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視頻標簽：函數的單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修1第一章1.3.1函數的單調性-河南
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高中數學人教A版版必修1第一章1.3.1函數的單調性-河南省 - 濟源
教學目標
1.使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念,初步掌握利用函數圖象和定義判斷、證明函數單調性的方法.
2.通過對函數單調性定義的探究,滲透數形結合的思想方法,培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數單調性的證明,提高學生的推理論證能力.
3.通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣,讓學生感知從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認知過程.
2學情分析
高中學生對函數概念有一個初步的了解,對函數的性質僅是剛剛接觸,讓學生從形到數的體會概念。
3重點難點
【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明.
【教學難點】 根據定義證明函數的單調性.
【教學方法】 教師啟發講授,學生探究學習.
【教學手段】 計算機、投影儀.
4教學過程
4.1一、創設情境，引入課題 下面的圖為濟源市冬天某一天24小時內的氣溫變化圖．觀察氣溫變化圖： 問題：觀察圖形，從圖中你能看出溫度的變化趨勢嗎？ 學生：某些時段溫度升高，某些時段溫度降低. 教師指出：在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：你還能舉出其他數據的變化嗎？ 學生：水位高低、降雨量、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數觀點看，其實這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．
4.1.1新設計
二、歸納探索,形成概念
對于自變量變化時,函數值是變大還是變小,是函數的重要性質,稱為函數的單調性,同學們在初中對函數的這種性質就有了一定的認識,但是沒有嚴格的定義,今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.
1.借助圖象,直觀感知
問題1:分別觀察函數 的圖象,并且觀察自變量變化時,函數值的變化規律?
幾何畫板動態演示,同時提問:
觀察 的圖像上的動點A的坐標,點A從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?
觀察 的圖像上的動點A的坐標,點A從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?
教師總結:通過這兩個函數圖象我們看出,對于自變量變化時,函數值具有兩種變化規律,我們分別稱之為增函數和減函數
現在我們觀察 的圖像上的動點A的坐標,從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?(大家一起回答)
觀察 的圖像上的動點A和動點B的坐標,從左向右移動,隨著x的增大y有什么變化?(大家一起回答)
教師總結:通過這兩個函數圖象我們看出,對于自變量變化時,函數值是變大還是變小是針對函數定義域的某個區間而言的,是函數的局部性質。
問題2:能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數嗎?
學生:如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數 在該區間上為增函數;如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們說函數 在該區間上為減函數.
教師:這種認識是從圖象的角度得到的,是對函數單調性的直觀、描述性的認識.
練習: 如圖是定義在閉區間[-5,5]上的函數 y = f(x)的圖象, 根據圖象說出函數的單調區間.
〖設計意圖〗從圖象直觀感知函數單調性,完成對函數單調性的第一次認識.
2.抽象思維,形成概念
問題1:根據下面函數的圖象,你能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減函數嗎?
學生的困難是難以確定分界點的確切位置.
通過觀察,使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.
〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性.
問題2:如何從解析式的角度說明 在 上為增函數?
預案: (1) 在給定區間內取兩個數,例如2和3,因為22<32,所以 在 上為增函數.
(2) 仿(1),取多組數值驗證均滿足,所以 在 為增函數.
(3) 任取 ,因為 ,即 ,所以 在 上為增函數.
對于學生錯誤的回答,引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量 .
〖設計意圖〗把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調性的方法,為第三階段的學習做好鋪墊.
問題3:你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?
師生共同探究,得出增函數嚴格的定義,然后學生類比得出減函數的定義.
(1)板書定義
(2)鞏固概念
判斷題:
① .
②若函數 .
③若函數 在區間 和(2,3)上均為增函數,則函數 在區間(1,3)上為增函數.
④因為函數 在區間 上都是減函數,所以 在 上是減函數.
通過判斷題,強調三點:
①單調性是對定義域內某個區間而言的,離開了定義域和相應區間就談不上單調性.
②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數),有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數),有的函數根本沒有單調區間(如常函數).
③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增(或減)函數,一般不能認為函數在 上是增(或減)函數.
思考:如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數?
〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學生對定義的理解,完成對概念的第三次認識.
三、掌握證法,適當延展
例1 證明函數 在 上是增函數.
四、歸納小結,提高認識
學生交流在本節課學習中的體會、收獲,交流學習過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結.
1.小結
(1) 概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2) 證明方法和步驟:設元、作差、變形、斷號、定論.
(3) 數學思想方法:數形結合.
2.作業
書面作業:課本第39頁 習題1.3 第2,3題.
課后探究:研究函數 的單調性.
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