《2.6應(yīng)用一元二次方程》教學(xué)設(shè)計 

   

教材分析：《應(yīng)用一元二次方程》是北師大版2013課標(biāo)版九年級上冊第二章第6節(jié)第一課時的內(nèi)容,本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要是平面幾何問題(梯子下滑問題、航海問題)的教學(xué)。將全章所強調(diào)的以一元二次方程為工具把實際問題模型化的思想提高到新的高度，為解決復(fù)雜的實際問題提供了基本的思路和方法，同時，它對于運用其他數(shù)學(xué)模型（如二次函數(shù)等）解決實際問題具有很強的示范作用。 

學(xué)情分析：學(xué)生在七年級上冊學(xué)習(xí)一元一次方程，八年級上冊學(xué)習(xí)二元一次方程組，八年級下冊學(xué)習(xí)分式方程時，已經(jīng)經(jīng)歷了用一元一次方程、二元一次方程組、分式方程解決實際問題的基本過程，習(xí)得了數(shù)學(xué)建模的思想方法。而且學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程的定義、解法時經(jīng)歷了列一元二次方程解決簡單實際問題的過程，掌握了列方程組解應(yīng)用題的一般步驟，基本上學(xué)會了尋找等量關(guān)系并建立方程模型的方法。但是，部分學(xué)生對實際問題仍存在排斥的心理，當(dāng)看到是很長的文字題目就不想看了。而這個問題的根源在于學(xué)生不能根據(jù)題意找到相關(guān)的等量關(guān)系，所以對本節(jié)課設(shè)計的重點在于引導(dǎo)學(xué)生突破這個重難點，幫助學(xué)生克服對實際問題的恐懼心理，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，充分體會到一元二次方程應(yīng)用的廣泛性和有效性。  

我的思考： 

1．多彩的問題情境能夠激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，所以問題設(shè)計應(yīng)該從學(xué)生身邊的問題入手，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)生主動學(xué)

習(xí)、主動探究的興趣。 

2.學(xué)習(xí)一元二次方程的定義、解法的時候已經(jīng)經(jīng)歷了用二元一次方程組的方法解決實際問題的基本思路，所以本節(jié)課應(yīng)該不同于一般例題內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)該以探究學(xué)習(xí)的方式完成，以啟發(fā)誘導(dǎo)為主，設(shè)計必要的問題作為鋪墊，讓學(xué)生獨立閱讀題目，學(xué)會從實際問題中提取數(shù)學(xué)信息并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，準(zhǔn)確地找出已知量和未知量，通過等量關(guān)系建方程。要留給學(xué)生足夠的思考時間，鼓勵學(xué)生探究不同的分析問題、解決問題的方法，使探究過程活躍起來，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，使他們收獲更大。 

3.本節(jié)課蘊含的數(shù)學(xué)思想是將實際問題抽象為方程的數(shù)學(xué)建模思想，所以本節(jié)課要著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 

一、教學(xué)目標(biāo)： 

1.能夠找出實際問題中的已知量和未知量，經(jīng)歷分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型。 

2.在列方程解決實際問題的過程中，認(rèn)識方程模型的重要性，并總結(jié)運用方程解決實際問題的一般步驟，進一步提高分析問題、解決問題的能力。 

3.能根據(jù)具體的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力。 

二、教學(xué)重點：探究用一元二次方程解決實際問題的過程。     教學(xué)難點：發(fā)現(xiàn)問題中隱含的未知量，尋找等量關(guān)系并列出

 

 

 

 

 

第3頁 

一元二次方程，用方程的解來解釋實際問題的解。 

三、教學(xué)方法：引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生自主探索、合作交流 四、學(xué)習(xí)方法：自主閱讀法、合作學(xué)習(xí)法 五、教學(xué)準(zhǔn)備：導(dǎo)學(xué)單、課件、幾何畫板 六、教學(xué)過程  

教學(xué)流程 

活動名稱 

主要內(nèi)容及目的 

一、 創(chuàng)設(shè)情境，回顧舊知 

（10分鐘） 

主要內(nèi)容：解決梯子下滑問題 

目的：從學(xué)生身邊的問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)查學(xué)生起點在哪里？ 回顧用方程解決實際問題的一般步驟。 二、 探究新知，感受建模 

（20分鐘） 主要內(nèi)容：軍艦、補給船相遇問題 目的：學(xué)會從實際問題中提取數(shù)學(xué)信息并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，準(zhǔn)確地找出已知量和未知量，通過等量關(guān)系建一元二次方程。 三、 總結(jié)歸納，提煉步驟 

（2分鐘）  

總結(jié)運用一元二次方程解決實際問題的一般步驟 

四 、利用新知，嘗試應(yīng)用 

（5分鐘）  

主要內(nèi)容：《九章算術(shù)》“勾股”章：兩人相遇問題。 

目的：體驗數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系 五、 課堂小結(jié)，內(nèi)化新知 

（2分鐘） 學(xué)生自主梳理列方程組解決問題的一般步驟，體會數(shù)學(xué)建模思想的重要意義。 

六、布置作業(yè) 

（1分鐘） 

教材練習(xí)題 

教        學(xué)      過      程 

問題與情境 問題 備注 活動1、發(fā)現(xiàn)自我 1、展示直角三角形圖形 

（1）勾股定理是勾股定理我國最早發(fā)現(xiàn)的，它揭

 

鋪設(shè)問題情境，奠定知識

看見這個熟悉的圖形，你想到了什么定理？ 

        

2、梯子下滑問題 

一個長為10 m的梯子斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面垂直距離為8 m，（1）如果梯子的頂端下滑1 m時，那么梯子底端滑動多少米？ 

（2）當(dāng)梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和梯子頂端下滑的距離相等？ 

 

 

示的什么內(nèi)容？ （2）應(yīng)用勾股定

理的條件是什么？如何沒有直角三角形，我們該怎么辦？  

（1）首先要解決

這個實際問題可以把它抽象為什么幾何圖形？ 

（2）當(dāng)梯子的頂

端下滑1 m時，你能用算術(shù)方法求梯子底端滑動的距離嗎？ 

（3）如果梯子頂端下滑的距離與底端滑動的距離

相等，你還能用算術(shù)方法求梯子頂端下滑的距離

基礎(chǔ) 【學(xué)生活動】 

1. 學(xué)生獨立思考、解答問題； 2. 學(xué)生舉手發(fā)言、分享解題思路； 

3. 學(xué)生經(jīng)歷從算術(shù)到方程的過程，順利引入本課。 

4. 學(xué)生嘗試用一元二次方程解決實際問題（學(xué)生板書，寫出完整過程）。 【教師活動】 

1． 幾何畫板

演示梯子的動態(tài)過程；  

 

 

 

 

 

第5頁 

 嗎？你準(zhǔn)備用什么方法解決？請你獨立思考！ 

（4）你列出的是什么方程？（點題：應(yīng)用一元二次方程） 

（5）請同學(xué)們解答這個問題（教師只是觀察學(xué)生答題情況，完成之后進行評價，看審、設(shè)、列、解、撿、答是否完整！） （6）通過梯子問題，我們一起來回顧一下列方程解應(yīng)用題的基本步驟 

2.對學(xué)生的解答及解答進行評價。 

3.引導(dǎo)學(xué)生回顧應(yīng)用列方程解解應(yīng)用題的基本步驟！  

 

 

 

 

 

第6頁 

活動2、挑戰(zhàn)自我 軍艦、補給船相遇問題 

例. 某海軍基地位于點A處,在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B,在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C.小島D位于AC的中點,島上有一補給碼頭;小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向.一艘軍艦從A出發(fā),經(jīng)B到C勻速巡航,一艘補給船同時從D出發(fā),沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達軍艦. 已知軍艦的速度是補給船的2倍,軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處,那么相遇時補給船航行了多少海里?(結(jié)果精確到0.1海里) 

 

  

（1）請同學(xué)們仔細讀題，分析題中的已知量和需要解決的問題，并在圖形中標(biāo)注出來。（2）要求DE，我們應(yīng)該構(gòu)造什么樣的圖形呢？圖形上有嗎？如何構(gòu)造呢？ 

（3）我們不妨DE的長為x，請同學(xué)們根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程，然后在小組內(nèi)交流一下你的思路。學(xué)生展示列出方程的思維過程！（上臺講解），然后解答！（教師評價） 

（4）除了設(shè)DE【學(xué)生活

動】 

（1）學(xué)生獨立思考，分析題中已知量，要求的問題，并在圖形中標(biāo)注出來； （2）學(xué)生舉手發(fā)言，分享審題過程。 

（3）學(xué)生獨立思考，列出方程。 （4）組內(nèi)討論，交流所列方程的正確性。完成詳細的解答過程。 （5）小組代表分享解題思路，學(xué)生上臺分享！ 

【教師活動】 展臺展示學(xué)生解

題過程為x以外，還有其他的設(shè)法嗎？（列出方程即可） 

總結(jié)：通過本題你有什么值得與大家分享的呢？請大家說一說 

例如：解決幾何問題一定圖形先行，沒有基本圖形就構(gòu)造； 讀懂題意，找出它們的路程關(guān)系！          

（1）啟發(fā)學(xué)生思考，點撥學(xué)生對問題中不理解的

地方或疑惑的地方； 

（2巡視，個別指導(dǎo)； 

（3）參與小組討論； 

傾聽、點撥、評價學(xué)生發(fā)言 【設(shè)計意圖】 通過審題，讓學(xué)生明確題目中告訴的已知條件以及要解決的問題。 

   通過未知數(shù)的不同設(shè)法，體會從不同角度分析問題、解決問題的方法，培養(yǎng)

 

 

學(xué)生的創(chuàng)新精神。 

活動3、成就自我 

《九章算術(shù)》“勾股”章中甲乙相遇問題 

《九章算術(shù)》“勾股”章中有一題:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會.問甲乙各行幾何?” 

大意是說:已知甲,乙二人同時從同一地點出發(fā),甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向東走,甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時,甲,乙各走了多遠?” 

 學(xué)生獨立完成 教師評價 

【師生活動】 展臺展示學(xué)生解題過程學(xué)生獨立分析、解決甲乙相遇問題 投影 

通過解決古文字應(yīng)用題，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，增強學(xué)生熱愛中國數(shù)學(xué)文化的意識。  

課后作業(yè) 

必做題：軍艦、補給船相遇問題 變式：如果軍艦的速度是補給船的

 

第9頁 

1.2倍（題中其他條件不變），那么軍艦與補給船應(yīng)在哪段相遇？并求出相遇時補給船航行了多少海里? 

 

 

選做題：收集一元二次方程解決那

些問題？ 

課堂小結(jié) 

利用一元二次方程解決實際問題，你經(jīng)歷了哪些過程？這三個問題的相同點是什么？這三個問題的不同點是什么？ 

這三個問題的相

同點是什么？ 

這三個問題的不同點是什么？  

【教師活動】 今天我們解

決的梯子下滑問題、航海問題都是通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立一元二次方程來解決的，其實一元二

 

 

 

 

 

第10頁 

次方程的應(yīng)用遠遠不只這些，在以后的學(xué)習(xí)中，還有更多的實際問題需要我們?nèi)ヌ剿鳌?【設(shè)計意圖】 學(xué)生自主回憶解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的能力。