視頻標(biāo)簽：垂直于弦的直徑

所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)24.1.2《垂直于弦的直徑》_建設(shè)兵團(tuán)省級(jí)優(yōu)課

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人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)24.1.2《垂直于弦的直徑》_建設(shè)兵團(tuán)省級(jí)優(yōu)課

徑定理（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 
黎安寨 
【教學(xué)內(nèi)容】垂徑定理 【教學(xué)目標(biāo)】 
1．知識(shí)目標(biāo)：①通過觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性； 
             ②掌握垂徑定理，理解其證明，并會(huì)用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問題；              ③掌握輔助線的作法——過圓心作一條與弦垂直的線段。 
2．能力目標(biāo)：①通過定理探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力；              ②向?qū)W生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目標(biāo)：①結(jié)合本課教學(xué)特點(diǎn)，向?qū)W生進(jìn)行愛國主義教育和美育滲透；              ②激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望。 【教學(xué)重點(diǎn)】垂徑定理及其應(yīng)用。 【教學(xué)難點(diǎn)】垂徑定理的證明。 【教學(xué)方法】探究發(fā)現(xiàn)法。 
【教具準(zhǔn)備】自制的教具、自制課件、實(shí)物投影儀、電腦、三角板、圓規(guī)。 【教學(xué)設(shè)計(jì)】 
一、實(shí)例導(dǎo)入，激疑引趣 
通過找圓心的活動(dòng)，引入本節(jié)課的內(nèi)容.    
二、嘗試誘導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定理 
    1．復(fù)習(xí)過渡： 
    ①如圖2(a)，弦AB將⊙O分成幾部分？各部分的名稱是什么？     ②如圖2(b)，將弦AB變成直徑，⊙O被分成的兩部分各叫什么？     ③在圖2(b)中，若將⊙O沿直徑AB對(duì)折，兩部分是否重合？ 
    
 (a)              (b)               (a)             (b)            (c)       （圖2）                                 （圖3） 
2．實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證： 
O
A
B
O
A
B
O
ABC
D
O
A
B
C
DOA
B
CDE 
 
                    
             
                    
                            讓學(xué)生將準(zhǔn)備好的一張圓形紙片沿任一直徑對(duì)折，觀察兩部分是否重合；教師用電腦演示重疊的過程。從而得到圓的一條基本性質(zhì)—— 
圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心的任意一條直線（或直徑所在的直線）都是它的對(duì)稱軸。 3．運(yùn)動(dòng)變換： 
①如圖3(a)，AB、CD是⊙O的兩條直徑，圖中有哪些相等的線段和相等的弧？ ②如圖3(b)，當(dāng)AB⊥CD時(shí)，圖中又有哪些相等的線段和相等的弧？ 
③如圖3(c)，當(dāng)AB向下平移，變成非直徑的弦時(shí)，圖中還有哪些相等的線段和相等的弧？此外，還有其他的相等關(guān)系嗎？ 
4．提出猜想：根據(jù)以上的研究和圖3(c)，我們可以大膽提出這樣的猜想—— 
              （板書） BD
ADBCACBD
AECDEAB,CDO垂足為弦的直徑是圓 
5．驗(yàn)證猜想：教師用電腦課件演示圖3(c)中沿直徑CD對(duì)折，這條特殊直徑兩側(cè)的圖形能夠完全重合，并給這條特殊的直徑命名為——垂直于弦的直徑。 
三、引導(dǎo)探究，證明定理 
1．引導(dǎo)證明： 
猜想是否正確，還有待于證明。引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方面尋找證明思路。 ①證明“AE=BE”，可通過連結(jié)OA、OB來實(shí)現(xiàn)，利用等腰三角形性質(zhì)證明。     ②證明“弧相等”，就是要證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對(duì)稱性證明。 
2．歸納定理： 
根據(jù)上面的證明，請(qǐng)學(xué)生自己用文字語文進(jìn)行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 3．鞏固定理： 
在下列圖形（如圖4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它們是否適用于“垂徑定理”？若不適用，說明理由；若適用，能得到什么結(jié)論。 
  
  
(a)AB⊥CD于E      (b)E是AB中點(diǎn)       (c)OC⊥AB于E      (d)OE⊥AB于E 
（圖4）     向?qū)W生強(qiáng)調(diào)：(1)定理中的兩個(gè)條件缺一不可；(2)定理的變式圖形。 
⌒ ⌒ 
⌒ 
⌒ OD
CBAEODC
BAEOBAEOBACE
 
                    
             
                    
                            四、例題示范，變式練習(xí) 
1．運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算。 
〖例1〗如圖5，在⊙O中，若弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。 
    分析：因?yàn)橐阎?ldquo;圓心O到AB的距離為3cm”，所以要作 輔助線OE⊥AB；因?yàn)橐�求半徑，所以還要連結(jié)OA。 
    解：（略）學(xué)生口述，教師板書。                               （圖5） 〖變式一〗在圖5中，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=     。 思考一：若圓的半徑為R，一條弦長為a，圓心到弦的距離為d，             則R、a、d三者之間的關(guān)系式是           。 
〖變式二〗如圖6，在⊙O中，半徑OC⊥AB，垂足為E， 
          若CE=2cm，AB=8cm，則⊙O的半徑=       。        （圖6） 思考二：你能解決本課一開始提出的問題嗎？（由學(xué)生口述方法） 2．運(yùn)用定理進(jìn)行證明 
〖例2〗已知：如圖7，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，                  大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。 
            求證：AC＝BD。                                    （圖7） 
分析：①證明兩條線段相等，最常用的方法是什么？用這種方法怎樣證明？         （證明△OAC≌△OBD或證明△OAD≌△OBC） 
          ②此外，還有更簡捷的證明方法嗎？若有，又怎樣證明？（垂徑定理）     證法一：連結(jié)OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”證明。 
證法二：過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，用“垂徑定理”證明。（詳見課本P77例2） 注1：通過兩種證明方法的比較，選擇最優(yōu)證法。 
注2：輔助線“過圓心作弦的垂線段”是第二種證法的關(guān)鍵，也是常用輔助線。 思考：在圖7中，若AC=2，AB=10，則圓環(huán)的面積是     。 〖變式一〗若將圖7中的大圓隱去，還需什么條件，           才能保證AC=BD？ 
〖變式二〗若將圖7中的小圓隱去，還需什么條件，           才能保證AC=BD？ 
〖變式三〗將圖7變成圖8（三個(gè)同心圓），你可以 
          證明哪些線段相等？                             （圖8） 〖例3〗（選講）如圖9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝3，BC＝26，以C為圓心、CA長為半徑畫弧，交 
O
B
AEO
B
A
C
E
O
BC
DAO
B
C
DAE
F
AB
C
D
                    
             
                    
                            斜邊AB于D，求AD的長。（答案：2） 
略解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先用勾股定理求得          （圖9） 
AB=9，再用面積法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1，由垂徑定理得AD=2。 
五、師生小結(jié)，納入系統(tǒng) 
1．定理的三種基本圖形——如圖10、11、12。 
2．計(jì)算中三個(gè)量的關(guān)系——如圖13，222)2
(a
dR。 
3．證明中常用的輔助線——過圓心作弦的垂線段。 
    
（圖10）          （圖11）          （圖12）          （圖13） 
六、達(dá)標(biāo)檢測，反饋效果 
    1．（課本P78練習(xí)第1題）如圖14，在⊙O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點(diǎn)O到AB的距離為      ，∠AOB＝     度。 
2．作圖題：經(jīng)過已知⊙O內(nèi)的已知點(diǎn)A作弦， 使它以點(diǎn)A為中點(diǎn)（如圖15）。 
3．課本P78練習(xí)第2題。                      （圖14）        （圖15） 
OA
B
C
D
E
O
A
B
DE
O
A
B
E
a
dROAB
O
B
A
OA
 
                    
             
                    
                            課 堂 練 習(xí) 
          姓名                                      得分                
1．如圖，⊙O的半徑為50mm，弦AB=50mm，則點(diǎn)O到AB的距離為        ， ∠AOB＝     度。 
     
              （第1題）                               （第2題） 
2．作圖題：經(jīng)過已知⊙O內(nèi)的已知點(diǎn)A作弦，使它以點(diǎn)A為中點(diǎn)（如圖）。     要求：保留作圖痕跡，但不必寫作法。   
    3．已知：如圖，在⊙O中，AB、AC是兩條互相垂直且相等的弦，OD⊥AB， OE⊥AC，垂足分別為D、E。 
求證：四邊形ADOE是正方形。

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