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視頻標簽：習題的探究,構造全等三角形
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級上冊《習題的探究—構造全等三角形》北京
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初中數學人教版八年級上冊《習題的探究—構造全等三角形》北京市前門外國語學校
教學內容：本節內容主要是通過研究問題，讓學生體會角的軸對稱性，探究利用角平分線構造全等三角形的本質，學會利用截長補短這一構造全等三角形的方法，對角平分線的作用形成整體認識。利用變式練習，讓學生體會解決探究題的喜悅和幸福。
學生情況：我班學生學習數學的習慣較好，多數同學能夠做到課前預習，課后復習，因此基礎知識掌握較為扎實。我對學生進行了課前的角平分線定義和性質定理的隨機檢測，其中班中28名同學可以準確的用文字語言和數學語言描述定義和性質定理；5名同學雖文字語言明確但數學語言描述不清；1名同學性質定理表述不正確。
基礎知識是根本和前提，在了解了學生基礎知識的掌握情況后，又進一步以訪談的形式，針對本節課“利用角平分線構造全等三角形”的知識重點對學習成績處在中等或偏下的14名學生進行了訪談，深入了解了他們對于角平分線的具體認識。發現學生們普遍存在缺乏主動質疑、發現、提出問題的能力。因此本節課著重帶領學生由淺入深、層層遞進，引領學生發現提出并解決問題。
班中仍有一些數學能力較好的學生，他們具有了一定的分析問題和解決問題的能力。針對這樣一些學生，學案上設置了變式題、更深層次的探究題等待著他們去攻克。
教學方式：在新課程環境下，教學過程是師生交往、共同發展的互動過程，多以引導質疑、觀察、探究，使學生在實踐中學習，形成認知沖突，層層遞進。根據學生的實際情況，結合本節的教材的特點我采用“啟發誘導—探索發現”的教學方法。讓學生在觀察、比較、分析、概括等活動中，體驗知識的生成、發展與應用。 教學手段：引導啟發，探究歸納
技術準備：幾何畫板、白板、希沃授課助手
教學目標(內容框架)
知識技能：會用角平分線的軸對稱性和全等三角形的判定定理解決問題。
數學思考：通過對習題的探究，加深學生利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形方法的理解。 問題解決：通過觀察、實踐、驗證、探究，提高學生利用截長補短方法構造全等三角形解決問題的能力。
情感態度：培養學生探究問題的興趣，讓學生體會解決問題的喜悅和幸福，同時增強解決問題的自信心。
教學重點：利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形，掌握利用截長補短構造全等三角形的方法。 教學難點：利用截長補短的輔助線添加方法解決問題。
3
問題框架
1. 期中考試選擇第10題還會嗎？通過考試題復習全等三角形和軸對稱的知識。
2. 變式1可以用多種方法完成嗎？學生不僅學會截長補短的構造全等三角形的方法，更要體會利
用角分線還原軸對稱性的本質。
3. 變式2你有思路嗎？進一步探究利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形的方法。
4. 完成練習。綜合變式1和變式2學習的方法和探究的本質，學以致用，體會解決問題的喜悅。 5. 本節課你有怎樣的收獲？總結學習到的方法和本質。
教學流程示意(可選項)
期中考試題復習全等三角形和軸對稱知識
變式1學習截長補短構造全等的方法 體會角分線構造全等的本質 變式2深入探究 學以致用，鞏固練習 課堂小結
教學過程(文字描述)
本節課分為以下幾部分：
第一部分是復習引入，由期中考試題復習全等三角形和軸對稱的知識。深入挖掘已知條件，分析圖形，為下一道變式題1的引出做鋪墊。
第二部分是變式探究，在此設置了兩道練習。引導學生利用截長補短方法的方法構造全等三角形，同時帶領學生挖掘本質，探究利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形的本質。這一變式題運用了多種方法，設置了學生活動，讓學生組內交流分享，看看能不能更全面靈活的解決這個問題。習題后總結方法和基本圖形，回歸本質。第二道變式題圖形相對復雜，是變式1的升華。讓學生體會由發現到猜想到驗證到證明的思維過程。結論的改變給證明增加了難度，讓學生體會截長補短方法的根本作用，即證明線段和差倍分關系。學生在獨立思考的基礎上分組討論，完成習題。習題后讓學生總結角分垂等腰歸這一基本圖形。
第三部分是學以致用。第三題充分的運用了前面所學知識，可以通過截長的方法，利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形，還可以通過補短的方法，構造角分垂等腰歸的基本圖形。充分體會構造全等三角形的方法和本質。
最后是課堂小結。總結了本節課的教學重點即發現利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形的本質，掌握利用截長補短構造全等三角形的方法。以及突破難點體會截長補短的輔助線添加方法對于解決問題的作用。同時我們還總結了三種基本圖形。希望通過本節課的學習，學生能靈活解題，提升幾何邏輯分析能力。
4
ED
CAB
教學階段
教師活動
學生活動 設置意圖 復習引入 （期中選擇第10題）.如圖，在△ABC中， ∠A=90°， AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，若BC=10cm，則△DEC的周長是（ ）．
A. 5 cm
B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm
學生完成期中考試題目,找出圖形中的全等三角形和軸對稱圖形，復習全等和軸對稱知識。
學生代表說解題思路。
通過已做過的題目復習全等三角形和軸對稱的知識，深入挖掘已知條件，分析圖形，為變式題1做鋪墊。
變式探究 變式1.如圖，∠A=90°， AB=AC，BD平分 ∠ABC，求證：AD+AB=BC．
D
C
BA
分析：
思路1：截長
（1）過D作DE⊥BC于E
（2）在BC截取BE=BA，連接DE
ED
C
BA
思路2：補短
（1）延長BA至F ，使得BF=BC,連接FD
（2）延長BA至F，使得AF=AD,連接FD
FD
C
A
B
總結：
添加輔助線的方法：截長補短；
實質：利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形.
基本圖形：
B
A
OOBC
C
學生獨立思考，教師適當引導，完成變式1。通過學生的討論系統整理多種方法。
學生不僅學會一種解決問題的方法。
學生總結方法，整理基本圖形，理解圖形本質。 學生進一步挖掘已知條件，初步掌握利用角平分線還原軸對稱性構造全等三角形的基本方法。
體會截長補短這一方法，本質在于利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形。
階段小結，讓學生更好的進行變式練習的探究。變式2.已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC， ∠ABC的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD延長線于E.
猜想：BD與CE有怎樣的數量關系？
題目分析：本題要求證明BD和CE兩條線段的倍數關系，通常我們都是將這些倍數關系轉換成證明兩條線段相等，即找一條線段可表示2EC，然后讓其與BD相等即可（或者找一條線段可表示為BD的一半，再讓其與EC相等）。
法一:
方法分析：觀察本題的條件可發現，BE這條線與EC垂直（可看做高）且是∠ABC的角平分線，一條線既是高又是角平分線，故可考慮構造等腰三角形，利用其“三線合一”的性質。 補短：延長BA交CE延長線于F.
補充整理基本圖形：
C
B
A
O
法二：
方法分析：本題也可以構造線段BD的一半，得到幾個等腰三角形，利用角度的計算和全等的知識，轉換線段相等。
截長：取BD中點F，過F作FGBD交BC于G，連結GD.
學生在變式1的基礎上，完成變式2。先獨立思考，再小組討論完成。研究添加輔助線解決本題的多種方法。
學生代表講解解題思路，并整理在學案上。
學生總結方法，整理基本圖形，理解圖形本質。
通過研究變式2，讓學生進一步體會構造全等三角
形的基本方法。體會截長補短這一輔助線添加方法的重要作用，即解決線段和差倍分的關系。
在掌握了利用角平分線的軸對稱性構造全等三角形的方法后，進一步讓學生完成練習，深入探索和體會。
體會如何通過添加輔助線得到等腰三角形。
GFD
EABCD
E
A
BCF
D
E
A
BC
6
學以致用 練習:
1．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求證：BC＝AB＋CD.
12
34
D
E
AB
C
分析：
思路1：截長：在BC上截取BF=BA,連接EF 思路2：補短：延長BA交CE延長線于G
12
34F
D
E
AB
C
12
34G
D
E
AB
C
學生自主探究，學以致用，教師引導。
讓學生體會解決新問題的喜悅。再次鞏固構造全等三角形解決問題的方法。
歸納總結 你有怎樣的收獲？ 你還有哪些疑問？ 總結：
1、方法：截長補短（線段和差倍分轉化成線段
相等）；
2、本質：利用角平分線還原軸對稱性，構造全等三角形；
3、數學思想方法：轉化思想。
回顧本節課內容，
總結反思.
整體回顧本節課
內容，整體感受構造全等三角形的
方法。并讓學生靈
活解題，尋求突
破。充分體會解決綜合題過程中的成功感。
拓展提高
2．如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O， 求證：(1)AE+CD=AC;(2)OE=OD.
OE
DC
A
B
分析：思路：在AC上截取AF=AE
學生課下思考
鞏固練習，拓展提高
7
學習效果評價設計
評價方式
1. 書面測驗、課后訪談
2. 活動報告：學案多種方法展示分享 3. 課堂觀察 4. 課內外作業 5. 錯題整理 評價量規
1.主動參與學習活動情況； 2.小組合作交流情況； 3.提出問題和分析問題情況； 4.獨立思考問題情況； 5.傾聽或理解他人思路的情況； 6.有條理的表述自己的思考過程。
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