視頻標(biāo)簽：三角形中邊與角,之間的不等關(guān)系

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)13.3實(shí)驗(yàn)與探究《三角形中邊與角之間的不等關(guān)系》濟(jì)源

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)13.3實(shí)驗(yàn)與探究《三角形中邊與角之間的不等關(guān)系》濟(jì)源市濟(jì)水一中 

13.3實(shí)驗(yàn)與探究 《三角形中邊與角之間的不等關(guān)系》  教學(xué)設(shè)計(jì) 
科目 數(shù)學(xué) 
時(shí)間 
2018.06. 
課題 三角形中邊與角之間的不等關(guān)系 課型 
活動(dòng)課 
教 學(xué) 目 標(biāo)  
知識(shí)與技能：（1）知道三角形中邊與角的不等關(guān)系； 
（2）能利用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行探究三角形的邊角不等關(guān)系，能利用三角形邊角相等的知識(shí)，解決邊角之間的不等問題. 
過程與方法：經(jīng)歷"觀察→猜想→驗(yàn)證→證明"等一系列活動(dòng)，獲得合情推理、歸納推理能力，
積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 
情感與態(tài)度：提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生學(xué)
習(xí)幾何的興趣，獲得解決問題的成功體驗(yàn).  
教學(xué)重點(diǎn) 添加輔助線,將邊角之間的不等問題轉(zhuǎn)化為“一個(gè)角是另一個(gè)角所在三角形的外角”的問題. 教學(xué)難點(diǎn) 折紙的無意操作與輔助線的有意添加結(jié)合. 
教學(xué)過程 
教學(xué)過程 
設(shè)計(jì)意圖 
一、課題引入 
我們知道，在一個(gè)三角形中，如果有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角也相等.如果兩條邊不相等，那么：這兩條邊所對(duì)的角會(huì)不會(huì)相等？ 類比等腰三角形的邊角關(guān)系猜想. 
二、 探究"大邊對(duì)大角" （一）觀察圖形，提出猜想 
1）讓學(xué)生自己動(dòng)手制作不等邊三角形（為了教學(xué)方便 統(tǒng)一制作△ABC，且AB＞AC）. 2）通過觀察圖形，猜想性質(zhì). 
   在⊿ABC中，邊AC對(duì)∠B，邊AB對(duì)∠C，同學(xué)們通過肉眼觀察可得到∠C大于∠B，故猜想大邊對(duì)大角.  
（二）驗(yàn)證猜想 量角器測量或折紙. 
① 疊合法：沿ＢＣ邊的垂直平分線折疊.  ② 沿角平分線折疊：作∠BAC的角平分線
AD，將△ADC沿AD翻折（或?qū)ⅰ鰽DB沿AD翻折）. 
通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)：在一個(gè)三角形中角之間的不等關(guān)系.  
根據(jù)研究幾何問題的一般思路和方法,體會(huì)觀察—猜想—驗(yàn)證—推理證明的過程.   
培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力,為后面證明時(shí)添加輔助線作鋪墊. 
A
B
C
C' 
D 
A 
B 
C 
E 
D  
B 
C 
A 
 
                    
             
                    
                             
2 
 
③沿高翻折：作BC邊的高AD,將△ADC沿AD翻折（或?qū)ⅰ鰽DB沿AD翻折）. 
追問：通過折紙，如何說明∠C > ∠B？  
通過幾何畫板演示驗(yàn)證猜想的正確性,并歸納猜想. 
猜想：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)的角較大（簡寫成"大邊對(duì)大角"）. （三）證明猜想 
師：我們通過折紙和幾何畫板驗(yàn)證了猜想是正確的，你能否用學(xué)過的知識(shí)來證明你的猜想？ 
（1） 你能根據(jù)文字命題畫出圖形，寫出已知、求證嗎？ （2） 你認(rèn)為證明兩個(gè)角不等的方法是什么？ （3） 從折紙的過程中你能獲得什么啟發(fā)？ 已知：如圖，在△ABC中，AB>AC .   求證：∠C > ∠B. 證法一:  
 證明：作△ABC中∠A的平分線，與邊BC交于點(diǎn)D.在邊AB上截取AE，使AE=AC,連接DE. 
∵AD為∠BAC的角平分線（已知） ∴∠BAD=∠CAD（角平分線定義） 在⊿EAD和⊿CAD中 
∵
（公共邊）（已證）作圖）ADADCADBADACAE( ∴⊿EAD≌⊿CAD（SAS） 
∴∠C=∠AED（全等三角形的性質(zhì)） 又∵∠AED=∠B+∠BDE    ∴∠AED>∠B. ∴∠C>∠B（等量代換）.  
或作△ABC中∠A的平分線，與邊BC交于點(diǎn)D.在AC延長線上截取AB’，使AB’=AB，連接B’D . 
 
 
既對(duì)所需知識(shí)進(jìn)行合理
復(fù)習(xí)，也為后面學(xué)生添加輔助線構(gòu)造基本圖形奠定了基礎(chǔ). 驗(yàn)證猜想具有一般性. 通過講解，提高學(xué)生語言表達(dá)能力和歸納能力. 
會(huì)進(jìn)行文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換.  
培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力和歸納能力.  
讓學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡.    
規(guī)范書寫幾何推理的過程，尤其是注意輔助線的說明和折紙方法對(duì)應(yīng)結(jié)合，將無意識(shí)的操作
變?yōu)橛幸庾R(shí)的添加輔助線.    
C' 
D 
A 
B 
C 
E
D
A
B
C
B' 
D 
A 
B 
C 
 
                    
             
                    
                             
3 
A 
B                C 
E 
 證法二 
過A作BC的垂線，垂足為D，在BD邊上截取DC’，使DC’=DC，連接AC’ . 
小結(jié)：沿角平分線所在直線翻折，使∠B或∠C轉(zhuǎn)移位置，利用三角形外角的性質(zhì)證明了∠C > ∠B.  證法三： 
在邊AB上截取AD,使AD=AC，連接CD.  由等邊對(duì)等角可知∠ADC=∠ACD. 
又由三角形中外角的性質(zhì)知∠ADC=∠B+∠DCB.  所以∠ADC＞∠B， 又因?yàn)?ang;ACB=∠ACD+∠DCB.  所以∠ACB＞∠ACD 所以∠ACB＞∠B.  
或：由于AB>AC，故可延長AC到E，使AB=AE.  
歸納結(jié)論：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)的角較大. （簡寫成：在一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角）. 符號(hào)表示：∵在⊿ABC中，AB>AC           ∴∠C > ∠B. 
從對(duì)“大邊對(duì)大角”的探索過程中，你有何收獲？ （１）折紙對(duì)我們添加輔助線的啟發(fā) 
（2）利用等腰三角形和軸對(duì)稱的性質(zhì)（截長補(bǔ)短）構(gòu)造全等，將角進(jìn)行轉(zhuǎn)移.轉(zhuǎn)化為“一個(gè)角為另一個(gè)角所在三角形的外角”. （四）鞏固應(yīng)用 
1.如果一個(gè)三角形中最大的邊所對(duì)的角是銳角，那么這個(gè)三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？ 
2.如圖, ⊿ABC中，AD是中線，如果AB>AC，判斷∠BAD與∠DAC的大小關(guān)系， 并給予證明. 
 
  
讓學(xué)生在運(yùn)用不同方法證明的過程中提高思維的深刻性和廣闊性.        
學(xué)生充分利用邊不等的已知條件添加輔助線.     
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的能力，和評(píng)價(jià)反思的意識(shí).  
不同方法添加輔助線的本質(zhì)是相同的.  
例題條件中沒有角平分線、高等條件，區(qū)別于前面的題，學(xué)生經(jīng)過嘗試，翻折變換無法實(shí)現(xiàn)，為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)角的轉(zhuǎn)移，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注中點(diǎn)條件. 
D
A
B
C
C' 
D 
A 
B 
C 
 
                    
             
                    
                             4 
通過此題讓學(xué)生充分鞏固和掌握利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線的方法以及利用“大邊對(duì)大角”證明角不等關(guān)系的方法. 
 
三、小結(jié)提升 
1、本節(jié)課通過對(duì)三角形邊角不等關(guān)系的探究，我們了解了研究幾何問題的方法. “觀察圖形→猜想性質(zhì)→實(shí)踐檢驗(yàn)→推理證明”等一系列活動(dòng). 
2、 在解決問題時(shí)，我們可以將新問題轉(zhuǎn)化到我們已知的、熟悉的定理，用已有
的知識(shí)解決新問題.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以把研究邊與角之間的不等問題，轉(zhuǎn)化為外角的問題，這種轉(zhuǎn)化的思想是研究幾何問題時(shí)常用的方法.  
通過小結(jié)，使學(xué)生梳理
本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容和研究方法，把握本節(jié)課的核心——轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生思
維的深刻性 ，養(yǎng)成善于總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 
四、布置作業(yè) 
1、整理做法：選出兩種你喜歡的作法完成證明. 
2、類比今天探究“大邊對(duì)大角”的活動(dòng)過程，請(qǐng)你探究“大角對(duì)大邊”. 3、請(qǐng)你寫出今天探究過程中用到的所有數(shù)學(xué)知識(shí). 
作業(yè)1：規(guī)范書寫幾何推理的過程，并進(jìn)一步鞏固所學(xué). 
作業(yè)2的推理，讓學(xué)有余力的同學(xué)課后充分探究，提高知識(shí)方法的遷移能力，并鍛煉克服難題的毅力. 

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