視頻標(biāo)簽：函數(shù)的單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修1第一章1.3.1函數(shù)的單調(diào)性-重慶

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高中數(shù)學(xué)人教A版版必修1第一章1.3.1函數(shù)的單調(diào)性-重慶市江津-函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

  §1.3.1函數(shù)的單調(diào)性
一、教學(xué)內(nèi)容解析
本節(jié)課內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)》人教A版必修1第一章《集合與函數(shù)概念》1.3《函數(shù)的基本性質(zhì)》中第1.3.1節(jié)《單調(diào)性與最大（小）值》的第一課時(shí)，本節(jié)教學(xué)內(nèi)容為函數(shù)的單調(diào)性．函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)．也是第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律；學(xué)生對(duì)于這些概念的認(rèn)識(shí)，都要經(jīng)歷直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義三個(gè)階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)圖形語(yǔ)言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過(guò)程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).
 函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、解決各種問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用．函數(shù)單調(diào)性概念的建立過(guò)程中蘊(yùn)涵諸多數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于進(jìn)一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有很強(qiáng)的啟發(fā)與示范作用．函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)不等式、極限、導(dǎo)數(shù)等其它數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用工具，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材.
在研究單調(diào)性過(guò)程中，經(jīng)歷觀察圖象，描述函數(shù)圖象特征；結(jié)合圖、表，用自然語(yǔ)言描述函數(shù)圖象特征；用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法．加強(qiáng)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般．為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)．
在對(duì)函數(shù)單調(diào)性的探究過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力；讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程．
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能：能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握判別函數(shù)單調(diào)性的方法；
2．過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生親歷函數(shù)單調(diào)性從直觀感受、定性描述到定量刻畫(huà)的自然跨越，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論和類(lèi)比等思想方法。
3．情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)探究函數(shù)單調(diào)性，讓學(xué)生感悟從具體到抽象、從特殊到一般、從局部到整體、從有限到無(wú)限、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神和力量。
（二）目標(biāo)解析
1．能夠以具體的例子說(shuō)明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；能夠舉例，并通過(guò)繪制圖形說(shuō)明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個(gè)定義域上未必具有單調(diào)性，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù).
2．在探究函數(shù)單調(diào)性定義時(shí)，領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、變化與對(duì)應(yīng)思想，并能運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想觀察、分析函數(shù)的圖象，探究、歸納、概括函數(shù)單調(diào)性的概念．
3．通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納的認(rèn)知過(guò)程，將函數(shù)圖象的“上升”或“下降”這一特征能用該區(qū)間上“任意的，都有”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行刻畫(huà).從函數(shù)入手歸納函數(shù)單調(diào)性定義推廣到一般函數(shù)的單調(diào)性定義.培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高思維能力．
三、學(xué)生學(xué)情分析
學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，初步認(rèn)識(shí)到函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，并且學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，能熟練的利用描點(diǎn)法畫(huà)出這些函數(shù)的圖象.進(jìn)入高中以后又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，認(rèn)識(shí)到函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)．知道函數(shù)有三種表示方法，充分認(rèn)識(shí)到一個(gè)函數(shù)中自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以利用圖象表示函數(shù)中函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律和性質(zhì).
教學(xué)中，通過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體的函數(shù)圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，即“隨著的增大而增大”，僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學(xué)生并不感到困難.困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性特征抽象出來(lái)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言描述.即把某區(qū)間上“隨著的增大而增大”這一特征用該區(qū)間上“任意的，都有”進(jìn)行刻畫(huà).其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的．并初步提出單調(diào)遞增的說(shuō)法，通過(guò)圖象觀察，提出猜想，經(jīng)歷討論、交流、驗(yàn)證使學(xué)生克服思維障礙，經(jīng)歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識(shí)的過(guò)程．
四、重、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念；
難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念的形成過(guò)程。
五、教學(xué)策略分析
在學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程中會(huì)存在兩方面的困難：一是如何把“y隨x的增大而增大（減小）”這一描述性語(yǔ)言“翻譯”為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)化語(yǔ)言，尤其抽象概括出用“任意”刻畫(huà)“無(wú)限”現(xiàn)象；二是用定義證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。對(duì)高一學(xué)生而言，作差后的變形和因式符號(hào)的判斷也有一定的難度。
為達(dá)成課堂教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我們主要采取以下形式組織學(xué)習(xí)材料：
（1）創(chuàng)設(shè)生活情境，找準(zhǔn)切入點(diǎn)．函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的模型，生活中很多運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象都值得去關(guān)注，讓學(xué)生通過(guò)觀察江津區(qū)四面山某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢(shì)，完成對(duì)單調(diào)性直觀上的一種認(rèn)識(shí)，并為概念的引入提供了必要性．讓學(xué)生帶著問(wèn)題（什么是函數(shù)的單調(diào)性？怎樣判定函數(shù)的單調(diào)性？）進(jìn)入新課．
（2）探索概念階段，緊扣主線．在函數(shù)圖象上“譜好”函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的“三步曲”．
①以學(xué)生熟悉的函數(shù)為例，讓學(xué)生從圖象上獲得“上升”“下降”的整體認(rèn)識(shí)，初步認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性．
②通過(guò)觀察函數(shù)的對(duì)應(yīng)值表格提出猜想，通過(guò)幾何畫(huà)板軟件加以驗(yàn)證，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言“隨著的增大而增大” 來(lái)描述 “函數(shù)的圖象在軸右側(cè)是上升的”，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)單調(diào)性．
③通過(guò)觀察、猜想、分析、驗(yàn)證、證明的過(guò)程，從而用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定描述函數(shù)在的單調(diào)性.最后通過(guò)類(lèi)比，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言定義一般函數(shù)的單調(diào)性．
（3）注重思想方法的培養(yǎng)．從函數(shù)圖象的觀察出發(fā)，經(jīng)歷從直觀到抽象，從圖形語(yǔ)言到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，進(jìn)而理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過(guò)程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般思想．掌握通過(guò)觀察圖象，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過(guò)邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數(shù)性質(zhì)的常用方法．
（4）在“引導(dǎo)探索”階段。 首先創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識(shí)到繼續(xù)學(xué)習(xí)的必要性；然后設(shè)置遞進(jìn)式“問(wèn)題串”，借助多媒體引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“y隨x的增大而增大”進(jìn)行探究、辨析、嘗試、歸納和總結(jié)，并回顧已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性從“直觀性”到“描述性”再到“嚴(yán)謹(jǐn)性”的跨越。
（5）在“學(xué)以致用”階段。 首先通過(guò)看圖說(shuō)出單調(diào)區(qū)間，形成對(duì)概念正確、全面而深刻的認(rèn)識(shí)。 然后教師示范用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，一起提煉基本步驟，強(qiáng)化變形的方向和符號(hào)判定方法。
六、學(xué)習(xí)探究過(guò)程
（一）   創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
實(shí)例: 請(qǐng)觀察江津區(qū)四面山某日24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖，你能說(shuō)出這一天的氣溫變化趨勢(shì)嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)不同，如氣溫的最值，某時(shí)刻的氣溫，某時(shí)間段氣溫的升降變化（若學(xué)生沒(méi)指明時(shí)間段，可追問(wèn)），等。 圖象在某區(qū)間上（從左往右）“上升”或“下降”的趨勢(shì)反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)——單調(diào)性（板書(shū)課題）。
設(shè)計(jì)說(shuō)明：從氣溫變化圖導(dǎo)入新課，直觀形象感知?dú)鉁刈兓�，自然引入函�?shù)的單調(diào)性。
 函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。 如果清楚了函數(shù)的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應(yīng)實(shí)物的變化規(guī)律。在事物變化過(guò)程中，保存不變的特征就是這個(gè)事物的性質(zhì)。因此，研究函數(shù)的變化規(guī)律是非常有意義的。
（二）自主探究
問(wèn)題1:任意寫(xiě)出一個(gè)函數(shù)的解析式及定義域(1) 列出一些自變量x的值，計(jì)算相應(yīng)的y值；(2) 畫(huà)出草圖，觀察圖像的上升、下降趨勢(shì)，并指出y值隨x的增大如何變化。

函數(shù)
列表	x                 y
描點(diǎn)法 畫(huà)圖象	x y

步驟：
1．個(gè)人獨(dú)立完成或?qū)W習(xí)小組合作完成     2分鐘
2.  展示探究成果                       2分鐘
設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)生回答時(shí)可能會(huì)漏掉“在某區(qū)間上”，規(guī)范表達(dá)“函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上具有怎樣的單調(diào)性”。 借此強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)相對(duì)某區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)。
（二）  引導(dǎo)探索，生成概念
問(wèn)題2.（1）如何用數(shù)學(xué)符號(hào)描述函數(shù)圖象的“上升”特征，即“y隨x的增大而增大”？
以二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性為例，用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（每一秒生成一對(duì)數(shù)據(jù)）。
橫坐標(biāo)為X，縱坐標(biāo)為Y，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的變化情況y隨x的增大而增大”，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示這一變化趨勢(shì)，學(xué)生思考、討論得出，若，則必須有。
（2）已知，若有。能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
在區(qū)間上取兩個(gè)點(diǎn)，能保證遞增嗎？拖動(dòng)“拖動(dòng)點(diǎn)”改變函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增。
（3）已知，若有，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
在區(qū)間上取三個(gè)點(diǎn)，能保證遞增嗎？
拖動(dòng)“拖動(dòng)點(diǎn)”，觀察函數(shù)在區(qū)間上的圖象變化。
設(shè)計(jì)說(shuō)明：先讓學(xué)生討論交流、舉反例，然后借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)說(shuō)明驗(yàn)證兩個(gè)定點(diǎn)不能確定函數(shù)的單調(diào)性，三個(gè)點(diǎn)也不行，無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)行不行呢？引導(dǎo)學(xué)生過(guò)渡到符號(hào)化表示，呈現(xiàn)知識(shí)的自然生成。
（4）已知，若有
，能保證函數(shù)在區(qū)間上遞增嗎？
在區(qū)間上取無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)呢？大家討論一下
設(shè)計(jì)說(shuō)明：可先請(qǐng)持贊同觀點(diǎn)的同學(xué)說(shuō)明理由，再請(qǐng)持反對(duì)意見(jiàn)的學(xué)生畫(huà)出反駁，然后追問(wèn)：無(wú)數(shù)個(gè)也不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦呢？若學(xué)生回答全部取完或任取，追問(wèn)“總不能一個(gè)一個(gè)的驗(yàn)證吧？”
緊接著師生一起回顧子集的概念，（PPT展示教材上子集定義）再次體驗(yàn)對(duì)“任意一個(gè)”進(jìn)行操作，實(shí)現(xiàn)“無(wú)限”目標(biāo)的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)用“任意”來(lái)處理“無(wú)限”的數(shù)學(xué)思想。
問(wèn)題3：對(duì)于一般的函數(shù)定義域?yàn)镮，在區(qū)間D上，我們應(yīng)當(dāng)如何給增函數(shù)下定義？
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?img height="17" src="file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image066.gif" width="13" />：
如果對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．
師生活動(dòng)：學(xué)生思考、發(fā)言，教師補(bǔ)充、板書(shū)．
【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
問(wèn)題4：類(lèi)比增函數(shù)的定義，對(duì)于一般的函數(shù)，我們應(yīng)當(dāng)如何給減函數(shù)下定義？
教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比、觀察、驗(yàn)證、交流后，得出減函數(shù)定義
師生活動(dòng)：小組討論，代表發(fā)言交流．
（三）  學(xué)以致用，理解感悟
例1 下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

 
 

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖象，獨(dú)立完成，教師解答學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題．如：
注意：①單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，在書(shū)寫(xiě)時(shí)區(qū)間與區(qū)間之間用逗號(hào)隔開(kāi)。如果用并集符號(hào)，不符合單調(diào)性定義；
②本題中，因?yàn)楣铝⒌狞c(diǎn)沒(méi)有單調(diào)性，所以區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫(xiě)開(kāi)寫(xiě)閉均可
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生能夠通過(guò)函數(shù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的理解．
例2．反比例函數(shù)的單調(diào)性
①畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，并說(shuō)出函數(shù)的定義域是什么？
②它在定義域上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論．
師生活動(dòng)：學(xué)生討論，代表發(fā)言，提出猜想，證明猜想．、
分析：?jiǎn)?：除了圖象法判定函數(shù)單調(diào)性還有什么方法？
        2：如何用定義法判定函數(shù)單調(diào)性？
        3：用定義判定函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是什么？（提示如何比較3和2的大小，從而引入作差法）
【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生體會(huì)：通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，觀察圖象，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)進(jìn)行猜想，然后通過(guò)邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法．
思考：物理學(xué)中的玻意耳定律(為正常數(shù))告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積減小時(shí)，壓強(qiáng)將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．
【設(shè)計(jì)意圖】利用單調(diào)性證明物理學(xué)中的玻意耳定律，學(xué)生感受到函數(shù)單調(diào)性的初步應(yīng)用；熟悉用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)的基本步驟．
（四）回顧反思，深化認(rèn)識(shí)
課堂小結(jié)： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的主要收獲有哪些？
（關(guān)鍵詞：三種語(yǔ)言，證明方法，數(shù)學(xué)思想，情感體驗(yàn)，等。）
① 概念探究過(guò)程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．
2證明方法和步驟：取值并規(guī)定大小、作差并判斷差值的正負(fù)、下結(jié)論．
③數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類(lèi)比等．
【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生深切體會(huì)到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法．
（五）布置作業(yè)
1.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：第39頁(yè)習(xí)題1.3   A組：1、2；

2.思考探究：函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，則函數(shù)在區(qū)間D上是               ．（填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”）
（六）板書(shū)設(shè)計(jì)

函數(shù)的單調(diào)性 遞增：（板書(shū)定義） 遞減：（學(xué)生類(lèi)比）

例題（提煉步驟，明確變形方向） 練習(xí)（學(xué)生板演）

 
 
 

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