視頻標簽：函數的單調性

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視頻課題：高中數學人教A版版必修1第一章1.3.1函數的單調性-貴州省優課

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《函數的單調性》教學設計 
一、教學內容解析 
本節內容是人教A版必修一教材第一章第三節內容，是一節概念性知識，屬于函數的基本性質．本節內容是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，也是第一個用數學符號語言來刻畫的概念，起著承前啟后的作用．一方面，初中數學的許多內容在解決函數的某些問題中得到了充分的運用，另一方面，函數的單調性與前一節函數的概念和圖像的知識的延續有著密切的聯系。函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性等內容的基礎，在研究各種具體函數的性質和應用、解決各種問題中都有著廣泛的應用． 
二、教學目標設置 
1．理解函數單調性的相關概念。掌握證明簡單函數單調性的方法。 
2．從具體的二次函數2
xy在區間),0(上為增函數入手，通過學生對“y值隨x的增大
而增大”的逐層深入認識，將自然語言轉化為數學符號語言，教師再加以合理引導，順利突破本課第一個難點。使學生從形與數兩方面理解增、減函數的概念，掌握運用函數圖像和單調性的定義判斷函數單調性的方法. 
3．通過探究函數單調性，讓學生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無限、從感性到理性的認知過程，體驗數學的理性精神和力量。 
4．引導學生參與課堂學習，進一步養成思辨和嚴謹的思維習慣，鍛煉探究、概括和交流的學習能力。 
三、學生學情分析 
學生在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數的基礎上對函數的增減性有一個初步的感性認識，已具備了一定的觀察事物能力和抽象思維能力，但對于感性思維向理性思維的過渡仍有一定的障礙，對于自然語言向符號語言的轉化，學生會覺得比較困難.另外，單調性的證明是學生在函數學習中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的. 
四、重、難點分析 
 
                    
             
                    
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重點：增、減函數概念的形成及單調性的初步應用. 
難點：增、減函數的概念形成以及根據定義證明函數的單調性.  
難點突破策略： 
（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． 
（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟． 
（3）教師啟發引導，組織學生交流研討，展現思維過程．  
五、教學過程設計 
【教學過程】 
（一）創設情境，明確目標  生活中的實例： 
情境一：我縣某日24小時內的氣溫變化圖．   
情境二：艾賓浩斯記憶遺忘曲線  
生活中很多與數據相關的問題：比如燃油價格， 股票行
情，水位高低等等，了解這些數據的變化規律，對我們的生活很有幫助．而這些數據的變化，用函數的觀點看，其實就是隨著自變量變化時，函數值的變化規律． 【設計意圖】由生活情境引入新課，激發興趣． （二）觀察探究，形成新知 
問題：觀察函數fxx，2
()fxx的圖象隨自變量x的增大，是如何變化的？ 
學生獲取函數2
fxx的圖象升降特點后，教師以函數2
()fxx為例，初步認識函
數單調性： 
函數2
()fxx的圖象在y軸左側隨著自變量x增大而下降，我們說函數2
()fxx在
 
                    
             
                    
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區間-0，上是減函數；在y軸右側隨著自變量x增大上而升，就說函數2()fxx在區間
0+，
上是增函數． 師生活動：教師引導，學生觀察圖象從左至右的變化情況，并回答問題． 
【設計意圖】函數的變化規律反映了函數的性質，研究函數的變化規律使我們更能夠把握相應事物的變化規律，引出研究函數性質的實際意義．培養學生讀圖和分析總結規律的能力． （三）例題講解 
例1、定義在區間5,5-上的函數)(xfy的圖象，根據圖象說出)(xfy的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數． 
 
【教師活動】引導學生理解函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．并提出圖像解決問題不夠精確嚴謹，還要有數量上的準確刻畫． 
【設計意圖】從“形”的角度直觀理解函數單調性的意義，并鋪墊單調性是一個區間概念．  
通過例1的講解，學生已經能從直觀上理解函數的單調性及單調區間，于是可以自然地
過度到讓學生自己畫圖來探索函數的單調性。 【課堂練習】 
練習1 畫出下列函數的圖像，并寫出單調區間． 
（1）y= - x2
+2 (2) y= 1
x  (x0)  
【拓展提升】試指出函數y =－x2 +2 | x | + 3的單調區間 
【設計意圖】在函數的表示方法中學生已經能夠畫出基本函數的圖像，學了本節知識后前后聯系起來，承上又啟下。  
 
                    
             
                    
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例2、物理學中的玻意耳定律V
k
p（為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積減小時，壓強
將增大．試用函數的單調性證明之． 
 
【課堂練習】練習2：證明函數12)(
xxf在)0,(上是減函數。 
 
【拓展提升】畫出反比例函數x
xf1
)(
的圖象. （1）這個函數的定義域I是什么？ 
（2）它在定義域I上的單調性是怎樣的？證明你的結論. 
【學生活動】自主完成，展示過程． 
【教師活動】引導學生歸納證明函數單調性的步驟：取值、比較、變形、定號、結論． 投影學生證明過程，進行點撥和要點強調． 
【設計意圖】學生體會：通過數形結合思想的運用，觀察圖象，先對函數是否具有某種性質進行猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數性質的一種常用方法．  
六、歸納小結，整理提高  
學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 
1．小結 
(1)函數的單調性定義。 (2) 定義域上的“局部”性質。 (3) 證明函數的單調性的基本步驟。 
關鍵詞：三種語言，證明方法，數學思想，情感體驗 2．作業 
書面作業：課本第39頁 習題1.3 A組第1、2題． 
課后探究：研究一次函數、二次函數、反比例函數的單調性。  
七、板書設計：  
 
                    
             
                    
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課后反思： 
教學要源于生活。有些老師認為數學很古板，其實數學都源于生活，只要從學生的生活中提取出數學例子，再難再生硬的數學問題都會變得生動有趣。本課中，以學生爬山的經歷、艾賓浩斯記憶遺忘曲線切入主題，輕松且自然，讓學生在不知不覺中就進入了函數單調性的課題。 
 
本節從具體的二次函數到一般函數，使學生把定義與直觀圖象結合起來，加深對概念的理解，得出函數單調性的數學語言,這體現了從具體到抽象、從特殊到一般的數學思想。教師再用圖像說明，分析定義，提問等辦法，滲透數形結合分析問題的數學思想方法。 
 
    針對不同的學生設置不同的問題。每個學生的知識基礎和認知水平是不一樣的，如果設置問題“一鍋端”的話，那多數學生都感到很模糊。因此，提問要有層次性，對優生可設置一些能力提升題，對后進生可設置一些基礎題。例如，對例1后的課堂練習，可要求優等生全部完成，對后進生則完成第一題久可以了。爭取讓每個學生都能參與到課堂中，體驗到成功的喜悅。      
最后，要多鼓勵學生，這也是最重要的一點。每個人都希望得到贊美，尤其對學生而言，老師的一個肯定的眼神、贊許的目光、深情的微笑都會給他們帶來無窮的力量。高中數學知識的確很難，很多學生不是不想學，是花了心思而得不到效果，這時，如果老師能多鼓勵學生，為學生加油打氣，那他們就會重拾信心，做得更好。 

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