視頻標(biāo)簽：習(xí)題課,綜合題的探究

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視頻課題：初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)上冊(cè)習(xí)題課一道綜合題的探究-北京市57中

教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及教案：初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)上冊(cè)習(xí)題課一道綜合題的探究-北京市第五十七中學(xué)

習(xí)題課----一道綜合題的探究 

一．設(shè)計(jì)思路： 
初一第一學(xué)期學(xué)完了前三章代數(shù)的知識(shí)，這道綜合題是海淀區(qū)初一第一學(xué)
期期末的最后一道壓軸題，綜合性確實(shí)非常強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，不僅要
對(duì)多種情況進(jìn)行分類，而且還要進(jìn)行取舍。題中出現(xiàn)了三個(gè)數(shù)，而且都是字母的形式，用到了方程的思想，把兩個(gè)字母用含有a的代數(shù)式先進(jìn)行表示，再列方程。雖然有難度，但是我還是很喜歡這道題，我覺得可以借助這道題教會(huì)孩子思考綜合題的方法，從哪些方面來(lái)考慮。 
 
二．教學(xué)過(guò)程： 
一個(gè)字母可以表示什么數(shù)呢?可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)或零，自從負(fù)數(shù)引入到有理數(shù)這個(gè)大家庭中后，數(shù)的運(yùn)算就變得豐富多彩起來(lái)。本節(jié)課我們通過(guò)一道綜合題的探究，看看最后大家都會(huì)有哪些收獲。 
（一）對(duì)問題的初步認(rèn)識(shí)： 
探究題目：在數(shù)軸上，點(diǎn)A向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)得到點(diǎn)B，點(diǎn)B向右移動(dòng)n+1（n為正整數(shù)）個(gè)單位長(zhǎng)得到點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c． 
（1）當(dāng)n=1時(shí)，A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，a、b、c三個(gè)數(shù)的乘積為正數(shù)。 
①數(shù)軸上原點(diǎn)的位置可能是（） 
A、在點(diǎn)A左側(cè)或在A、B兩點(diǎn)之間
 
B、在點(diǎn)C右側(cè)或在A、B兩點(diǎn)之間 C、在點(diǎn)A左側(cè)或在B、C兩點(diǎn)之間 D、在點(diǎn)C右側(cè)或在B、C兩點(diǎn)之間 
問題1：題目中的關(guān)鍵詞是什么？你能得到什么結(jié)論? 
第一個(gè)關(guān)鍵詞是n=1，如果這時(shí)沒答這個(gè)也沒關(guān)系，對(duì)本題不影響。第二個(gè)是a、b、c三個(gè)數(shù)的乘積為正數(shù)，即abc>0,根據(jù)乘法的運(yùn)算法則，積為正，則負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)，所以是0個(gè)或2個(gè)，即3個(gè)正數(shù)，或2負(fù)1正兩種情況。所以原點(diǎn)應(yīng)該在點(diǎn)A左側(cè)或在B、C兩點(diǎn)之間，選c。老師板書+++，--+。 
 
問題2：如何用含有a 的式子表示b和c呢？ 
 
因?yàn)閚=1，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，所以b=a+1，同理c=a+3。這樣題目中的數(shù)b,c就換成了a的代數(shù)式。用含有字母a的的代數(shù)式來(lái)表示數(shù)b和c。一道題中，字母越少越好。  
（二）對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)： 
探究題目：在數(shù)軸上，點(diǎn)A向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)得到點(diǎn)B，點(diǎn)B向右移動(dòng)n+1（n為正整數(shù)）個(gè)單位長(zhǎng)得到點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c． 
（1） 當(dāng)n=1時(shí)，A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，a、b、c三個(gè)數(shù)的乘積為
正數(shù)。 
BC
A2
1
c=a+3
b=a+1
a
C
B
A
 
                    
             
                    
                            ②若這三個(gè)數(shù)之和與其中的一個(gè)數(shù)相等，則a=； 
問題1：如何理解這三個(gè)數(shù)之和與其中的一個(gè)數(shù)相等？ 
與其中一個(gè)數(shù)相等，可以是a,也可以是b，也可以是c，所以有三種情況，要分類討論，列出三個(gè)方程，解方程。 
1）a+b+c=a,a+(a+1)+(a+3)=a解得a=-2 2）a+b+c=b,a+(a+1)+(a+3)=a+1解得a=-1.5 3）a+b+c=c,a+(a+1)+(a+3)=a+3解得a=-0.5 問題2：這三個(gè)解，三個(gè)a值都合適嗎？為什么？ 
      題目中還有一個(gè)條件，即abc>0，所以要用這個(gè)條件來(lái)對(duì)a值進(jìn)行取舍，不能忽視。 如：當(dāng)a=-0.5時(shí)，a+1=0.5，a+3=2.5，此時(shí)abc<0，矛盾，所以舍去。而另外兩個(gè)都是符合題意的。所以首先要把題目中的條件弄清楚共有幾個(gè)，其次答案不唯一時(shí)要思考進(jìn)行取舍。 問題3：對(duì)于這道題目，你還有別的想法或方法嗎？ 
有，這三個(gè)數(shù)之和與其中的一個(gè)數(shù)相等，它的隱含意思是其中兩個(gè)數(shù)的和為零，這
樣三個(gè)方程就可以簡(jiǎn)化為： 
1）b+c=0,(a+1)+(a+3)=0，解得a=-2 2）a+c=0,a+(a+3)=0，解得a=-1.5 3）a+b=0,a+(a+1)=0，解得a=-0.5 
然后再進(jìn)行取舍，這樣方程解起來(lái)稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)兒。 
問題4：我們剛才挖掘出了第②問的隱含意思是其中兩個(gè)數(shù)的和為零，如果再結(jié)合數(shù)軸，你能怎樣解決第②問呢？ 
兩個(gè)數(shù)的和為零，就是兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，因?yàn)閍,b,c三個(gè)數(shù)都不相等，所以不可能是零和零的情況，只能是一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)。共有三種情況： 
 
1） a與b互為相反數(shù)，則原點(diǎn)O在AB中點(diǎn)處，可是這樣就出現(xiàn)了a為負(fù)數(shù)，b,c為
正數(shù),abc<0,就和題目條件矛盾了，所以直接舍去； 
2） a與c互為相反數(shù)，則原點(diǎn)O在AC中點(diǎn)處，且在B的右邊，∵AC=3,∴OC=1.5，
∴a+3=1.5,a=-1.5  且兩負(fù)一正符合題意； 
3） b與c互為相反數(shù)，則原點(diǎn)O在BC中點(diǎn)處，BC=2，OC=1，a+3=1,a=-2,且兩負(fù)一
正符合題意。 
以上問題都請(qǐng)學(xué)生思考后回答講解，其他同學(xué)補(bǔ)充，老師最后點(diǎn)撥。 
小結(jié)：由上面可知，先挖掘出隱含意義，把三個(gè)量的關(guān)系變成兩個(gè)量的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)軸分析很容易就淘汰了一種情況，不用列方程計(jì)算了，這樣整個(gè)過(guò)程就變得很簡(jiǎn)潔。  
（三）對(duì)問題的更深入認(rèn)識(shí)： 
探究題目：在數(shù)軸上，點(diǎn)A向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)得到點(diǎn)B，點(diǎn)B向右移動(dòng)n+1（n為正整數(shù)）個(gè)單位長(zhǎng)得到點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a、b、c． 
（2）將點(diǎn)C向右移動(dòng)n+2個(gè)單位長(zhǎng)得到點(diǎn)D，點(diǎn)D表示有理數(shù)d．若a、b、c、d四數(shù)之積為正數(shù)，且這四個(gè)數(shù)的和與其中兩數(shù)之和相等，則a=_____________________________(a用含n的代數(shù)式表示) 
 
問題1：此時(shí)b,c,d如何用a的代數(shù)式表示呢？ 
2
1
a+3
a+1
a
O
C
B
A
 
                    
             
                    
                             
問題2：a、b、c、d四數(shù)之積為正數(shù)，可以得到什么結(jié)論？ 共有三種情況：1)++++;  2)- - ++;  3)- - - - .所以原點(diǎn)的位置也有三種：在點(diǎn)A左側(cè)，在B，C之間，在點(diǎn)D右側(cè)。 
問題3：這四個(gè)數(shù)的和與其中兩數(shù)之和相等的隱含意義是什么？ 
隱含意義是另外兩個(gè)數(shù)的和為零，也就是互為相反數(shù)。所以有6種情況。  1)a與b互為相反數(shù)；2)a與c互為相反數(shù)；3)a與d互為相反數(shù)； 4)b與c互為相反數(shù)；5)b與d互為相反數(shù)；6)c與d互為相反數(shù)； 問題4：請(qǐng)大家結(jié)合數(shù)軸，你還有什么想法呢？ ∵a、b、c、d四數(shù)之積為正數(shù),所以原點(diǎn)的位置有三種：在點(diǎn)A左側(cè)，在B，C之間，在點(diǎn)D右側(cè)。 
 
1) 當(dāng)a與b互為相反數(shù)時(shí)，原點(diǎn)在AB中點(diǎn)，此時(shí)一負(fù)三正，乘積為負(fù)，不合題意，舍去； 2) 當(dāng)a與c互為相反數(shù)時(shí)，原點(diǎn)在AC中點(diǎn)，且在B的右側(cè)，此時(shí)可以； 
3) 當(dāng)a與d互為相反數(shù)時(shí)，原點(diǎn)在AD中點(diǎn)，此時(shí)恰好是點(diǎn)C，∵c≠0，∴點(diǎn)C不可能是
原點(diǎn)，矛盾，舍去； 
4) 當(dāng)b與c互為相反數(shù)時(shí)，原點(diǎn)BC中點(diǎn)，此時(shí)可以； 
5) 當(dāng)b與d互為相反數(shù)時(shí)，原點(diǎn)在BD中點(diǎn)，且在點(diǎn)C右側(cè)，三負(fù)一正，乘積為負(fù)，不合
題意，舍去； 
6) 當(dāng)c與d互為相反數(shù)時(shí)，原點(diǎn)在CD中點(diǎn)，也是三負(fù)一正，乘積為負(fù)，不合題意，舍去； 
通過(guò)結(jié)合數(shù)軸分析，最后6種情況只剩下了2種符合題意，所以我們只要解兩個(gè)
小方程就可以了，問題一下子變得很簡(jiǎn)潔了，計(jì)算量大大較少了。所以這一問更加突顯了數(shù)軸的作用，更好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性。 
 也就是①a+c=0,a+(a+n+2)=0，解得a=-𝑛+22
 
②b+c=0,(a+1)+(a+n+2)=0, 解得a=-𝑛+32
 
所以a=-𝑛+22
或 a=-
𝑛+32
 
問題5：請(qǐng)大家思考，如果不借助數(shù)軸，而是純代數(shù)方法，直接解6個(gè)方程，最后再用4個(gè)數(shù)乘積為正去淘汰，具體過(guò)程是怎樣呢？留給大家課后完成，與我們課上講的方法進(jìn)行比較，看看哪個(gè)更好？ 
三．課后反思  
由于這節(jié)課包含的信息量太大，知識(shí)點(diǎn)太多，而且方法多樣，難點(diǎn)較多，課上我主要是讓孩子們獨(dú)立思考，逐步分析挖掘，交流討論，互相質(zhì)疑，從而完成了本節(jié)課。有少部分孩子善于利用數(shù)軸解決問題，分析得很是清楚。這節(jié)課孩子們還是有很多收獲的。 
1，通過(guò)這節(jié)課，他們知道首先要好好讀題審題，抓住每一個(gè)重要條件，多個(gè)結(jié)論要進(jìn)行取舍，其次還要善于看到條件背后隱含的信息，從而簡(jiǎn)化過(guò)程，
d=a+2n+4
n+2
a
b=a+1
c=a+n+2
1
n+1
D
C
B
A
d=a+2n+4
n+2
a
b=a+1
c=a+n+2
1
n+1
D
C
B
A
 
                    
             
                    
                            另外很多孩子還不太適應(yīng)借助圖形--數(shù)軸來(lái)對(duì)問題進(jìn)行研究。 
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，孩子們會(huì)學(xué)著從形的角度去解決問題，會(huì)非常簡(jiǎn)單。 由于這節(jié)課包含的信息量太大，知識(shí)點(diǎn)太多，所以還是很有難度和深度的，課還是有點(diǎn)緊，進(jìn)行得有點(diǎn)趕，應(yīng)該再多給孩子門一些探討交流和梳理的時(shí)間，及時(shí)消化的時(shí)間，可能學(xué)習(xí)效果會(huì)更好些。 
 
對(duì)于這節(jié)課，北師大的朱文芳教授也做了充分的肯定，說(shuō)題目雖然很難，但是孩子們表現(xiàn)得非常好，思維很活躍，各種想法，她聽了很震撼。不過(guò)朱教授也指出此題難度還是過(guò)大，今后的趨勢(shì)會(huì)是難度下降，所以以后上課要適當(dāng)?shù)亟档碗y度。

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