視頻標簽：一元二次方程,根的判別式

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視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《一元二次方程的根的判別式》重慶市優課

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一元二次方程的根的判別式 
涵 
一、教材分析 
本節內容是在一元二次方程的公式法的基礎上進行教學的，是對公式法的完善與發展.利用根的判別式可以不解方程而直接判斷一元二次方程的根的情況.由于前面已經學習了求根公式，所以教材開門見山，首先直接對求根公式進行討論，給出根的判別式的意義，進而得出一元二次方程根的判別方法，最后，通過例題及練習，對一元二次方程根的判別方法進行了鞏固.一元二次方程根的判別式對于二次函數、一元二次不等式等后繼知識的學習具有十分重要的意義. 二、學情分析 
學生在上一節課推導求根公式以及用公式法解一元二次方程的過程中，對一元二次方程根的不同情況已經有了初步認識，對分類討論的思想方法也不陌生，這為本節內容的教學提供了有利條件.教學中可以先讓學生解幾個根的情況不同的方程，以獲得更充分的感性認識，然后結合求根公式及b2-4ac的符號情況進行討論，從而得出結論.教師應充分調動學生的參與積極性，盡量通過他們自己的探究與思考得出結論，并注意適時引導. 三、教學目標（課標要求） 
1.了解一元二次方程根的判別式的意義，理解為什么能根據它判斷方程根的情況；能用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的情況. 
2.經歷一元二次方程根的判別式的意義及作用的探究過程，體會分類討論和轉化的思想方法，感受數學思想的嚴密性與方法的靈活性. 
3.通過對根的判別式的意義及作用的探究，培養對科學的探索精神和嚴謹的治學態度. 四、目標敘寫 
1.通過探究1，經歷一元二次方程根的判別式的意義及作用的探究過程，了解一元二次方程的根的判別式的定義，為什么能根據它來判斷方程根的情況； 
2.通過練習1，能熟練運用根的判別式判別一元二次方程是否有實數根和兩個實數根是否相等； 
 
                    
             
                    
                             
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3.通過例1和變式1，經歷觀察-對比-發現，了解能夠在已知一元二次方程根的情況下，運用判別式來求出含參方程中的參數范圍； 
4.通過例2和變式2，變式3，能夠熟練運用判別式來求出含參方程中的參數范圍，體會分類討論和轉化的數學思想方法，感受數學思想的嚴密性與方法的靈活性. 五、學習重難點 
重點：用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況； 
難點：運用一元二次方程根的判別式來確定含參方程內的參數范圍. 六、學習方法 自主、合作、探究 七、教學輔助 PPT、多媒體展示臺  
八、教學過程 
環節一感受新知：問題元素-側重數學思考 
1.什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？ 2.請利用配方法求出方程)(002acbxax的根. 3.發現問題 
上面求方程)(002acbxax的根的時候，你有什么發現？ 4.提出問題  
教師引導學生思考上述方程根的情況不同的原因，嘗試提出下列問題： 一般的，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何時沒有實數根?何時有根?何時有兩個相等的實數根?何時有兩個不相等的實數根?  
設計意圖： 
復習引入，通過學生對一元二次方程的基本概念和一般形式，以及用配方法解一般形式等問題的回顧，促使學生進行學科思考，對求解過程中的情況和問題進行充分表達，從而引出本節課的課題.  
 
                    
             
                    
                             
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環節二探究新知：探究元素-側重方法結論 
 由上面的一元二次方程的解的公式可見，一元二次方程ax2
+bx+c=0(a≠0)
的根的情況由b2-4ac來決定.因此，我們把b2
-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式.通常用符號“Δ”（希臘字母）來表示，讀做“得爾塔”，即Δ=b2-4ac. 
一個一元二次方程有沒有實數根，有什么樣的實數根都是由b2-4ac決定的，接下來我們就來看看Δ如何決定一元二次方程的根的情況. 探究1：根的判別式怎樣決定一元二次方程根的情況. 活動：不解方程，分析下列方程的解的情況. 
①0122xx（從Δ的值，與0比較大小，以及根的情況等方面分析）（板書） ②0122xx ③0322xx 
思考：你能說出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況具體有哪幾種，又是如何判別的嗎？ 
學生思考，師生共同得出： 
結論1: 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 
當Δ＞0時，有兩個不相等的實數根； 當Δ＝0時，有兩個相等的實數根； 當Δ＜0時，沒有實數根. 設計意圖： 
經過這三個方程讓學生明白，要想知道方程有沒有實數根，有什么樣的實數根不需要去把根算出來，我們只需要利用根的判別式來判斷就行了. 判斷步驟：一化（將一元二次方程化為一般形式）； 
二算（確定a、b、c的值，算出Δ的值）； 三判斷（根據結論1判斷方程根的情況）.  
練習1：試判斷下列方程根的情況： 
010032xx，  010032xx, 
 
                    
             
                    
                             
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010032xx ，   010032xx. 
觀察并比較，由上面的方程根的情況可以得到些什么結論呢?(學生討論) 思考：你能說出當一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有兩個不相等的實數根時，二次項系數a和常數項系數c一定有什么關系嗎？ 學生思考，師生共同得出： 
結論2: 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根時ca、異號（或者0ac）. 設計意圖： 
1. 讓學生進一步熟悉判別式的計算，能夠快速準確的判斷一元二次方程根的情況. 
2. 通過這些方程的觀察對比發現一元二次方程中的ca、異號（或者0ac）方程就一定有兩個不相等的實數根（即0）. 環節三應用新知：應用元素-側重如何思考 
例1.已知關于x的方程022axx沒有實數根，求a的取值范圍.           
變式1：已知關于x的方程022axx有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍.  
       （板書）  
設計意圖： 
例1是常數項含參方程，直接根據方程根的情況，結合判別式就可以求出參數的取值范圍. 
變式1相對于例1 沒有改變方程，而是把根的情況進行了改變，由此讓學生更深刻的體會根的情況不一樣，判別式與零的大小情況也不一樣.進一步明確根的判別式是對一元二次方程來定義的.讓學生體會分類討論思想在解題中的重要性.  
 
                    
             
                    
                             
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例2.關于x的方程0132122xaxa）（）（有實數根，求a的取值范圍.   
變式2：試判斷關于x的方程01322)(axax）（的根的情況.   
變式3：已知關于x的方程01322

)(axaax）（，則a取何值時: (1) 方程有兩個不相等的實數根? (2) 方程有兩個實數根? (3) 方程沒有實數根? (4) 方程有實數根?   
設計意圖： 
例2是二次項系數和一次項系數都含參的方程，本題暗含直接根據二次項系數來判斷方程是否為一元二次方程，再來根據根的情況，結合判別式就可以求出參數的取值范圍，難度較小. 
變式2相對于例2 提高了難度，含參項沒有變，只是常數項中的參數次數變了，判別式的值變成了一個二次三項式，難點變成了判斷一個二次三項式的值，先配方再比較判別式的值與0的大小. 
變式3中所有項都變成了含參項，所以首先應該判斷方程是否為一元二次方程，再進行分類討論.讓學生進一步體會分類討論思想在解題中的重要性，感受數學思想的嚴密性與方法的靈活性.  
環節四梳理總結：整理元素-側重目標錯點 
有學生從知識、方法、解題策略等角度自主梳理本課收獲，談困惑； 教師引導學生梳理本節課核心知識和方法. 
 
 
                    
             
                    
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設計意圖： 
梳理是對一堂課的回顧和反思，借助這一環節，能夠引導學生完善知識體系，對探究問題的思想方法有更深刻的認同.           
文化鏈接： 
 
秦九韶的高次方程 
公元1819年7月1日，英國人霍納在皇家學會宣讀了一篇數學論文，提出了一種解任意高次方程的巧妙方法，一時引起了英國數學界的轟動．由于這一方法有其獨到之處，而且對數學科學有很大的推動作用，因而這一方法被命名為“霍納方法”． 
但是沒過多久，意大利數學界就提出了異議，因為他們發現自己的同胞魯菲尼已在15年前就得出了同樣的方法，只是沒有及時地報導罷了．因此，意大利數學界要求將這一數學方法命名為“魯菲尼方法”．于是英、意雙方開始了喋喋不休的爭論．正巧，有個阿拉伯人前往歐洲，聽到了雙方的爭論后，不置可否地大笑起來．爭論雙方問他，為何這般嘲笑，這位阿拉伯人從背包中掏出一本書，遞與爭論雙方，說到：“你們都不要爭了，依我看來，這個方法應該稱作“秦九韶方法”．他們這才知道，早在570年前，有個叫秦九韶的中國人就發明了這種方法．雙方覺得他們的這場爭論已顯得毫無意義了． 
秦九韶，生于1202年，南宋普州安岳(今四川安岳)人，他自幼隨做官的父親周游過許多地方．20歲的時候，秦九韶隨父親來到南宋的都城——臨安(今杭州)． 
秦九韶被父親送到掌官天文歷法的太史院學習．在這里，他了解了制定歷法的一些基本算法和理論依據，這對于他后來寫作著名的《數書九章》大有益處． 
后來他回到四川老家，在一個縣城里當縣尉，這時，北方的元兵大舉進犯，戰亂頻繁，他在這種動亂的環境中度過了他的壯年．后來他在《數書九章》中寫了“天時”和“軍旅”等問題，想必與這段生活有關． 
過了幾年，秦九韶的母親去世了，他按照封建社會的傳統，回家為母親守孝三年．正是在這段時間里，秦九韶完成了他的輝煌的數學著作——《數書九章》． 
《數書九章》共分九大類，每類各有九題，全書共有81道數學題目，內容包括天時、軍旅、賦役、錢谷、市易等類問題，在這81道題目中，有的題目比較復雜，但題后大多附有算式和解法．正是在這些解法中包含著許多杰出的數學創造，高次方程的解法就是其中最重要的一項． 
高次方程就是未知數的最高次冪在3次以上的方程．對于一元二次方程，我們可以用求根公式來解，三、四次方程的求根公式很復雜，至于五次以上的方程，那就沒有求根公式了． 
那么用什么方法來解決呢?秦九韶創造的這種解法是一種近似的解法，但是它能夠把結果算到任意精確的程度，只要你按照一些簡單的程序，反復地進行四則運算即可． 
除了高次方程的解法之外，這本書的另一項偉大成就是關于同余式方面的工作．什么叫
 
                    
             
                    
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同余式呢? 
我們還是從“韓信點兵”的故事說起：傳說漢代開國功臣韓信有一次到練兵場，只見軍士們龍騰虎躍，你來我往，好不熱鬧．韓信問帶兵的軍官．“你們這里共有多少士兵?”軍官說：“人太多太亂，數不準確．”韓信說：“你把令旗給我，我來給你點數．”軍官一聽，慌忙將令旗奉上，只見韓信揮起令旗，命令道：“排一長隊．”韓信見軍士們已排好長隊，便交待道：“先從1到3報數，再從1到5報數，最后從1到7報數．報完后，把剩余的人數告訴我，我便知總的軍士人數．” 
于是，軍士們便認真地報起數來，第一報數后余2，第2報數后余3；第3報數后余2．韓信掐指一算，共計233人． 
其實，“韓信點兵”問題又叫“孫子問題”，最早出現在公元4世紀的數學著作《孫子算經》中，原來的問題是這樣表述的：“有物不知其數，三個一數余2，五個一數余3，七個一數余2，問該物總數幾何?” 
這個問題按照現在的人可以列出方程來：設總數為N，x為3人一數的次數，y為5人一數的次數，z為7人一數的次數．則 
N＝3x＋2，N＝5y＋3，N＝7z＋2． 
三個方程式，但卻有四個未知數，這就叫不定方程．解不定方程在現代數論中有一個著名的定理：剩余定理． 
但這個問題出現在公元4世紀的中國算書中，他們雖然給出算法，但卻沒有明確地表述和證明這個定理． 
到公元13世紀，大數學家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上獲得了超越前人的  成果． 
秦九韶在寫作《數書九章》時，把當年在太史院學到的天文學知識與《孫子算經》的數學問題結合起來，發展了同余式的理論和算法，從而圓滿地解決了韓信點兵之類的問題． 
秦九韶還有許多數學創造，他是世界上最早提出十進小數概念和表示法的人．他還獨立地推導出了已知三邊求三角形面積的公式： 
S＝])2
([412
22222cbaba（a、b、c為三角形三邊） 
秦九韶在多元一次方程組和幾何測量方面也有創新．他是世界上最偉大的數學家之一，《數
書九章》標志著中國的古代數學達到了一個新的高峰．  
環節五達標檢測：評價元素-側重達標人數 1. 不解方程，判斷下列方程的根的情況： 
(1)xx7522         (2)0314xx         (3)
yy4209042..   
2.對于方程mxmxm1122142)()(  (1)方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍; (2)方程有兩個相等的實數根，求m的取值范圍; 
 
                    
             
                    
                             
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(3)方程沒有實數根，求m的取值范圍.  
設計意圖： 
鞏固在例題中所收獲的知識及方法：1題和探究新知里的題對應，2題和應用新知里的題對應，可借此評價學生一節課的聽課效率和過關情況.   
環節六拓展應用 
1.關于x的一元二次方程012132mxmmx,其根的判別式的值為1，求
m的值及該方程的根.  
2.求證：關于x的方程0122kkxx沒有實數根.  
3.關于x的方程mxmxx2222有兩個相等的實數根，求m的值，并求出方程的解.  
設計意圖：   
課后作業布置：評價元素-側重鞏固提高 教材43頁習題2.5  
九、評價與反思 
本節課的教學堅持從學生實際出發，以學生為主體，注重對新理念的貫徹和教學方法的使用；在突破難點時，多種方法并用，注意培養自學能力；堅持當堂訓練，例題、練習的設計針對性強，重點突出，對方法的總結言簡意賅；學生能夠積極、主動的參與，充分經歷了知識的形成、發展與應用的過程，在這個過程中掌握了知識，形成了技能，發展了思維；教學效果較好. 
通過本節課教學，主要是讓學生理解一元二次方程根的判別式，并能用判別
 
                    
             
                    
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式判別根的情況.本著“以學生發展為本”的教育理念，同時也為了使學生都能積極地參與到課堂教學中，發揮學生的主觀能動性，本節課主要采用了學生自學教師引導、講練結合的教學方法，按照“實踐——認識——實踐”的認知規律設計，以增加學生參與教學過程的機會和體驗獲取知識過程的時間，從而有效地調動了學生學習數學的積極性. 
學生已經學過一元二次方程的四種解法，并對Δ=b2-的作用已經有所
了解，在此基礎上來進一步研究Δ=b2-4ac作用，它是前面知識的深化與總結.從思想方法上來說，學生對分類討論、歸納總結的數學思想已經有所接觸,所以課堂上通過讓學生動手、動腦來培養學生探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力. 
課堂上先讓學生通過自學閱讀課本內容解決相關的老師提出的問題，從而了解到了本節課的學習目標，通過模仿課本例題的解題格式進一步理解了根的判別式的意義，從而調動了學生學習的積極性，又很自然地進入本課所研究的重點內容.在整個課堂學習中，學生口、腦、手并用，小組討論交流，整體合作，解決問題，既提高了學生的自學能力，又提高了學生分析問題、解決問題的能力.同時，學生通過自己自學、討論、合作解決問題，體會到探索的樂趣和成功的歡樂，進一步培養了學生熱愛數學的思想.整節課的實施過程很順利，部分學生對本課的知識掌握程度不錯，能很好地達到本課的教學目的. 
在教學過程中，每節課總會有這有那的一些不盡人意的地方，本課也是一樣，在分層教學方面體現少，“讓每位學生都有收獲”達不到，所以在教學設計方面還有待改進.在往后的教學中，課堂練習要設計不同層次的題目，讓優生做有難度的題目，讓他們多多思考，提高思含量.對于學習有困難的學生，降低學習要求，努力達到基本要求.

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