視頻標(biāo)簽：直線與圓的,位置關(guān)系

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關(guān)系-河南省 - 洛陽

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教學(xué)目標(biāo)
1. 掌握直線與圓的三種位置關(guān)系;熟練掌握判斷位置關(guān)系的兩種方法,能夠解決一些簡單的與直線與圓位置關(guān)系相關(guān)的問題。
2.(1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、探索、總結(jié)直線與圓位置關(guān)系的判斷方法的過程,從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、概括的邏輯思維能 力;
   (2)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),要讓學(xué)生經(jīng)歷如下過程;將幾何問題代數(shù)化,分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義,最終解決幾何問題,幫助學(xué)生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”和“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法。
3. 激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生積極探索、發(fā)現(xiàn)新知識、總結(jié)規(guī)律的能力,解題時養(yǎng)成歸納總結(jié)的良好習(xí)慣。
2教學(xué)內(nèi)容解析
      本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》必修2第四章《圓與方程》第二節(jié)。“直線、圓的位置關(guān)系”的第一課時,它是在學(xué)生已經(jīng)掌握“直線的方程”和“圓的方程”的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究直線與圓的位置關(guān)系。
      本節(jié)課的核心內(nèi)容是如何借助直線的方程和圓的方程來判斷直線與圓的位置關(guān)系,通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握兩種判斷方法。一種方法,根據(jù)學(xué)生初中學(xué)習(xí)直線與圓相交、相切、相離的定義的基礎(chǔ)上,將直線的方程與圓的方程聯(lián)立方程組。通過討論方程組的解的不同情況來判斷。本方法主要突出坐標(biāo)法的思想且具有一般性,可類比地推廣到對橢圓、雙曲線、拋物線同類問題的研究中。另一種方法,利用圓心到直線的距離與半徑比較。該方法涉及到把點(diǎn)與坐標(biāo)、直線與方程聯(lián)系起來,實(shí)現(xiàn)空間形式與數(shù)量關(guān)系的結(jié)合。該方法屬圓的個性范疇,不能推廣。
 
3重點(diǎn)難點(diǎn)
 用坐標(biāo)法判斷直線與圓的位置關(guān)系。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn),在教學(xué)中借助幾何畫板可以幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究。
4教學(xué)過程
4.1第一學(xué)時
4.1.1教學(xué)活動
活動1【導(dǎo)入】判斷直線與圓的位置關(guān)系
問題1:老師畫出一個圓,并任意畫出一條直線,學(xué)生判斷直線與圓的位置關(guān)系。
【設(shè)計(jì)意圖】:利用電腦的分辨率造成誤解,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過圖形判斷直線與圓的位置關(guān)系會存在一定的誤差。為后續(xù)引出用坐標(biāo)法解決問題做鋪墊。
活動2【活動】探討通過定量運(yùn)算判斷直線與圓位置關(guān)系的方法
 思考1:既然觀察存在誤差,思考不通過圖形如何判斷直線與圓的位置關(guān)系?
【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生引出定量運(yùn)算。可以將直線方程與圓的方程聯(lián)立得到方程,判斷交點(diǎn)個數(shù)。也可以算出圓心到直線的距離d,再與半徑 r比較。
思考2:如何利用坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn)定量運(yùn)算?
【設(shè)計(jì)意圖】用坐標(biāo)法解決幾何問題時,先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點(diǎn)、直線、圓; 然后對坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,最后再把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論。讓學(xué)生體驗(yàn)坐標(biāo)法的思想。借助幾何畫板平臺,讓學(xué)生真正理解“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系。
   師生活動:教師提問,學(xué)生思考、回答,教師根據(jù)學(xué)生回答情況及時進(jìn)行補(bǔ)充。
【設(shè)計(jì)意圖】以問題為載體,幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、整理已有的知識結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
 
 
活動3【活動】總結(jié)直線與圓位置關(guān)系的判定方法
方法一:將直線方程與圓的方程聯(lián)立,根據(jù)方程組解的情況來判斷。
             (1) 當(dāng)方程組有兩組實(shí)數(shù)解時,直線與圓相交;
             (2) 當(dāng)方程組有一組實(shí)數(shù)解時,直線與圓相切;
             (3) 當(dāng)方程組沒有實(shí)數(shù)解時,直線與圓相離。
方法二:設(shè)圓的半徑為d ,圓心到直線的距離為r ,
             (1 )當(dāng)d<r 時,直線與圓相交;
             (2) 當(dāng)d=r 時,直線與圓相切;
             (3) 當(dāng)d>r時,直線與圓相離。
活動4【講授】判斷直線與圓的位置關(guān)系
例::已知直線 l : 3x+y−6=0 和圓心為C的方程x²+y²−2y−4=0  ,判斷直線 l ​與圓的位置關(guān)系;如果相交,求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)。
師生活動:學(xué)生練習(xí)鞏固,教師巡視指導(dǎo),安排學(xué)生展示,并提出解題的規(guī)范要求。
思路1:通過方程的研究,研究公共點(diǎn)的個數(shù),不借助幾何。
思路2:借助幾何方法,直線到圓心的距離(通過距離公式)與半徑的關(guān)系。
教師:;為什么方程組有兩組實(shí)數(shù)解就表明它們有兩個交點(diǎn)?(代數(shù)到幾何)
【設(shè)計(jì)意圖】:突出解析法的思想,幾何關(guān)系用代數(shù)方法解決,由代數(shù)結(jié)果得到相應(yīng)的幾何結(jié)論。進(jìn)一步對兩種方法進(jìn)行對比。一種方法不能解決公共點(diǎn)的坐標(biāo);另一種方法具有一般性,可以解決公共點(diǎn)的坐標(biāo)。
 
活動5【練習(xí)】兩人一組，互相出題
請你寫出一條請你寫出一條過點(diǎn)(3,3) 的直線和一個以點(diǎn) (2,0) 為圓心的圓的方程,判斷它們之間的位置關(guān)系并說明理由。
【設(shè)計(jì)意圖】:這是從代數(shù)到幾何。讓學(xué)生自己命題,畫圖,并說明自己是怎樣來命題的。
 
活動6【講授】研究直線與圓相切時，求切線方程。
 例2:已知圓C:x²+y²=25  ,
    1.過A(3,4) 作圓的切線,求切線方程。

    2.過B(1,−7) 作圓的切線,求切線方程。
 例3:求過點(diǎn)(2,2) 且與圓相x²+y²−2x=0 相切的直線方程。
 
師生活動;學(xué)生思考,教師指導(dǎo),并提出解題的規(guī)范要求。
【設(shè)計(jì)意圖】指導(dǎo)學(xué)生掌握經(jīng)過圓上或圓外一點(diǎn)與圓相切的直線方程。
活動7【活動】本節(jié)課小節(jié)
教師:今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?你有哪些收獲?
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己小結(jié),加深對本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)識,提高學(xué)生用數(shù)學(xué)語言歸納的能力,同時也培養(yǎng)了學(xué)生合作交流的能力。
 
活動8【作業(yè)】作業(yè)
已知直線 3x−4y−7=0 與圓心為N(1,3) 的圓C 相切,求圓C 的方程。
【設(shè)計(jì)意圖】通過直線與圓的位置關(guān)系,求圓的方程,幫助學(xué)生運(yùn)用逆向思維來解決問題,同時達(dá)到掌握本節(jié)課知識的目的。
 

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