視頻標簽：冪函數

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：人教B版高一數學必修一必修一3.3《冪函數》北京師范大學附屬中學

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高一數學必修一  《冪函數》  教學設計 
 
授課時間 2018年10月18日 授課班級 高一（8）班 
授課教材 人教B版高中數學必修1     
 
教材分析 
《冪函數》是人教B版高中數學必修一第三章第三節的內容，由于這次是把本節內容放到指對函數之前來講，所以它是學生在高中階段學習的第一個“全新的”基本初等函數。本節課是在學生已經系統地學習了函數及其性質，并以一次函數、二次函數為載體，體驗了研究函數的一般方法的基礎上，進一步研究冪函數以及冪的圖象與性質。作為重要的基本初等函數之一，冪函數既是函數近代定義及性質的又一次應用，也為今后研究其它函數提供了方法和模式，為后續的學習奠定基礎。同時冪函數在生活和生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值滲透的一個非常好的素材。 
2017年《高中數學新課標（試行）》著重提出了發展學生的六大數學核心素養，本節內容體現了數學抽象、邏輯推理、數學建模的數學核心素養。通過學習，有利于學生核心素養的發展，并且可以幫助學生進一步理解函數，培養函數的應用意識，增強學生對數學的興趣，對今后學生學好高中數學起著重要的作用。 
學情分析和學法指導 
   通過第二章函數知識的學習、對一次函數、二次函數的再研究，大部分學生有了“通過畫圖、觀察并抽象概括等活動獲得數學結論”的體會，有一定的參與意識、自主探究、合作交流的能力，具備學習本節課所需要的知識。在此基礎上，通過教師的適當引導，層層設問，啟發思維，激發學生學習數學的興趣，讓每一個學生都能夠積極參與，成為課堂的主體，并且通過學生在問題解決中的一步步探索與研究，培養學生分析問題、解決問題的能力；通過作圖，培養學生數形結合的思想，欣賞并體會數形和諧的對稱美。 
本節授課對象是本校平行班學生，基礎相對薄弱，所以對冪函數的圖象隨指數變化的規律的理解可能有一定的困難，教師應引導學生通過觀察函數圖象、分析函數性質逐步地總結并歸納冪函數圖象隨指數變化的規律，借助多媒體輔助教學，突顯數形結合思想，增強教學的直觀性，提高教學效率，突破重、難點。 
教學目標分析 
1．知識與技能： 
（1）通過實例，了解冪函數概念； 
（2）通過幾個冪函數的圖象，了解冪函數圖象的變化情況和性質。 2．過程與方法： 
（1）通過觀察、體會、發現，引出冪函數的概念，認清冪函數的特點；  
（2）通過學生畫圖和計算機演示，研究冪函數的圖象和性質，讓學生自己體驗，觀察歸納，自主探究，合作學
習，培養學生的概括能力和識圖能力； （3）使學生進一步體會數形結合的思想。 3．情感、態度、價值觀： 
（1）通過生活實例引出冪函數的概念，使學生體會到生活處處有數學，激發學生的學習興趣； 
（2）通過學生自己畫圖，觀察圖象，總結性質，親身感受知識的形成過程，從而激發學生的學習欲望，欣賞并      體會數形和諧的對稱美。  
教學重難點分析 
教學重點:  冪函數的概念、圖象和性質。 教學難點： 冪函數的圖象隨指數變化的規律. 
 
                    
             
                    
                             
2 
教學設計思想 
2017年《高中數學新課標（試行）》著重提出了發展學生的數學核心素養，本節內容體現了數學抽象、邏輯推理、數學建模的數學核心素養； 并且《新課標》提出讓學生獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四基”，提高“四能”，增強創新意識和應用能力，認識數學的科學價值、應用價值和文化價值。 
本節課以冪函數為載體，重在發展學生的數學核心素養，培養學生良好的數學學習習慣。本節課的設計分以下三個主要環節： 
①通過生活中的實際問題創設情境，體現數學的應用價值，激發學生的學習興趣，從具體的解析式抽象得出冪函數的概念； 
②學生參與提出問題    作圖探究    問題解決的過程，從而得到冪函數的性質，教師借助計算機在圖形動態演示方面的優勢，實現計算機輔助教學； 
③總結和梳理所學內容，對所學知識進行總結，對數學思想方法進行升華，并對數學核心素養進行滲透。  
 教學過程           
教學方式：創設問題情景，采用探索討論法進行教學，學生主動參與提出問題、探索問題和解決問題的過程，突出以學生為主體的探究式學習活動。 
教學手段：借助計算機在圖形動態演示方面的優勢，實現計算機輔助教學。采用實物投影，對學生所畫圖形進行反饋與校正。 
技術準備：幾何畫板，演示文稿 具體過程： 
教學過程 
學生活動 設計意圖 
      
1.創設情境，引入新課 
下面我們一起看我們生活中經常遇到的幾個數學模型： 
 1.如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付的錢數p =   ；     
2.如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S =   ； 3. 如果正方體的棱長為a，那么正方體的體積V =  ； 4．如果正方形場地面積為S，那么正方形的邊長a =  ；  5．如果某人t秒內行進了1米，那么他騎車的速度v =   ；   
問題1： 以上函數關系式有什么共同特點？你能否抽象出一個具有一般性的函數模型？  
   
將實際問題轉化為數學模型，得出函數解析式。 
通過生活中的數學說明數學知識的實用性和重要性，體現數學的應用價值，激發學生的學習興趣。    
通過觀察5個具體的解析式，發現解析式的共同點，培養學生分析、解決、歸納、概括問題的能力。 
    
2. 歸納探索，形成概念  
3.3 冪函數 
1. 冪函數的定義： 
一般地，形如()yxR
的函數稱為冪函數。其中x是自變量，是常數。 思考：判斷下列函數是否為冪函數？為什么？    學生歸納、總結冪函數定義，教師板書。    
 
 學生回答，教師板書冪函數的定義，讓學生持
續參與于課堂
活動中。 
    
 
                    
             
                    
                             
3 
    ①4yx ；②21yx

 ；③2
yx；④12
yx； ⑤22yx；⑥32yx；⑦0yx；⑧1y. 
   
積極思考 回答問題。 
  
通過習題對冪函數的概念加以鞏固。        3、探究性質，深化理解 
問題2：我們研究函數的性質，通常都研究哪些性質？又通常如何去研究？ 
學生回答，教師總結：定義域、值域、單調性、奇偶性等，我
們通常是利用圖象來研究函數性質的. （一）學生活動：研究幾個常見的冪函數圖象及性質 
１．作出下列函數：
1
122302,,,,,,yxyxyxyxyxyxyx的圖象 將學生分成4組作圖： 
第1組：12
,yxyx 第2組：1
2yx 第3組：23
,yxyx 第4組：0,yxyx； 學生分組作圖，并根據圖象寫出相應函數的性質。教師利用實物投 
影展示學生的作品，再用多媒體展示圖象。  
 3. 觀察所做函數的圖象，將你發現的結論寫在下表內。 
 xy 2xy 3xy 
21
xy 1xy 2yx  定義域   R  R  R  ),0[  ),0()0,(
  ),0()0,( 認真思考， 
回答問題。  
 
 
   
 
學生分組作
圖，并總結函數性質。  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
學生體會研究冪函數性質的方法，并總結歸納冪函數的性質，總結冪函數圖象的共性  
   
   
 
 
 
 
  
 
  
         
讓學生自己作圖，既調動學生積極性，又規范學生作圖，讓學生在實踐中認識冪函數的圖象，為研究冪函數的性質做準備。                       
 
                    
             
                    
                             
4 
值域    R 
),0[ 
R 
),0[  )
,0()0,(
 (0,)  
奇偶性  奇函數  偶函數  奇函數  非奇 
非偶 
 奇函數  
奇函數 
單調
性  
)
,(遞增 ]
0,(遞減 ),0[ 
遞增 
 
)
,(遞增  
 ),0[ 
遞增  
)
0,(遞減 )
,0(遞減 )0,(遞
增 ),0(遞
減 
定點 （1，1） 
 
問題3：探究---猜想---驗證冪函數的性質：(所有冪函數放在同
一坐標系中)觀察圖象，這些圖象有什么共同特征？  
學生回答，教師板書： 
（1）所有冪函數在（0，+∞）都有定義，且圖象都過點（1，1）； 問題4：當0時，圖象有什么共同特征？0時呢？ 不同點：（1）當0時，圖象通過點（0，0），并且在區間[0,) 上是增函數．  
（2）當0時，圖象在區間（0，+∞）上是減函數．并
以x軸正半和y軸正半軸為漸近線．  
 
                           
師生共同歸納總結冪函數的共同點和不同點，學生討論、合作、交流并體會冪函數圖象隨指數的變化而變化的規律。   
學生探索、合作交流，教師板書。                      
滲透從特殊到一般的研究函數的方法，通過借助幾何畫板對一般冪函數圖象性質的猜測，驗證，歸納的過程，激發學生的學習興趣。培養學生的抽象概括、歸納，以及語言表達能力，探究冪函數圖象隨指數的變化而變化的規律，把學生的思維拓展到更廣闊的空間，有效訓練學生發散思維能力。      4、本課小結與作業布置 
小結： 
一、知識方面 
1. 冪函數的概念及冪函數的特點； 2. 常見冪函數的圖象和冪函數的性質 二、數學思想方面： 
1. 數形結合 2. 分類討論； 
3. 從特殊到一般、由具體到抽象。 三、數學核心素養： 
    數學抽象、邏輯推理、數學建模 
          
  
從知識和思想方法兩個方面進行總結，鞏固本節學習成果，使學生養成愛總結、善總結、會總結的習慣和能力。 
 
                    
             
                    
                             5 
作業： 
討論冪函數23
yx的定義域、值域、奇偶性，并作出其圖象，再 根據圖象討論單調性 
 
板書設計 
3.3 冪函數 
1. 定義：…… 
2. 冪函數的圖象及性質：…… 
(1)圖象(第一象限)    
(2) 性質： 
（1）共同點：所有冪函數在（0，+∞）都有定義，且圖象都過點（1，1）； （2）不同點： 
①當0時，圖象通過點（0，0），并且在區間
[0,) 上是增函數． 
②0時，圖象在區間（0，+∞）上是減函數，并以x軸正半軸和y軸正半軸為漸近線。 教學反思 
此次授課總體效果不錯，課后自我反思，覺得可做幾處修改： 
①分組作題，第2組：12
yx和第3組：23,yxyx的順序調換，能夠讓學生更容易得出1和01 這兩個范圍的不同圖像； 
②展示學生作圖環節，可以提問學生，根據展示的圖像說出性質，這樣既能提高課堂效率，也能檢驗學生對函數的一般性質的掌握程度； ③小結時間略緊張，最好讓學生自己總結. 
總之，通過這次比賽，自己收獲頗豐，也意識到自己的不足之處，是以后在教學中需要改進的地方.

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