視頻標(biāo)簽：一元二次方程的,解的估算

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：北師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《一元二次方程的解的估算》陜西省 - 西安

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一元二次方程的解的估算 
                            
 
一  學(xué)情分析： 
學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生已學(xué)過(guò)一元一次方程、二元一次方程、分式方程的概念，經(jīng)歷過(guò)由具體問(wèn)題抽象出方程的過(guò)程，多次學(xué)習(xí)了關(guān)于方程（或方程組）的求解的過(guò)程，因此具備了學(xué)習(xí)一元二次方程的基本技能，對(duì)一元二次方程的解的概念容易理解。同時(shí)，在八年級(jí)《實(shí)數(shù)》這一章學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)的估算，初步掌握了估算的方法，形成了估算的意識(shí)。 
學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在一元一次方程、二元一次方程、分式方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)初步感受到了方程的模型作用，并積累了一些利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，無(wú)理數(shù)的估算的學(xué)習(xí)使學(xué)生具備了估算的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)，但由于前面所學(xué)的方程都能很容易的解出精確解，在這節(jié)課后的連續(xù)三節(jié)課中，也將學(xué)習(xí)一元二次方程的三種不同的解精確解的方法，這三種方法和估算相比更輕松方便，從而有些學(xué)生會(huì)不重視估算的意識(shí)和方法。在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力。 
二 教學(xué)目標(biāo)： 
1經(jīng)歷估計(jì)一元二次方程解的過(guò)程，增進(jìn)對(duì)方程解的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)估算意識(shí)，發(fā)展數(shù)感。 
2 滲透“逼近”思想。 
三  教學(xué)重點(diǎn)： 
1 經(jīng)歷方程的解的探索過(guò)程，增進(jìn)對(duì)方程解的認(rèn)識(shí)。 
     2 用“兩邊夾逼”法估算方程的解，發(fā)展學(xué)生的估算意識(shí)和能力。 
四  學(xué)時(shí)難點(diǎn)： 
對(duì)一元二次方程的近似解的估算。 
五  教學(xué)活動(dòng)： 
第一環(huán)節(jié)：情景引入 
 
                    
             
                    
                            活動(dòng)內(nèi)容：1.有349名同學(xué)一起去九號(hào)宇宙，現(xiàn)有7輛車(chē)，每車(chē)56個(gè)座位，問(wèn)夠不夠坐？ 
 
2．某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)1750元，每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商城用80000元購(gòu)進(jìn)電冰箱的數(shù)量用64000元購(gòu)進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等。求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少？  
 
仔細(xì)觀察上題的答卷，發(fā)現(xiàn)這位同學(xué)先得到了錯(cuò)誤答案：冰箱進(jìn)價(jià)20000元，空調(diào)進(jìn)價(jià)16000元，然后又改為正確結(jié)果2000元和1600元，如果是你，你能發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤嗎？如何發(fā)現(xiàn)的？ 
3 通過(guò)以上兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你能體會(huì)到估算有什么好處嗎？ 
師生活動(dòng)：對(duì)于第1題，學(xué)生可這樣估算：每車(chē)50人，7輛車(chē)可坐350人，比實(shí)際349名同學(xué)人數(shù)多，所以夠坐。對(duì)于第2題，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)答卷中最初算出的電冰箱進(jìn)價(jià)20000元及空調(diào)進(jìn)價(jià)16000元比題目中給出的電冰箱銷售價(jià)2100元及空調(diào)銷售價(jià)1750元大得多，不符合實(shí)際，所以可及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。第2題實(shí)際上就是估算了答案的取值范圍，若算出的答案不在這個(gè)范圍，則說(shuō)明答案錯(cuò)誤。 活動(dòng)目的：上述兩個(gè)問(wèn)題都來(lái)源于學(xué)生身邊剛剛發(fā)生的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)提問(wèn)學(xué)生用估算的方法解決了這兩個(gè)問(wèn)題，第1個(gè)問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)到估算能更方便更快捷地解決實(shí)際問(wèn)題，第2個(gè)問(wèn)題使學(xué)生體會(huì)到估算能及時(shí)地讓我們發(fā)現(xiàn)計(jì)算的偏差，防止錯(cuò)誤的產(chǎn)生，從而認(rèn)識(shí)到估算是生活的必備技巧，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要技能，學(xué)習(xí)估算是很有必要的，從而引入今天的課題---一元二次方程的解的估算。 第二環(huán)節(jié)：探求新知 
活動(dòng)內(nèi)容1、幼兒園活動(dòng)教室矩形地面的長(zhǎng)為8米，寬為5米，現(xiàn)準(zhǔn)備在地面的正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同 ，
 
 
                    
             
                    
                            你能求出這個(gè)寬度嗎？ 
在前一節(jié)課中，我們已經(jīng)設(shè)所求的寬度為x(m)，得到了方程：(82)(52)18xx  （1）x可能小于0嗎？可能大于4嗎?可能大于2．5嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由。 （2）你能確定x的大致范圍嗎？ （3）完成下表： 
x 
0.5 1 1.5 2 (82)(52)xx 
 
 
 
 
（4）在02.5x范圍里，會(huì)不會(huì)存在另一個(gè)方程的解呢？ （5）若由上面的表格沒(méi)有得到方程的解，我們接下來(lái)如何做呢？ 
師生活動(dòng)：第（1）小問(wèn)學(xué)生結(jié)合實(shí)際容易得到x不可能小于0，不可能大于4，不可能大于2．5。第（2）小問(wèn)學(xué)生在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上容易得到02.5x。此時(shí)，x的范圍已縮小到02.5x，如何在這個(gè)范圍里求出寬度呢？在此讓學(xué)生充分考慮后，學(xué)生可得到在這一范圍內(nèi)取值，從而出示第（3）問(wèn)，完成第（3）問(wèn)中的表格，估算出方程的解。第（4）問(wèn)提出后，學(xué)生觀察表格所呈現(xiàn)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著x的增大，(82)(52)xx逐漸減小，所以在此范圍里不存在另一個(gè)方程的解。第（5）小問(wèn)提出后，因?yàn)橛辛饲皫讍?wèn)的層層深入，學(xué)生不難回答出，根據(jù)表格，繼續(xù)縮小x的范圍，在新的更小的范圍里繼續(xù)取值，從而一步步逼近精確值。 
活動(dòng)目的：通過(guò)問(wèn)題設(shè)置，讓學(xué)生體會(huì)估算一元二次方程的解的過(guò)程，即確定大致范圍、列表代值計(jì)算、兩邊夾逼，找到更精確的解。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的問(wèn)題層層深入，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生逐步縮小解的范圍，感受到“兩邊夾逼”的思想是近似計(jì)算的重要思想。另外，在第（3）小問(wèn)中，繼續(xù)鞏固方程解的定義，使學(xué)生能夠由表格得到方程的解；在第（4）小問(wèn)中，使學(xué)生考慮問(wèn)題能更加全面，以免漏解。 對(duì)于此道題，由于方程的解是整數(shù)解，學(xué)生能很快通過(guò)列表計(jì)算直接找到方程的解，這就使學(xué)生從這種求解的方法中體驗(yàn)到了方便和巧妙，從而可增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生善于觀察分析問(wèn)題、樂(lè)于探索研究的學(xué)習(xí)品質(zhì) 活動(dòng)內(nèi)容2、如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？ 
 
                    
             
                    
                             
上節(jié)課我們通過(guò)設(shè)未知數(shù)得到滿足條件的方程，即梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足方程222
1076x，把這個(gè)方程化為一般形式為01512xx2 
（1） 你能估算出x的整數(shù)部分嗎？ （2） 你能繼續(xù)估算出x的十分位嗎？ 
師生活動(dòng)：通過(guò)活動(dòng)內(nèi)容1，學(xué)生已經(jīng)總結(jié)出估算一元二次方程的解的一般步驟，初步體會(huì)到估算的方法，所以第（1）問(wèn)不再以問(wèn)題串的形式一步步引導(dǎo)學(xué)生思維，而是通過(guò)小組合作來(lái)解決問(wèn)題。通過(guò)小組活動(dòng)，學(xué)生可充分討論，取長(zhǎng)補(bǔ)短，先得到x的大致范圍，再列表得結(jié)果。如：梯子滑動(dòng)的距離x＞0是顯而易見(jiàn)的，在上圖中，求得ED=6m,而EC＜10m,因此CD＜4m。所以x的取值范圍是0＜x＜4。（在估算大致范圍時(shí)，因?yàn)橥瑢W(xué)們考慮的細(xì)致程度不同，所以得到的范圍大小不同，但只要正確，都應(yīng)肯定）。學(xué)生列出表格： 
x 1 2 3 x2+12x-15 
-2 
13 
30 
學(xué)生由表格可以看出當(dāng)x=1時(shí)，x2+12x-15<0;當(dāng)x=2時(shí)，x2+12x-15>0，所以1<x<2,解的整數(shù)部分是1.并且學(xué)生通過(guò)實(shí)踐，可體會(huì)到如果只求整數(shù)部分，在取值時(shí)，只需取整數(shù)帶入求值。 
對(duì)于第（2）個(gè)問(wèn)題，繼續(xù)小組合作，在1<x<2范圍內(nèi)繼續(xù)逼近，去找更精確的解。再由小組代表上臺(tái)講解探索過(guò)程，其他小組可補(bǔ)充不同方法。通過(guò)合作交流，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下兩種較好的取值逼近的方法。 
第一種如下： x 1 1.1 1.2 1.5 2 x2+12x-15 
-2 
-0.59 
0.84 
5．25 
13 
 
                    
             
                    
                            學(xué)生首先在初始范圍的中間取值1.5，帶入求值后發(fā)現(xiàn)x的值應(yīng)在1到1.5之間，將范圍縮小了一半，再在1到1.5之間取1.2，帶入求值后發(fā)現(xiàn)x的值應(yīng)在1到1.2.之間，繼續(xù)再取1.1，帶入求值后確定十分為應(yīng)是1。教師在此肯定此種取值逼近的方法，這種方法能更快的縮小范圍。 
第二種如下： x 1 1.1 1.2 2 x2+12x-15 
-2 
-0.59 
0.84 
13 
學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x取1時(shí)，x2+12x-15=-2；當(dāng)x取2時(shí)，x2+12x-15=13，-2與13相比，-2離方程右邊的0更近，所以學(xué)生此時(shí)從1.1，1.2開(kāi)始取值，從而很快地找到的x的更小范圍，進(jìn)而確定十分位應(yīng)是1。教師在此肯定此種做法，鼓勵(lì)大家以后在代值時(shí)，靈活運(yùn)用兩種方法取值。 
活動(dòng)目的：通過(guò)小組合作解決第（1）問(wèn)且上臺(tái)講解第（2）問(wèn)，使學(xué)生更好地掌握一元二次方程的解的估算的方法、步驟，再次體會(huì)“兩邊夾逼”的思想。另外，此題與活動(dòng)內(nèi)容1中的題雖然都是估算一元二次方程的解，但有不同，活動(dòng)內(nèi)容1中的實(shí)際問(wèn)題學(xué)生可很快求出準(zhǔn)確解，但此題的解是一個(gè)無(wú)理數(shù)，學(xué)生自然無(wú)法求出其精確解，對(duì)于這個(gè)難點(diǎn)的設(shè)置，就是為了讓學(xué)生通過(guò)思考、實(shí)踐，一步步縮小范圍，找到需要的精確度的值，更好地體會(huì)逼近的思想。同時(shí)，此題需要學(xué)生自己給x取值，通過(guò)實(shí)踐及交流，學(xué)生可以體會(huì)到如何取值能更快地找到更小的解的范圍。在計(jì)算過(guò)程中提倡學(xué)生使用計(jì)算器，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，以取得更好的教學(xué)效果。 
第三環(huán)節(jié)：小試牛刀，練習(xí)與提高 
活動(dòng)內(nèi)容：有一根長(zhǎng)為4.2米的木料，做成如圖所示的矩形窗框,當(dāng)窗框的一邊AB的長(zhǎng)為多少米時(shí)，這個(gè)窗戶的面積約為0.9米2？（不考慮木料加工時(shí)的損耗和木框所占的面積） 師生活動(dòng)：此處留給學(xué)生充分的時(shí)間與空間進(jìn)行獨(dú)立練習(xí)， 并由學(xué)生代表上臺(tái)投影講解，在講解時(shí)教師通過(guò)進(jìn)一步提問(wèn)，讓所有同學(xué)明晰每一步的重點(diǎn)以及需注意的問(wèn)題。 
活動(dòng)目的：為了檢測(cè)學(xué)生對(duì)本課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)到的情況，進(jìn)一步加強(qiáng)知識(shí)的應(yīng)用訓(xùn)練，我給出了上面的這個(gè)題目，由學(xué)生獨(dú)立完成。此題仍是實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步感受估算對(duì)實(shí)際問(wèn)題的重要性，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生求解的欲望。另外通過(guò)獨(dú)立完成進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的估算意識(shí)和能力。此題與前兩道題不同之處是，此題有兩
A B 
C 
D 
 
                    
             
                    
                            個(gè)解，進(jìn)一步提醒學(xué)生全面考慮問(wèn)題，不要漏解。 第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 
活動(dòng)內(nèi)容：通過(guò)本堂課你有哪些收獲？談?wù)勀愕母邢搿?nbsp;
師生活動(dòng)：師生互相交流總結(jié)探索估算一元二次方程的解基本思路和關(guān)鍵，以及在求解（或近似解）時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題。 
活動(dòng)目的：通過(guò)讓學(xué)生分享收獲，培養(yǎng)學(xué)生回顧思考、歸納概括的能力，也通過(guò)這一環(huán)節(jié)使學(xué)生可以互相學(xué)習(xí)，同時(shí)也有利于教師發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)完成的程度；通過(guò)教師的歸納提升，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)、方法等有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí). 第五節(jié)：布置作業(yè) 
1 習(xí)題2.2第1題、第2題、第3題. 
2 課本p34-35讀一讀（用二分法確定一元二次方程的近似解）

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