視頻標簽：正弦函數(shù),余弦函數(shù)的圖象

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質課視頻

視頻課題：1.4.1  正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象-麗江

教學設計、課堂實錄及教案：1.4.1  正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象-麗江市第一高級中學

1.4.1  正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 
一、教學目標 1、知識與技能 
（1）了解用正弦線畫正弦函數(shù)的圖象,理解用平移法作余弦函數(shù)的圖象； （2）掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象及特征； 
（3）掌握利用圖象變換作圖的方法，體會圖象間的聯(lián)系； （4）掌握“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖. 2. 過程與方法 
（1）通過動手作圖，合作探究，體會數(shù)學知識間的內在聯(lián)系； （2）體會數(shù)形結合的思想； 
（3）培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力. 3、情感、態(tài)度、價值觀 
（1）養(yǎng)成尋找、觀察數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系的意識； （2）激發(fā)數(shù)學的學習興趣； （3）體會數(shù)學的應用價值. 二、教學重點、難點 
教學重點：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像的作法。 教學難點：用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖像。 三、教學過程 
1. 正弦函數(shù)的圖象 
為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實數(shù)．在一般情況下，兩個坐標軸上所取的單位長度應該相同，否則所作曲線的形狀各不相同. 
第一步：列表。在平面內建立一平面直角坐標系，然后在直角坐標系的x軸上任意取一點O1，以Ｏ1為圓心作單位圓，從⊙O1與x軸的交點A起把⊙O1分成12等份(份數(shù)宜取6的倍數(shù)，份數(shù)越多，畫出的圖象越精確).過⊙Ｏ1上的各分點作x軸的垂線，可以得到對應于0、π6 、π3 、π
2 、„2π等角的正弦線(例如有向線段O1B對應于 π
2 角的正弦線). 
第二步：描點．把x軸上從0到2π這一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，從原點起向右的第四個點，就是對應于 π
2 角的點)，把角x的正弦線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合(例如，把正弦線O1B向右平移，使點O1與x軸上的點 π
2 重合). 
第三步：連線。把這些正弦線的終點用平滑曲線連結起來. 
 
                    
             
                    
                             
這時，我們看到的這段光滑曲線就是函數(shù)y＝sinx在x∈［0，2π］上的函數(shù). 因為終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y＝sinx在x∈［2kπ，2(k＋1)π］， k∈Z且k≠0上的圖象與函數(shù)y=sinx在x∈［0，2π)上的圖象的形狀完全一樣，只是位置不同，于是我們只要將函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π)的圖象向左、右平行移動(每次2個單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)y＝sinx在x∈R上的圖象. 
-1
1
yx
-6-5
65
-4
-3
-2-
0
4
3
2

fx = sinx
 
這時，我們看到的這支曲線就是正弦函數(shù)y＝sinx在整個定義域上的圖象，我們也可把它稱為正弦曲線. 
2．用五點法作正弦函數(shù)的簡圖（描點法） 
思考：用這種方法來作圖象，雖然比較精確，但不太實用，我們該如何快捷地畫出正弦函數(shù)的圖象呢? 
在函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象上，起著關鍵作用的點只有以下五個： (0，0)，(π2 ，1)，(π，0)，(3π
2 ，－1)，(2π，0) 
事實上，描出這五個點后，函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象的形狀就基本上確定了.因此，在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑曲線將它們連結起來，就可得到函數(shù)的簡圖.今后，我們將經(jīng)常使用這種近似的“五點(畫圖)法”. 
3. 余弦函數(shù)的圖象 
由誘導公式可知：y＝cosx＝sin(π2 ＋x)＝sin(x＋π
2 ) 
余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R與函數(shù)y＝sin(x＋π
2 )，x∈R是同一個函數(shù). 
 
                    
             
                    
                            而y＝sin(x＋π2 )，x∈R的圖象可通過將正弦曲線向左平行移動π
2 個單位長度而得到 
    
現(xiàn)在看到的曲線也就是余弦函數(shù)y＝cosx在x∈R上的圖象，即余弦曲線. 同樣，可發(fā)現(xiàn)在函數(shù)y＝cosx，x∈［0，2π］的圖象上，起著關鍵作用的點是以下五個： 
(0，1)，(π2 ，0)，(π，－1)，(3π
2 ，0)，(2π，1)與畫函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π］的簡圖類似，通過這五個點，可以畫出函數(shù)y＝cosx，x∈［0，2π］的簡圖. 
 
4、例題解析 
例1 作下列函數(shù)的簡圖 (1)y=sinx，x∈[0，2π]，  (2)y=1+sinx，x∈[0，2π]， 
四、課堂小結 
1. 正弦曲線、余弦曲線圖像：幾何描點，五點法。 2. 注意與誘導公式、三角函數(shù)線等知識的聯(lián)系 3. 思想方法：(1)數(shù)形結合思想 
               (2)轉化與化歸思想以及類比學習思想 五、作業(yè) 
1.活頁練習課時作業(yè)六 
    2.課后請同學們利用三角函數(shù)線（把單位圓8等分）來作出正弦函數(shù)圖象？

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