視頻標(biāo)簽：函數(shù)的單調(diào)性

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高中數(shù)學(xué)人教A版版必修1第一章1.3.1函數(shù)的單調(diào)性-河北

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§1.3函數(shù)的單調(diào)性（人教版必修一）教案 
一、教材分析 
1、地位及作用 
本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念的基礎(chǔ)上所研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)，常伴隨著函數(shù)的定義域、值域、最值、奇偶性等其它性質(zhì)出現(xiàn)。它既是在學(xué)生學(xué)過函數(shù)概念、圖象、表示方法等知識后的延續(xù)和拓展，又是后面研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等各類函數(shù)的基礎(chǔ)，同時單調(diào)性在比較大小、解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)以及其它知識的綜合應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。研究函數(shù)單調(diào)性的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“數(shù)形結(jié)合”和“從特殊到一般”的思想方法，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大意義。 
2、教學(xué)目標(biāo) 
1）、知識目標(biāo)：（1）理解單調(diào)性概念，掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（2）函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖助數(shù)的過程，在這個過程中，通過自主探究活動，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程。 
2）、能力目標(biāo)： 在探索過程中培養(yǎng)分析、歸納、抽象思維及推理判斷能力。初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會中的簡單問題。 
3）、情感目標(biāo)： 在參與過程中體驗(yàn)成功的喜悅，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的自信。 
3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)   難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性定義。 
重點(diǎn)：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。 
二、教學(xué)方法 
根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)采用探索式的教學(xué)方法，利用啟發(fā)、合作探究、由淺入深進(jìn)行教學(xué)，以激發(fā)學(xué)生思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以熟悉的問題引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動學(xué)生主體參與的積極性。在鼓勵學(xué)生主體參與的同時，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，教會學(xué)生清晰的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评�，并順利地完成書面表達(dá)。  
三、學(xué)法分析 
1、讓學(xué)生利用圖形直觀啟迪思維，并通過對比構(gòu)造，來完成從感性認(rèn)識到理性思維質(zhì)的飛
 
                    
             
                    
                             
 2 
躍，不斷體驗(yàn)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。 
2、讓學(xué)生從問題中質(zhì)疑、嘗試、歸納、總結(jié)、運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題的能力。 
四、教學(xué)過程 
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要內(nèi)容，函數(shù)的性質(zhì)是它的核心，函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用是關(guān)鍵。它已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個分支，比如三角函數(shù)、不等式、數(shù)列等，應(yīng)用非常廣泛。正因?yàn)槿绱�，它是每年高考必考題。今天老師將帶領(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)函數(shù)的第一個性質(zhì)：單調(diào)性。 
（一） 創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課 
觀察下面兩個圖，說說國民生產(chǎn)總值與全國耕地面積隨年份的變化情況： 
同學(xué)們，喜歡數(shù)學(xué)嗎？喜歡數(shù)學(xué)就一定能夠?qū)W好數(shù)學(xué)！下面我們看數(shù)學(xué)家眼中的數(shù)學(xué)： 
數(shù)學(xué)正沿著它自己的道路無拘無束的前進(jìn)著，這并不是因?yàn)樗�有什么不受法律約束之類的種種許可證，而是因?yàn)閿?shù)學(xué)本來就具有一種由其本性所決定的并且與其存在相符合的自由.----數(shù)學(xué)家Hankel 
從這段話我們就感受到了數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)的自由和神奇，今天我們開啟一段神奇的數(shù)學(xué)之旅，旅途中，我們欣賞函數(shù)的單調(diào)性。 
我們知道，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容，函數(shù)的性質(zhì)是核心，而性質(zhì)的應(yīng)用是關(guān)鍵，其應(yīng)用已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個分支，如三角函數(shù)、數(shù)列、不等式等，應(yīng)用廣泛，正因?yàn)槿绱�，函�?shù)性質(zhì)是高考必考題。因此我們要引起足夠的重視。 
那何為性質(zhì)，是指在事物發(fā)展變化過程中，始終保持不變的特征，就是實(shí)物的性質(zhì)。下面我們來分析，函數(shù)的單調(diào)性呈現(xiàn)的是函數(shù)的那種變化特征呢？ 
①下面是我國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（人均國內(nèi)生產(chǎn)總值不斷增長：國民生產(chǎn)總值GDP在不斷增加）
 
                    
             
                    
                             
 
3 
 
②全國耕地面積柱形圖，但是國家已經(jīng)出臺確定了全國耕地面積一個最低紅線） 
 
 
什么是性質(zhì)，先從函數(shù)說起，函數(shù)的概念描述了兩個變量之間的相互依賴關(guān)系，揭示出函數(shù)值隨自變量的變化而呈現(xiàn)某種變化的規(guī)律，那么在這個變化過程中始終保持不變的特征就是函數(shù)的性質(zhì)，下面我們開始尋找單調(diào)性所具備的特征。 
問題1觀察函數(shù)的圖象，說說它們的圖像隨x的增大，()fx的值有什么變化？  
x
y
fx() = x + 1
1-1O
x
y
fx() = x + 1
11Ox
y
11
fx() = x2
O
 
從上面的觀察可以看出：不同的函數(shù)，其圖象的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，發(fā)現(xiàn)：一次函數(shù)在R上呈上升和下降趨勢，二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)呈現(xiàn)兩種趨勢，
 
                    
             
                    
                             
 
4 
我們把函數(shù)的這種重要特征總結(jié)為函數(shù)的單調(diào)性。 
這種 “圖像從左到右呈上升趨勢” 的函數(shù)叫增函數(shù)，而把“圖像從左到右呈下降趨勢” 的函數(shù)叫減函數(shù)，通過觀察得到了單調(diào)性的“圖形語言” 
問題2 怎樣描述函數(shù)()fx圖像的“上升”和“下降”趨勢？用自變量與函數(shù)值的變化描述：教學(xué)意圖：從圖像直觀到定性描述，給出增（減）函數(shù)的定義。 
若函數(shù)()fx的值隨x的增大而增大，則稱函數(shù)為增函數(shù)，反之為減函數(shù)。從而得到函數(shù)單調(diào)性的 “文字語言” 
問題3 如何將函數(shù)()fx的值隨x的增大而增大作為增函數(shù)的定義，證明函數(shù)2()fxx在區(qū)間(0,)上是增函數(shù)？能舉一些具體數(shù)據(jù)嗎？這些數(shù)據(jù)能解決在整個區(qū)間上的變化趨勢嗎？怎樣定量刻畫？ 
①“增大”意味著比較：需要建立兩個量的大小關(guān)系。 ②“x增大”的符號化，用兩個自變量的變化表示為：1x＜2x ③“)(xf”的增大符號化：f(1x)＜f(2x) 
④“隨”字的符號化：當(dāng)1x＜2x時，有f(1x)＜f(2x) 
⑤怎樣實(shí)現(xiàn)“所有”，對1x，2x“任取”就可以了。用“任意”突破“無限”，這是數(shù)學(xué)中最經(jīng)典的一種描述。 
（二） 歸納總結(jié) 探究新知 
問題4增（減）函數(shù)定義：一般地，設(shè)函數(shù)()yfx的定義域?yàn)镮， 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量1x，2x，當(dāng)1x＜2x時，都有f(1x)＜f(2x)（或f(1x)>f(2x)）；那么就說)(xf在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)。如果函數(shù)()yfx在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)()yfx在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做)(xfy的單調(diào)區(qū)間。 
實(shí)現(xiàn)了：圖形語言     文字語言     符號語言 。      
y= f(x)
O
x
y
x1
x2
y= f(x)
O
x
y
x1x2
 
                    
             
                    
                             
 
5 
5 
-5 
0 
1 
2 
-3 
   
問題5定義中有4個關(guān)鍵詞：“定義域”、“區(qū)間”、“任意”、“單調(diào)區(qū)間”的意義何在？單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；  
     
    
（三）質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維。 
例1 如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)()yfx，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？  
                        y   
                                              x 
  
變式1：觀察反比例函數(shù)1
yx
的圖像，說出它的單調(diào)區(qū)間，并給以證明：       
Y 
X 
D C B A O x 
y 
o 
 
                    
             
                    
                             
 
6 
 
函數(shù)單調(diào)區(qū)間的寫法：對于區(qū)間的端點(diǎn)如果在定義域內(nèi)用閉區(qū)間，不在用開區(qū)間。 對于反比例函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間一定不能寫成（-∞，0）∪（0，+∞）（數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�。若否定某一結(jié)論，只要舉一反例即可） 
例2 物理學(xué)中的玻意耳定律k
pv
（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積v
減少時，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。 
分析：按題意，只要證明函數(shù)k
pv

在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)即可。解決的一般步驟：建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題，回答實(shí)際問題，（數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用） 
變式2：判斷函數(shù)1
yxx

在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給以證明。 （四）總結(jié)規(guī)律 升華結(jié)論 
問題6利用定義證明函數(shù))(xf在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： ①任取12,xxD，且設(shè)12xx； 
② 作差12()()fxfx，變形（通常是因式分解和配方）； ③定號（即判斷差12()()fxfx 的正負(fù)）； 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須在函數(shù)定義域內(nèi)進(jìn)行。 
證明函數(shù)單調(diào)性的三個步驟：取值→作差→定號 （數(shù)學(xué)是規(guī)范的） 鞏固練習(xí)： 
1.用定義證明1
()2fxx
在（-∞，0）上單調(diào)增 
2.討論函數(shù)2()(0)fxaxa的單調(diào)性，寫出函數(shù))0(2acbxaxy的單調(diào)區(qū)間。 3.若二次函數(shù)2()4fxxax在區(qū)間（-∞，1〕上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。 通過練習(xí)繼續(xù)使學(xué)生們加深對函數(shù)單調(diào)性的理解，并能根據(jù)定義熟練的進(jìn)行證明。 （五）總結(jié)反思 收獲經(jīng)驗(yàn) 
問題8：回顧學(xué)習(xí)過程，有何體驗(yàn)與感悟？ 
今天我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性概念，懂得了如何用定義證明單調(diào)性，如何確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并對單調(diào)性進(jìn)行了簡單應(yīng)用，這是知識層面的收獲。另一方面我們經(jīng)歷并體驗(yàn)了一個概念的形成過程，就是通過觀察，進(jìn)行分析，通過分析特征總結(jié)規(guī)律，最后得到完整的數(shù)學(xué)概念，這個過程就是數(shù)學(xué)抽象的過程，也是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一。所以在平時的學(xué)習(xí)中，我們要養(yǎng)成這種善
 
                    
             
                    
                             
 7 
于觀察、總結(jié)問題的能力，提高我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 
（六）布置作業(yè)：課本P39習(xí)題1.3題（A組）第1-4題。 板書設(shè)計： 
§1.3函數(shù)的單調(diào)性： 
1、 定義： 2、 證明： 3、 應(yīng)用： 
例題： 
教學(xué)反思： 
這節(jié)課是對函數(shù)性質(zhì)的探究發(fā)現(xiàn)過程，我們利用了認(rèn)識事物的一般過程和方法，即、通過圖形觀察特征，通過特征總結(jié)規(guī)律，達(dá)到由特殊到一般的演變，通過圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言，最后把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，形成一個完整精確的數(shù)學(xué)結(jié)論，我們經(jīng)歷并體驗(yàn)了一個完整的“概念”形成過程，是一個數(shù)學(xué)抽象的過程。實(shí)際上，數(shù)學(xué)中的每一個概念、性質(zhì)都是這樣形成的。所以通過這節(jié)課我們不僅學(xué)到了函數(shù)單調(diào)性的知識，更重要的我們要學(xué)會善于觀察、善于分析、善于總結(jié)問題的能力。           
今天的課就上到這，但數(shù)學(xué)的精彩還在繼續(xù)，在數(shù)學(xué)的旅途中，還有更多的風(fēng)景，請同學(xué)們一路欣賞，一路收獲！最后用今天的內(nèi)容獻(xiàn)給同學(xué)們一句話：時刻保持增函數(shù)的特性積極向上，就會創(chuàng)造出驚人的奇跡！祝同學(xué)們心想事成!

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