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視頻標簽：三角形的面積
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：西師版小學數學五年級上冊《三角形的面積》重慶市 - 北碚區
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三角形的面積
【設計理念】
本課教學基于數學史展開。早在19世紀，德國生物學家海克爾就提出：一個個體的發育史會重蹈其種族的發展史。這表現在數學學習中，就是學生學習數學的認知過程與數學史的發展過程相似。本課教學，將三角形面積的數學史融入整個探究過程，既提高學生的學習興趣，又作為間接經驗，豐富數學活動經驗，促進學生對知識的理解，切實感受數學課也是理性與感性齊飛，思維與人文共舞的場所。
【教學內容】西師版五年級上冊第五單元P 82。 【教材分析】
《三角形的面積》是西南師大版五年級上冊 “多邊形的面積”單元的第二節。從知識體系來看，它是三年級下冊“面積和面積單位”和四年級下冊“三角形”的延伸，又是繼長方形、正方形、平行四邊形面積學習之后的又一個平面圖形的面積學習，還將為后續學習梯形面積、圓面積和立體圖形表面積打下知識和思想方法的基礎。從知識結構來看，平行四邊形的面積學習既為本節課打下了認知基礎，也奠定了思維基礎，即轉化思想。然而，上一節主要體現在剪拼，本節課卻主要突出倍拼，轉化方式略有不同。從知識的應用價值來看，面積公式的學習可以計算和解決我們實際生活中很多關于面積的一些問題。
【學情分析】
學生已經了解三角形的特征，掌握面積概念和平行四邊形面積計算公式及推導方法，能將簡單圖形進行平移和旋轉，對探究學習并不陌生，但在探究學習過程中，往往是盲目探究，因此，組織學習素材，讓學生形成合理的猜想，進行有方向的探究也是教學中需要關注的問題。
【教學目標】
1.在具體情景中通過剪、拼等活動，理解并掌握三角形面積計算公式，能運用公式正確計算三角形的面積。
2.經歷猜想、操作、驗證、歸納等過程，培養觀察、分析、創新、概括等能力，發展空間觀念，感悟轉化和辯證思想。
3.通過情景串培養探究、合作、批判、創新精神，感受數學文化的魅力，提高學習數學的興趣。
【教學重點】通過轉化理解并掌握三角形的面積計算公式。 【教學難點】通過轉化推導三角形的面積計算公式。
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【教學準備】帶方格和不帶方格的銳角、直角、鈍角三角形，探究題單，剪刀若干。 【板書設計】
【教學流程】
一、情景引入，揭示課題 1.情景激趣
同學們，今天，羅老師要帶領大家穿越時空，來一場說走就走的數學之旅。 你準備好了嗎？第一站：中國古代秦國。 （PPT出示秦國街道告示及錄音） 2.引入課題
（PPT出示老王、老李、老劉三人思考圖） 他們都特別著急想算自家土地面積。 誰來幫他們算算？只列算式。 你是怎么想的？
到底誰才是對的呢？今天，我們就一起來研究三角形的面積（板書課題）。 3.喚醒經驗
剛才這位同學提到了平行四邊形，那三角形的面積與平行四邊形的面積之間、與平行四邊形面積公式的推導方法之間有沒有什么聯系呢？
三角形的面積
圖
圖
圖
圖
底×高÷2
底×（高÷2） 倍拼法
剪拼法
12×20 12×20÷2
（底÷2）×高
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都說溫故可知新。我們先來回顧一下平行四邊形面積公式的推導過程。 （PPT出示平行四邊形面積公式流程圖）
小結：沿平行四邊形的一條高剪開，通過平移，將它轉化為一個和它面積相等的長方形，長方形的長和寬分別相當于平行四邊形的底和高。因為長方形的面積＝長×寬，所以平行四邊形的面積＝底×高。
二、合作探究，推導公式
學以致用是王道。能不能借助平行四邊形的面積公式及其推導方法來推導三角形的面積公式呢？
請利用老師為大家準備的學習工具和材料展開研究。 1.獨立思考，尋找策略 你準備選擇什么？怎么研究？ 2.合作探究，驗證猜想
接下來，請4人小組合作探究。首先，請了解合作要求。 PPT出示：
探究目的：推導出三角形的面積公式。 合作提示：
第1步：小聲交流，確定方案。 第2步：選材探究，及時記錄。 探究題單：
我們選擇了 三角形。 我們的方法是 我們發現 三角形的面積公式是 看明白了就開始行動吧！ 3.匯報交流，得到公式
大家都研究得特別認真。我們選擇幾個小組作代表，來為大家展示。 預設:
（1）倍拼法（銳）
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師：大家還有什么疑問嗎？
預設：①為什么要用兩個完全一樣的三角形拼？如果不用兩個完全一樣的三角形拼行嗎？ ②拼成的平行四邊形的底、高和面積與原來三角形的底、高和面積分別有什么關系？ 哪些組也選了兩個完全一樣的銳角三角形？和他們結論相同嗎？
有沒有用兩個完全一樣的直角三角形來拼的？結論一樣嗎？請你們組派個代表把它貼到黑板上給大家看看。
有沒有用兩個完全一樣的鈍角三角形來拼的？結論相同嗎？請你們組也派個代表把它貼到到黑板上給大家看看。
師小結：看來，不管我們用兩個完全一樣的銳角、直角還是鈍角三角形來拼，最終都能轉化為一個平行四邊形。平行四邊形的底相當于三角形的底，平行四邊形的高底相當于三角形的高，平行四邊形的面積相當于三角形的面積，因為平行四邊形的面積等于底乘高，所以三角形的面積等于底乘高除以2。（手指板書，梳理，板書大括號）
質疑：奇怪了，分明是研究三角形的面積公式，為什么要用兩個完全一樣的三角形來拼成和它等底等高的平行四邊形呢？這不是舍近求遠嗎？
數學就是這么有意思，當我們不能直接得到三角形的面積公式時，可以采用迂回術，借用平行四邊形的面積公式來推導。實踐證明三角形的面積真的和平行四邊形的面積有關系。
（2）剪拼法
師：大家還有什么疑問嗎？
預設：①為什么要從那里剪開？換個地方剪可以嗎？
②拼成的平行四邊形的底、高和面積與原三角形的底、高和面積分別有什么關系？ 小結：你的意思也就是要先找到兩條邊的中點，連起來，再沿這條線剪開，只有從這兒剪，才能保證得到的小三角形和梯形一樣高，當我們把小三角形繞這個點順時針方向旋轉180度之后，才能拼成一個平行四邊形。平行四邊形的底相當于原三角形的底，平行四邊形的高相當于原三角形高的一半，所以三角形的面積=平行四邊形的面積=底×（高÷2）。
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這種方法真是與眾不同，就像平行四邊形面積公式的推導方法一樣，從圖形的內部入手，將其轉化成與它面積相等的平行四邊形，從而推導出三角形的面積公式。實踐證明：真的可以利用平行四邊形面積公式推導的方法來研究三角形的面積公式。
像這樣用兩個完全一樣的三角形來拼的方法稱作倍拼法，把一個三角形先剪后拼的方法稱為剪拼法。（板書：倍拼法、剪拼法）
4.古今對比，感悟思想
（PPT出示《九章算術》相關內容）我們現在所在的秦國，也有人會算三角形的面積。這一方法還被記入了中外聞名的數學專著《九章算術》。不過，他們可沒你們聰明。他們只知其然不知其所以然。幾百年來，數學家們孜孜不倦地探索。直到魏晉時期，大數學家劉徽才作出了證明。
一起來到第二站：中國古代魏晉時期 （PPT視頻播放劉徽的出入相補原理）
劉徽割補術也是剪拼法的一種，看完之后，有沒有什么想說的？
同樣是剪拼法，他的推導過程和我們的推導過程有什么相同之處？是呀！思想是數學的靈魂，轉化思想能幫助我們把新知識變成舊知識，復雜問題變成簡單問題。
有什么不同之處呢？
劉徽可是大名鼎鼎的數學家呀！他那么聰明，為什么不像我們一樣轉化為平行四邊形，反而要用如此復雜的方法，轉化為長方形呢？
5.多重對比，優化公式 （1）深化理解
有比較才有鑒別。這3個公式，都有除以2，表示的意思一樣嗎？ （2）歸納優化
為了方便交流，我們把三角形的面積公式統一為“底×高÷2”。這也體現了數學的統一美。用字母可以表示為： s=ah÷2
三、鞏固練習，深化認知 1.基礎練習，呼應開課
再來看看老劉家那塊田，剛才誰算對啦？ 針對12×20÷2：
針對12×20追問：沒有除以2，算的是什么？
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針對12×21追問：問題出在哪兒？ 2.強化練習，回歸生活
三角形的面積公式不僅在古代有用，在現代同樣有用。試試吧！ （1）三角形交通警示牌：底8dm，高7dm. （2）三角手搖旗：底15cm，高20cm，斜邊25cm。 獨立完成，匯報交流。 追問：8×7算的是什么？
小結：你的意思也就是算的用兩個和它完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，對吧？）
為什么要用15×20？而不用25×20？
小結：由此可見，用面積公式計算三角形的面積時需要用一組對應的底和高。 3.提升練習，深化理解
有視野才有高度。了解完中國古今三角形面積計算的發展，那么，外國又如何呢？ 接下來，一起來到第三站：數學發源地之一的古埃及。
PPT配圖簡介：古埃及的尼羅河定期泛濫，淹沒土地，洪水退后，土地界線不明，人們只好重新測量。正是這些經驗的積累，才孕育了 “幾何”的誕生。
既然來到古埃及，有沒有信心挑戰一下歷史名題？
PPT出示題目：三角形的底是4海特，“邊”是10海特，求面積。 （1）獨立思考 （2）交流思辨 預設：4×10÷2=20
你的做法和原書的記載一模一樣。有不同想法的嗎？ 只有當它是一個什么三角形時才可以這樣做呢？ 當它是直角三角形時，可以這樣算，否則，錯。 （3）歸納小結
看來，歷史也不一定完全正確，需要我們去不斷發現問題，并進行改進和創新。 你們太了不起啦！居然敢于質疑歷史、批判歷史，我不得不佩服你們的勇氣和智慧。此處必須有掌聲。
（4）深入思考
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如果它不是直角三角形，要算面積，你還需要知道什么？（高） 你認為高可能是多少？你是怎么想的？ （5）補充再算
到底是多少呢？我們一起來看看？給出高（9.7） 獨立計算，匯報交流。 4×9.7÷2
追問先算4÷2的同學：4÷2算的是什么？他用的是誰的辦法？
小結：你看，雖然公式是統一的，但意義卻是豐富的，解決實際問題時，我們可以靈活運用。
四、反思總結，課后延伸
通過今天的學習，你有什么收獲？還有什么疑問？
今天，我們知道了三角形的面積=底×高÷2，為什么要用底乘對應的高呢？除了這種方法，還有沒有其它方法呢？
希望你們走出課堂，還能帶著研究熱情，繼續去研究更多的關于三角形，甚至梯形、任意多邊形面積的知識！
視頻來源：優質課網 www.m.fsyixinda.com
