圖象與性質及性質的應用；
重點: 冪函數的圖象與性質,冪的大小比較；

（五）布置作業：
【設計意圖】課后作業分層設置為A組鞏固型、B組思維拓展型兩個階段，為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會。
A組：
1.已知是冪函數，則_____,______
2.已知冪函數的圖象經過點（9， ），則            .
 
3.若<0，則的大小關系是(　　)
A．  B．   C．   D．
4.比較下列值的大小
①___  ②___  ③ ___  ④___
5.設，，，則的大小關系為____________
6.函數在第一象限內的圖象如下圖所示，已知：取±2，±四個值，則相應于曲線
C₁、 C₂、C₃、C₄的n依次為(　　)
A．－2，－，，2     B．2，，－，－2
    C．－，－2,2，      D．2，，－2，－
B組：
1.已知冪函數是偶函數，且在上是增函數，求的解析式.
2.已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在上函數值隨的增大而減小，求滿足的的取值范圍.
六、課外反思
討論一類函數的性質，實際上就是探究這類函數有哪些共同的特征，例如對于任意，因此指數函數的圖像都過（0,1）點，你能根據這樣的思想，結合函數的圖象，討論一下冪函數的基本性質.
 

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